لگاریتم: تعریف، قانون‌ها و حل معادله

لگاریتم چیست

توان و لگاریتم دو راه برای توصیف یک رابطه‌اند. عبارت $2^3 = 8$ می‌گوید رساندن 2 به توان 3 عدد 8 را می‌دهد. لگاریتم پرسش را برعکس می‌کند: 2 را به چه توانی برسانیم تا 8 شود؟ پاسخ 3 است و آن را $\log_2 8 = 3$ می‌نویسند.

عدد $b$ پایه، $x$ آرگومان و $y$ توانی است که دنبالش هستید. شرط‌ها مهم‌اند. پایه باید مثبت و مخالف 1 باشد، چون توان‌های 1 همیشه 1 است و توان‌های عددهای منفی برای هر نمای حقیقی تعریف نمی‌شوند. آرگومان باید مثبت باشد، چون پایهٔ مثبت به هر توان حقیقی برسد مثبت است.

• $\log_{10} 1000 = 3$، چون $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$، چون $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$، چون $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ برای هر پایهٔ مجاز، چون $b^0 = 1$، و $\log_b b = 1$ چون $b^1 = b$.

دو پایه نماد خاص خود را دارند. لگاریتم معمولی $\log x$ پایهٔ 10 دارد که برای اندازه‌گیری‌ها بر حسب توان‌های ده مناسب است. لگاریتم طبیعی $\ln x$ پایهٔ $e \approx 2.71828$ دارد که به‌طور طبیعی در رشد، زوال و حسابان ظاهر می‌شود. برخی کتاب‌های درسی و زبان‌های برنامه‌نویسی $\log$ را برای لگاریتم طبیعی به کار می‌برند، پس قرارداد درس خود را بررسی کنید.

سه قانون لگاریتم

چون لگاریتم‌ها توان‌اند، قاعده‌های توان مستقیماً به قاعده‌های لگاریتم ترجمه می‌شوند. برای $M$ و $N$ مثبت و هر پایهٔ مجاز:

قانون ضرب از $b^m b^n = b^{m+n}$ می‌آید: ضرب عددها توان‌هایشان را جمع می‌کند، پس لگاریتم‌هایشان را جمع می‌کند. قانون تقسیم از تقسیم توان‌ها و قانون توان از $(b^m)^k = b^{mk}$ می‌آید. پیش از ماشین‌حساب‌ها، دقیقاً به همین دلیل از جدول‌های لگاریتم استفاده می‌شد: ضرب‌های دشوار را به جمع تبدیل می‌کردند.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$، و در واقع $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

بسط دادن و فشرده کردن عبارت‌ها

در بسط دادن، قانون‌ها یک لگاریتم را به بخش‌های ساده‌تر می‌شکنند و در فشرده کردن، چند لگاریتم را در یکی ترکیب می‌کنند. هر دو از کارهای رایج امتحان‌اند و هر دو در حل معادله‌ها لازم‌اند.

ضریب‌ها باید پیش از ترکیب کردن به توان تبدیل شوند. $2\ln x + \ln y$ برابر $\ln(x^2 y)$ است، نه $\ln(2xy)$.

تغییر پایه

ماشین‌حساب‌ها معمولاً فقط کلید $\log$ و $\ln$ دارند. هر پایهٔ دیگری با فرمول تغییر پایه محاسبه می‌شود که با هر پایهٔ جدید $c$ کار می‌کند:

برای مثال، $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. یک وارسی عقلانی کمک می‌کند: $2^3 = 8$ و $2^4 = 16$، پس جواب باید میان 3 و 4 باشد. این فرمول همچنین نشان می‌دهد $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$، پس $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ چون $\log_2 8 = 3$.

حل معادله‌های نمایی

وقتی مجهول در توان است، توان را تنها کنید و سپس از دو طرف لگاریتم بگیرید تا قانون توان بتواند نما را پایین بیاورد.

اشتباه رایج در مثال 2 گرفتن لگاریتم پیش از تقسیم بر 5 است. این کار نادرست نیست، اما به $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$ می‌رسد که حلش طولانی‌تر است. تنها کردن توان در ابتدا کار را کوتاه نگه می‌دارد.

حل معادله‌های لگاریتمی

وقتی مجهول درون لگاریتم است، لگاریتم‌ها را در یکی ترکیب کنید و سپس معادله را به شکل نمایی بازنویسی کنید. چون لگاریتم صفر و عددهای منفی تعریف‌نشده است، هر جواب احتمالی باید در معادلهٔ اصلی وارسی شود.

جبر مثال 3 به یک معادلهٔ درجهٔ دوم رسید. اگر به یادآوری روش حل آن نیاز دارید، چطور معادلهٔ درجهٔ دوم را حل کنیم را ببینید.

نمودار لگاریتم

تابع $y = \log_b x$ وارون $y = b^x$ است، پس نمودارش قرینهٔ نمودار نمایی نسبت به خط $y = x$ است. برای $b > 1$ از $(1, 0)$ و $(b, 1)$ می‌گذرد، به‌کندی و بی‌کران بالا می‌رود و به محور y به عنوان مجانب قائم نزدیک می‌شود. دامنهٔ آن $(0, \infty)$ و بردش همهٔ عددهای حقیقی است، دقیقاً برعکس دامنه و برد تابع نمایی.

انتقال‌ها دامنه را تغییر می‌دهند. برای $y = \ln(x - 3)$ آرگومان باید مثبت باشد، پس دامنه $(3, \infty)$ است و مجانب به $x = 3$ می‌رود. یافتن چنین دامنه‌هایی در راهنمای دامنه و برد آمده است و رابطه با تابع‌های نمایی در تابع وارون بیشتر توضیح داده شده است. با ماشین‌حساب رسم نمودار می‌توانید چند پایه را با هم رسم کنید.

لگاریتم کجا به کار می‌رود

• رشد مرکب: مقداری که سالانه 5 درصد رشد می‌کند وقتی دو برابر می‌شود که $1.05^t = 2$، پس $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ سال.
• شیمی: pH برابر $-\log[\mathrm{H}^+]$ است، پس غلظت یون هیدروژن $10^{-3}$ مول بر لیتر pH 3 می‌دهد و هر گام pH یک ضریب ده است.
• صوت: تراز دسی‌بل $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$ است، پس صدایی با شدت 100 برابر، 20 دسی‌بل بلندتر است.
• علوم رایانه: جست‌وجوی دودویی روی $n$ مورد حدود $\log_2 n$ گام لازم دارد، پس یک میلیون مورد فقط حدود 20 گام می‌خواهد.

هر چهار مورد یک ویژگی مشترک دارند: لگاریتم کمیت‌هایی را که چندین توان ده را در بر می‌گیرند در مقیاسی مدیریت‌پذیر فشرده می‌کند و تغییر ضربی را به تغییر جمعی تبدیل می‌کند.

اشتباه‌های رایج

• نوشتن $\log(a + b) = \log a + \log b$. قانون ضرب دربارهٔ حاصل‌ضرب است و برای لگاریتم یک جمع قاعده‌ای وجود ندارد.
• نوشتن $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. سمت چپ یک تغییر پایه است، یعنی $\log_b a$.
• اشتباه گرفتن $(\log x)^2$ با $\log x^2 = 2\log x$.
• فراموش کردن وارسی جواب‌های معادله‌های لگاریتمی، که باعث می‌شود جوابی که آرگومانی را منفی می‌کند از دست در برود.
• قاطی کردن $\log$ و $\ln$ روی ماشین‌حساب.

ماشین‌حساب لگاریتم هر پایه‌ای را محاسبه می‌کند و گام تغییر پایه را نشان می‌دهد، پس راهی سریع برای وارسی مثال‌های بالاست.

برنامهٔ مطالعه برای لگاریتم

لگاریتم بیشتر به این دلیل انتزاعی به نظر می‌رسد که نمادگذاری‌اش پرسشی ساده را پنهان می‌کند. راه خوب برای روان شدن این است که ترجمه در هر دو جهت را آن‌قدر تمرین کنید تا خودکار شود. ده توان را که از قبل می‌شناسید، مانند $2^5 = 32$ یا $10^{-2} = 0.01$، بردارید و هر کدام را به صورت لگاریتم بازنویسی کنید. سپس ده لگاریتم را بردارید و هر کدام را به صورت توان بنویسید. پس از جلسه‌ای کوتاه، محاسبهٔ $\log_3 81$ یا $\log_{10} 0.001$ به جای معما به گامی ذهنی و سریع تبدیل می‌شود.

سپس پیش از به کار بردن قانون‌ها روی متغیرها، آن‌ها را روی عددها تمرین کنید. وارسی اینکه $\log_2 8 + \log_2 4$ با محاسبهٔ هر دو طرف برابر $\log_2 32$ است، قانون ضرب را باورپذیر می‌کند و شما را برای تشخیص شکل‌های نادرستی که در بخش اشتباه‌های رایج آمده‌اند آماده می‌کند. فقط پس از آن سراغ بسط دادن و فشرده کردن عبارت‌های جبری بروید.

در پایان، معادله‌ها را در دو خانواده حل کنید: آن‌هایی که مجهول در توان است و آن‌هایی که مجهول درون لگاریتم است. خانوادهٔ اول با گرفتن لگاریتم و خانوادهٔ دوم با بازنویسی به شکل نمایی حل می‌شود. تشخیص اینکه مسئله به کدام خانواده تعلق دارد نیمی از کار است و وارسی دامنه در پایان، عادت دیگری است که جواب‌های درست را از جواب‌های تقریباً درست جدا می‌کند.

پرسش‌های متداول