ماشین‌حساب مشتق: مشتق‌گیری گام‌به‌گام

Q: از چه تابعهایی میتوانم مشتق بگیرم؟

چندجملهایها، توانها و ریشهها، تابعهای نمایی، لگاریتمها، تابعهای مثلثاتی و وارون مثلثاتی، تابعهای هذلولوی و هر ترکیبی از آنها با + و − و × و ÷ و ترکیب تابعها.

Q: از کجا بدانم پاسخ درست است؟

هر نتیجه در 8 نقطهٔ نمونه بهطور عددی با مشتقی که مستقل محاسبه شده مقایسه میشود. اگر با هم نخوانند، هیچ پاسخی نمایش داده نمیشود.

Q: چرا پاسخ من با کتاب درسیام متفاوت به نظر میرسد؟

عبارتهای همارز را میتوان به شکلهای زیادی نوشت، مانند (2x)/(x^2+1) و 2x(x^2+1)^(-1). مقداری را در هر دو جایگذاری کنید تا مطمئن شوید یکیاند.

Q: مشتق دوم دربارهٔ نمودار چه میگوید؟

علامتش تقعر را تعیین میکند. جایی که f'' > 0 نمودار رو به بالا خم میشود، جایی که f'' < 0 رو به پایین خم میشود و جایی که علامتش عوض میشود نقطهٔ عطف وجود دارد.

Q: تابع کجا مشتقپذیر نیست؟

در گوشهها، نقطههای تیز، مماسهای عمودی و ناپیوستگیهای نمودار. مثلاً |x| در 0 گوشه دارد، جایی که شیبهای چپ و راست -1 و 1 هستند، پس مماس یکتایی وجود ندارد.

دربارهٔ ماشین‌حساب مشتق

مشتق $f'(x)$ آهنگ تغییر لحظه‌ای تابع $f$ را اندازه می‌گیرد: شیب خط مماس در هر نقطه. این مشتق از مجموعهٔ کوچکی از قاعده‌ها ساخته می‌شود که روی ساختار عبارت اعمال می‌شوند.

این ماشین‌حساب تابع شما را به یک درخت تجزیه می‌کند، در هر گره قاعدهٔ مناسب را اعمال می‌کند و آن را به عنوان یک گام ثبت می‌کند. سپس نتیجه را ساده می‌کند و پیش از نمایش، آن را در چند نقطهٔ نمونه با یک مشتق‌گیر مستقل مقایسه می‌کند.

مرتبهٔ مشتق را تا مشتق پنجم انتخاب کنید و در صورت تمایل مقداری برای x وارد کنید تا نتیجه در آن حساب شود.

مشتق واقعاً چیست؟

مشتق تابع اندازه می‌گیرد که خروجی آن با تغییر ورودی با چه سرعتی تغییر می‌کند. از نظر هندسی، شیب خط مماس است، یعنی خط راستی که نمودار را در یک نقطه لمس می‌کند و در همان جا هم‌جهت با منحنی است. شیب خط راست همه جا ثابت است، اما روی منحنی‌ای مانند $y = x^2$ از نقطه‌ای به نقطهٔ دیگر تغییر می‌کند، پس مشتق خودش یک تابع است: رابطهٔ $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ یعنی شیب در $x = 1$ برابر 2، در $x = 3$ برابر 6 و در $x = -2$ برابر $-4$ است.

به بیان دقیق، مشتق حدِ خارج‌قسمت‌های تفاضلی است: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ . خارج‌قسمت شیب خط قاطعی است که از دو نقطهٔ نزدیک به هم روی نمودار می‌گذرد و کوچک کردن $h$ تا صفر خط قاطع را به خط مماس تبدیل می‌کند. محاسبهٔ مستقیم این حد هر بار کند است، پس در عمل مشتق‌ها با مجموعهٔ کوچکی از قاعده‌ها پیدا می‌شوند که هر کدام یک بار از تعریف حد اثبات شده‌اند. ماشین‌حساب دقیقاً همین قاعده‌ها را به کار می‌برد و نشان می‌دهد در هر گام کدام استفاده شده است.

مشتق‌ها هر جا آهنگ تغییر مهم باشد ظاهر می‌شوند: سرعت مشتق مکان است، شتاب مشتق سرعت، هزینهٔ نهایی مشتق هزینهٔ کل و سرعت واکنش شیمیایی مشتق غلظت.

این ماشین‌حساب مشتق نسبت به $x$ را محاسبه می‌کند. برای تابع‌های چندمتغیره از ماشین‌حساب مشتق جزئی و برای معادله‌هایی که $x$ و $y$ را با هم دارند از مشتق‌گیری ضمنی استفاده کنید.

چگونه از ماشین‌حساب مشتق استفاده کنیم

تابع را بر حسب x وارد کنید، مانند x^2 sin(x) یا e^(3x)/x. می‌توانید d/dx را هم پیش از آن بنویسید.
مرتبهٔ مشتق را انتخاب کنید: اول یا دوم، تا مشتق پنجم.
در صورت تمایل مقداری برای x وارد کنید تا مشتق در آن حساب شود، سپس دکمهٔ «مشتق بگیر» را بزنید.

فرمول‌ها

قاعدهٔ توان

\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}

قاعدهٔ ضرب

(uv)' = u'v + uv'

قاعدهٔ تقسیم

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

قاعدهٔ زنجیره‌ای

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

مشتق‌های رایج

(\sin x)' = \cos x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac1x

مثال حل‌شده: x² sin(x)

مثال حل‌شده از تابع $f(x) = x^2 \sin x$ مشتق می‌گیرد. این تابع حاصل‌ضرب $u = x^2$ و $v = \sin x$ است، پس ماشین‌حساب قاعدهٔ ضرب $(uv)' = u'v + uv'$ را به کار می‌برد. با قاعدهٔ توان $u' = 2x$ و از مشتق‌های استاندارد مثلثاتی $v' = \cos x$ را پیدا می‌کند و سپس آن‌ها را به صورت $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ ترکیب می‌کند. پس از آن، پاسخ در چند نقطه به‌طور عددی با خارج‌قسمت تفاضلی مقایسه می‌شود تا تأیید شود.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

مشتق x² sin(x) را نسبت به x پیدا کنید.

\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right]

راه‌حل گام‌به‌گام

قاعدهٔ ضرب: (uv)′ = u′v + uv′
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right] = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$
d/dx[sin x] = cos x
$\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
قاعدهٔ توان: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
ترکیب و ساده کنید
$f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$

فرمول‌های به‌کاررفته

قاعدهٔ توانِ توان
$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$
قاعدهٔ ضرب
$(uv)' = u'v + uv'$

مشتق از بیرون به درون ساخته می‌شود: مجموع به جمله‌هایش تقسیم می‌شود، ثابت‌ها بیرون می‌آیند، حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت از قاعده‌های خودشان استفاده می‌کنند و هر تابع مرکب در مشتق تابع درونی‌اش ضرب می‌شود (قاعدهٔ زنجیره‌ای).

بررسی‌ها

به‌طور عددی با یک مشتق‌گیر نمادین مستقل در 8 نقطهٔ نمونه مقایسه شد ✓

توضیح کامل

قاعده‌های پایه

تقریباً همهٔ مشتق‌های درس اول از تعداد کمی قاعده می‌آیند. قاعدهٔ توان $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ را برای هر عدد حقیقی $n$ می‌دهد و ریشه‌ها را هم در بر می‌گیرد، چون مشتق $\sqrt{x} = x^{1/2}$ برابر $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ است. قاعده‌های ضریب ثابت و جمع اجازه می‌دهند از چندجمله‌ای جمله‌به‌جمله مشتق بگیرید. قاعدهٔ تابع نمایی می‌گوید $e^x$ مشتق خودش است و قاعدهٔ لگاریتم $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ را می‌دهد. هر یک از شش تابع مثلثاتی مشتقی استاندارد دارد که با $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ و $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ شروع می‌شود.

این مشتق‌های پایه با سه قاعدهٔ ساختاری ترکیب می‌شوند. قاعدهٔ ضرب $f \cdot g$ را، قاعدهٔ تقسیم $\frac{f}{g}$ را و قاعدهٔ زنجیره‌ای تابعی درون تابع دیگر را پوشش می‌دهد. تشخیص ساختاری که پیش روی شماست بیشتر کار است و به همین دلیل ماشین‌حساب نام قاعده را در عنوان هر گام می‌آورد.

قاعدهٔ زنجیره‌ای در عمل

قاعدهٔ زنجیره‌ای می‌گوید اگر $y = f(g(x))$ باشد، آنگاه $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ : از تابع بیرونی مشتق بگیرید و درونش را دست نزنید، سپس در مشتق درون ضرب کنید. در $\sin(x^2)$ تابع بیرونی سینوس و درون $x^2$ است، پس مشتق $\cos(x^2) \cdot 2x$ است. ماشین‌حساب آن را به شکل $2\cos(x^2)\,x$ می‌نویسد که همان عبارت با ترتیب دیگری از عامل‌هاست.

قاعدهٔ زنجیره‌ای درون قاعده‌های دیگر هم پنهان است. در $e^{3x}$ درون $3x$ است، پس مشتق $3e^{3x}$ است و ماشین‌حساب این گام را قاعدهٔ تابع نمایی با $e^u \cdot u'$ می‌نامد. فراموش کردن عاملی که از تابع درونی می‌آید رایج‌ترین خطای مشتق‌گیری است و مقایسهٔ نتیجهٔ خودتان با گام مربوط به تابع درونی در ماشین‌حساب سریع‌ترین راه پیدا کردنش است.

خارج‌قسمت‌ها و ساده‌سازی

برای خارج‌قسمت $\frac{u}{v}$ قاعده $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ است. ترتیب در صورت مهم است، چون تفریق جابه‌جایی نیست. مشتق‌گیری از $\frac{e^{3x}}{x}$ عبارت $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ را می‌دهد و ماشین‌حساب آن را به $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ ساده می‌کند. هر دو شکل درست‌اند و $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ هم همین‌طور. وقتی پاسخ شما با پاسخ نمایش‌داده‌شده متفاوت به نظر می‌رسد، مقداری مانند $x = 1$ را در هر دو جایگذاری کنید؛ برابر بودن مقدارها در چند نقطه نشانهٔ محکمی از هم‌ارزی دو عبارت است.

مشتق‌های بالاتر و محاسبه در یک نقطه

مشتق‌گیری دوباره مشتق دوم را می‌دهد که اندازه می‌گیرد خود شیب چگونه تغییر می‌کند. مشتق دوم مثبت یعنی نمودار رو به بالا تقعر دارد و مانند کاسه خم شده است و مشتق دوم منفی یعنی رو به پایین تقعر دارد. در $f(x) = x^3$ مشتق اول $3x^2$ و مشتق دوم $6x$ است؛ محاسبه در $x = 2$ مقدار $f''(2) = 12$ را می‌دهد. در فیزیک، اگر $x^3$ مکان باشد، 12 شتاب در لحظهٔ 2 است.

محاسبهٔ مشتق اول در یک نقطه شیب خط مماس در آنجا را می‌دهد و با خود نقطه می‌توانید معادلهٔ خط مماس را به شکل نقطه‌-شیب بنویسید. این پایهٔ تقریب خطی و روش نیوتن برای حل معادله‌هاست.

استفاده از مشتق برای پیدا کردن بیشینه و کمینه

تابع هموار فقط جایی می‌تواند بیشینهٔ نسبی یا کمینهٔ نسبی داشته باشد که مشتقش صفر یا تعریف‌نشده باشد، چون خط مماس در قلهٔ تپه یا کف دره افقی است. برای بهینه‌سازی تابع، از آن مشتق بگیرید، $f'(x) = 0$ قرار دهید، $x$ را پیدا کنید و هر نقطهٔ نامزد را بیازمایید. در $f(x) = x^3 - 3x$ مشتق $3x^2 - 3$ است که در $x = -1$ و $x = 1$ صفر می‌شود. مشتق دوم $6x$ در $-1$ منفی و در $1$ مثبت است، پس نمودار در $(-1, 2)$ بیشینهٔ نسبی و در $(1, -2)$ کمینهٔ نسبی دارد.

روی بازهٔ بسته، بیشترین و کمترین مقدار ممکن است در دو سر بازه هم رخ دهند، پس مقدار تابع را در آنجا هم مقایسه کنید. بسیاری از مسئله‌های کاربردی، مثل کمینه کردن مصالح جعبه‌ای با حجم ثابت، پس از نوشتن کمیت مورد بهینه‌سازی به صورت تابعی از یک متغیر دقیقاً همین الگو را دنبال می‌کنند.

ماشین‌حساب چطور پاسخش را بررسی می‌کند

مشتق‌گیری نمادین ممکن است به شکل‌های ظریفی، به‌ویژه هنگام ساده‌سازی، اشتباه کند، پس نتیجه بدون بررسی قابل اعتماد نیست. ماشین‌حساب مشتق خود را در مجموعه‌ای از نقطه‌های نمونه حساب می‌کند و آن را با خارج‌قسمت تفاضلی مرکزی $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ برای مقدار کوچکی از $h$ مقایسه می‌کند که مستقیماً از تابع اصلی شما محاسبه شده است. اگر دو مقدار در هر نقطه‌ای که تابع تعریف شده است با تلرانسی کم با هم بخوانند، بررسی موفق است و زیر پاسخ ذکر می‌شود. همین ایده را می‌توانید با دست و یک ماشین‌حساب معمولی اجرا کنید: مقداری برای $x$ انتخاب کنید، آن را کمی بالا و پایین ببرید و ببینید آیا تغییر $f$ تقسیم بر تغییر $x$ با مشتق شما یکی است.

اشتباه‌های رایج

فراموش کردن مشتق درونی در قاعدهٔ زنجیره‌ای: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ ، نه $\cos 3x$ .
نوشتن $(uv)' = u'v'$ ؛ قاعدهٔ ضرب دو جمله دارد.
برعکس نوشتن ترتیب صورت در قاعدهٔ تقسیم.
به کار بردن قاعدهٔ توان برای $a^x$ ؛ تابع‌های نمایی به $(a^x)' = a^x \ln a$ نیاز دارند.
نوشتن $(uv)' = u'v'$ ؛ مشتق حاصل‌ضرب، حاصل‌ضرب مشتق‌ها نیست.
رفتار با ثابتی مانند $\pi$ یا $e^2$ مثل متغیر و مشتق گرفتن از آن.

نکته‌ها

ریشه‌ها و معکوس‌ها را به صورت توان بنویسید: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ، $\frac1{x^2} = x^{-2}$ .
آخرین عمل عبارت را مشخص کنید؛ می‌گوید با کدام قاعده شروع کنید.
برای تابع‌هایی مانند $x^x$ از مشتق‌گیری لگاریتمی استفاده کنید.
پیش از مشتق‌گیری ریشه‌ها و معکوس‌ها را به صورت توان بنویسید: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ .
قاعدهٔ تقسیم را فقط وقتی به کار ببرید که مخرج شامل $x$ باشد؛ $\frac{x^2}{5}$ همان $\frac15x^2$ است.
هر جا ممکن است پیش از مشتق‌گیری تابع را ساده کنید؛ $\frac{x^3 + x}{x}$ به ازای $x \ne 0$ همان $x^2 + 1$ است.

پرسش‌های متداول

مشتق چیست؟

آهنگ تغییر تابع نسبت به متغیرش است و با شیب خط مماس برابر است: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

از چه تابع‌هایی می‌توانم مشتق بگیرم؟

چندجمله‌ای‌ها، توان‌ها و ریشه‌ها، تابع‌های نمایی، لگاریتم‌ها، تابع‌های مثلثاتی و وارون مثلثاتی، تابع‌های هذلولوی و هر ترکیبی از آن‌ها با + و − و × و ÷ و ترکیب تابع‌ها.

مشتق دوم را چطور پیدا کنم؟

از فهرست «مرتبهٔ مشتق» گزینهٔ «مشتق دوم» را انتخاب کنید. ماشین‌حساب دوباره از مشتق اول ساده‌شده مشتق می‌گیرد و هر دو مرحله را نشان می‌دهد.

آیا می‌توانم مشتق را در یک نقطه حساب کنم؟

بله. مقداری مانند 2 یا pi/4 را در خانهٔ «مقدار در x =» وارد کنید تا $f'(a)$ ، یعنی شیب خط مماس در $x = a$ ، را بگیرید.

از کجا بدانم پاسخ درست است؟

هر نتیجه در 8 نقطهٔ نمونه به‌طور عددی با مشتقی که مستقل محاسبه شده مقایسه می‌شود. اگر با هم نخوانند، هیچ پاسخی نمایش داده نمی‌شود.

چرا پاسخ من با کتاب درسی‌ام متفاوت به نظر می‌رسد؟

عبارت‌های هم‌ارز را می‌توان به شکل‌های زیادی نوشت، مانند $\frac{2x}{x^2+1}$ و $2x(x^2+1)^{-1}$ . مقداری را در هر دو جایگذاری کنید تا مطمئن شوید یکی‌اند.

قاعدهٔ زنجیره‌ای را چطور به کار ببرم؟

از تابع بیرونی مشتق بگیرید و عبارت درونی را دست نزنید، سپس در مشتق عبارت درونی ضرب کنید. برای $\sin(x^2)$ این کار $\cos(x^2) \cdot 2x$ را می‌دهد.

مشتق دوم دربارهٔ نمودار چه می‌گوید؟

علامتش تقعر را تعیین می‌کند. جایی که $f'' > 0$ نمودار رو به بالا خم می‌شود، جایی که $f'' < 0$ رو به پایین خم می‌شود و جایی که علامتش عوض می‌شود نقطهٔ عطف وجود دارد.

تابع کجا مشتق‌پذیر نیست؟

در گوشه‌ها، نقطه‌های تیز، مماس‌های عمودی و ناپیوستگی‌های نمودار. مثلاً $|x|$ در 0 گوشه دارد، جایی که شیب‌های چپ و راست $-1$ و $1$ هستند، پس مماس یکتایی وجود ندارد.

از تابعتان مشتق بگیرید

هر تابعی در بالا وارد کنید تا مشتق را همراه با قاعدهٔ به‌کاررفته در هر گام ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید