ماشین‌حساب انتگرال معین

چرا F(b) − F(a) مساحت را می‌دهد

تابع مساحتی مانند $A(t)$ را تصور کنید که مساحت زیر $f$ را از $a$ تا نقطهٔ متحرک $t$ اندازه می‌گیرد. اگر $t$ را به اندازهٔ بسیار کوچک $h$ جلو ببرید، مساحت اضافه نوار باریکی با ارتفاع تقریبی $f(t)$ و پهنای $h$ است، پس $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. تقسیم بر $h$ و سپس کوچک کردن آن نشان می‌دهد که $A'(t) = f(t)$: یعنی تابع مساحت یک پادمشتق $f$ است.

هر دو پادمشتق فقط با یک ثابت با هم فرق دارند، پس برای هر پادمشتق $F$ که پیدا کرده‌اید $A(t) = F(t) + C$. چون $A(a) = 0$، ثابت برابر $-F(a)$ است و مساحت کامل $A(b) = F(b) - F(a)$ است. به همین دلیل ثابت انتگرال‌گیری هرگز در انتگرال معین ظاهر نمی‌شود: در تفریق حذف می‌شود.

مساحت علامت‌دار و مساحت مطلق

وقتی نمودار به زیر محور می‌رود، انتگرال آن بخش را کم می‌کند. در $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ گنبد مثبت و گنبد منفی دقیقاً یکدیگر را خنثی می‌کنند و پاسخ 0 است. این مقدار درست انتگرال است، اما مساحتی نیست که روی نمودار هاشور می‌زنید.

برای پیدا کردن مساحت کل، صفرهای تابع درون بازه را مشخص کنید، روی هر تکه انتگرال بگیرید و قدرمطلق تکه‌ها را جمع بزنید. ماشین‌حساب abs() را می‌پذیرد، پس وارد کردن abs(x-1) از 0 تا 2 عدد 1 را می‌دهد که مجموع مساحت دو مثلث است، در حالی که x-1 روی همان بازه 0 می‌دهد.

انتگرال‌های ناسره: کران‌های بی‌نهایت و مجانب‌های عمودی

انتگرال وقتی ناسره است که یکی از دو سرش بی‌نهایت باشد یا تابع زیر انتگرال جایی در بازه بی‌کران شود. در این حالت مقدارش به صورت یک حد تعریف می‌شود. در $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ ماشین‌حساب $F(x) = -\frac1x$ را پیدا می‌کند، حد آن را وقتی $x \to \infty$ می‌گیرد که 0 است، $F(1) = -1$ را کم می‌کند و اعلام می‌کند که انتگرال به 1 همگراست.

همین ایده مجانب‌ها را هم حل می‌کند. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ به 2 همگراست چون $2\sqrt{x}$ در 0 حد متناهی دارد، در حالی که $\int_0^1 \frac1x\,dx$ واگراست چون $\ln x$ به $-\infty$ می‌رود. هر دو تابع زیر انتگرال در صفر منفجر می‌شوند؛ آنچه نتیجه را تعیین می‌کند سرعت این انفجار است. اگر نقطهٔ تکین وسط بازه باشد، باید انتگرال را در آنجا تقسیم کرد و هر نیمه باید جداگانه همگرا باشد.

روی کل محور اعداد حقیقی هر دو سر به حد نیاز دارند. ماشین‌حساب $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ را به صورت $\arctan x$ از $-\frac{\pi}{2}$ تا $\frac{\pi}{2}$ حساب می‌کند و دقیقاً $\pi$ را می‌دهد.

وقتی فرمولی وجود ندارد: انتگرال‌گیری عددی

برخی تابع‌های کاملاً معمولی پادمشتق‌هایی دارند که نمی‌توان با تابع‌های مقدماتی نوشت. تابع زنگوله‌ای $e^{-x^2}$، $\frac{\sin x}{x}$ و $\sqrt{1 + x^3}$ نمونه‌های شناخته‌شده‌اند. انتگرال‌های معین آن‌ها با این حال وجود دارند؛ فقط باید به‌طور عددی حساب شوند.

در این حالت ماشین‌حساب از قاعدهٔ سیمپسون تطبیقی استفاده می‌کند که سهمی‌هایی را روی تکه‌های کوچک منحنی برازش می‌دهد و هر جا تخمین هنوز به دقت لازم نرسیده باشد بیشتر تقسیم می‌کند و خطایی کمتر از $10^{-10}$ را هدف می‌گیرد. برای $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ حدود 0.7468241328 را می‌دهد و آن را تقریب عددی علامت می‌زند تا هرگز با مقدار دقیق اشتباه گرفته نشود.

ویژگی‌های مفیدی که در کار صرفه‌جویی می‌کنند

جابه‌جا کردن کران‌ها علامت را عوض می‌کند، پس $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. انتگرال روی بازه‌ای با پهنای صفر برابر صفر است. برای تابع فردی مانند $x^3$ یا $\sin x$، انتگرال روی بازهٔ متقارن $[-a, a]$ صفر است و برای تابع زوج دو برابر انتگرال از 0 تا $a$ است. توجه به تقارن پیش از محاسبه می‌تواند مسئله‌ای پیچیده را به پاسخی یک‌سطری تبدیل کند.

انتگرال‌ها خطی هم هستند: ثابت‌ها به صورت عامل مشترک بیرون می‌آیند و جمع‌ها به انتگرال‌های جداگانه تقسیم می‌شوند. همراه با قاعدهٔ تقسیم بازه، این ویژگی‌ها اجازه می‌دهند ناحیه‌ای پیچیده را به تکه‌هایی بشکنید که کار با هر کدام آسان است.