رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

حسابان

قواعد مشتق‌گیری با مثال‌های حل‌شده

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

محاسبهٔ مشتق از روی تعریف حدی کند است. مجموعهٔ کوچکی از قاعده‌ها، که هر کدام یک بار از همان تعریف ثابت شده‌اند، به شما امکان می‌دهد تقریباً از هر فرمولی در چند سطر مشتق بگیرید. این راهنما هر قاعده، دلیل درستی آن و شیوهٔ ترکیب قاعده‌ها را توضیح می‌دهد.

چرا قاعده به جای حد

مشتق به صورت یک حد تعریف می‌شود، f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}، و مقالهٔ مشتق چیست این تعریف را برای توابع ساده گام به گام پیش می‌برد. انجام این کار برای هر مسئله طاقت‌فرسا است. به جای آن، ریاضی‌دانان قاعده‌هایی کلی را یک بار ثابت کرده‌اند و این قاعده‌ها اکنون از پس چندجمله‌ای‌ها، رادیکال‌ها، توابع نمایی، لگاریتم‌ها، توابع مثلثاتی و هر ترکیبی از آن‌ها برمی‌آیند.

قاعده‌ها را در دو گروه در نظر بگیرید: مشتق اجزای پایه، و قاعده‌هایی برای ترکیب این اجزا از راه جمع، ضرب، تقسیم و ترکیب توابع.

قاعده‌های پایه: ثابت‌ها، توان‌ها و مجموع‌ها

ddxc=0,ddxxn=nxn−1,ddx[cf(x)]=cf′(x),ddx[f+g]=f′+g′\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

مقدار ثابت هرگز تغییر نمی‌کند، پس آهنگ تغییرش صفر است. قاعدهٔ توان برای هر نمای حقیقی nn کار می‌کند، نه فقط برای عددهای طبیعی، و همین آن را بسیار مفیدتر از آنچه در نگاه اول به نظر می‌رسد می‌کند. ضریب ثابت مستقیم از مشتق عبور می‌کند و مشتق مجموع برابر مجموع مشتق‌هاست.

مثال 1: یک چندجمله‌ای

  1. از 5x4−3x2+7x−25x^4 - 3x^2 + 7x - 2 جمله به جمله مشتق بگیرید.
  2. 5⋅4x3−3⋅2x+7−0=20x3−6x+75 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7.

مثال 2: رادیکال‌ها و معکوس‌ها

  1. اول آن‌ها را به صورت توان بازنویسی کنید: 4x3=4x−3\frac{4}{x^3} = 4x^{-3} و 6x=6x1/26\sqrt{x} = 6x^{1/2}.
  2. ddx4x−3=−12x−4=−12x4\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}.
  3. ddx6x1/2=3x−1/2=3x\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}.

پیش از مشتق‌گیری، رادیکال‌ها و کسرهایی را که xx در مخرجشان است به صورت توان بازنویسی کنید. بیشتر خطاهای قاعدهٔ توان از جا انداختن همین گام می‌آیند.

توابع نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی

این مشتق‌ها ارزش حفظ کردن دارند، چون هر مسئلهٔ بزرگ‌تری از آن‌ها ساخته می‌شود:

ddxex=ex,ddxax=axln⁡a,ddxln⁡x=1x,ddxlog⁡ax=1xln⁡a\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}
ddxsin⁡x=cos⁡x,ddxcos⁡x=−sin⁡x,ddxtan⁡x=sec⁡2x\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

تابع exe^x مشتق خودش است و به همین دلیل ee در سراسر حسابان ظاهر می‌شود. قاعده‌های مثلثاتی زاویه را بر حسب رادیان می‌خواهند؛ بر حسب درجه، ضریب اضافی π180\frac{\pi}{180} پیدا می‌شود. مشتق‌های مثلثاتی باقی‌مانده عبارت‌اند از ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x، ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x و ddxcot⁡x=−csc⁡2x\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x که همه از قاعدهٔ تقسیم در ادامه به دست می‌آیند.

قاعدهٔ ضرب

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

مشتق حاصل‌ضرب برابر حاصل‌ضرب مشتق‌ها نیست. برای دیدن دلیلش، مستطیلی با ضلع‌های ff و gg را تصور کنید. وقتی هر دو ضلع کمی بزرگ شوند، مساحت نواری به اندازهٔ f′⋅gf' \cdot g در امتداد یک ضلع و نواری به اندازهٔ f⋅g′f \cdot g' در امتداد ضلع دیگر به دست می‌آورد، به‌علاوهٔ گوشه‌ای بسیار کوچک که در حد از بین می‌رود.

مثال 3: y=x2sin⁡xy = x^2\sin x

  1. فرض کنید f=x2f = x^2 و g=sin⁡xg = \sin x، پس f′=2xf' = 2x و g′=cos⁡xg' = \cos x.
  2. y′=2xsin⁡x+x2cos⁡xy' = 2x\sin x + x^2\cos x.
  3. در x=πx = \pi: y′=2π⋅0+π2(−1)=−π2y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2.

قاعدهٔ تقسیم

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

به خاطر تفریق، ترتیب در اینجا مهم است. یک راه رایج برای به خاطر سپردن آن این جمله است: «مشتق صورت ضرب در مخرج، منهای صورت ضرب در مشتق مخرج، تقسیم بر مجذور مخرج».

مثال 4: y=x2+1x−1y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}

  1. f=x2+1f = x^2 + 1، f′=2xf' = 2x؛ g=x−1g = x - 1، g′=1g' = 1.
  2. y′=2x(x−1)−(x2+1)(1)(x−1)2y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}.
  3. صورت را ساده کنید: 2x2−2x−x2−1=x2−2x−12x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1، پس y′=x2−2x−1(x−1)2y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}.

به کار بردن آن برای tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} حاصل cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=sec⁡2x\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x را می‌دهد که جدول بالا را تأیید می‌کند.

قاعدهٔ زنجیره‌ای

قاعدهٔ زنجیره‌ای به ترکیب توابع می‌پردازد، یعنی تابعی درون تابع دیگر. اگر y=f(g(x))y = f(g(x))، آن‌گاه:

dydx=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

به بیان ساده: از تابع بیرونی مشتق بگیرید و درون آن را دست نزنید، سپس در مشتق تابع درونی ضرب کنید. در نمادگذاری لایب‌نیتس، با u=g(x)u = g(x)، قاعده به صورت dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} خوانده می‌شود. آهنگ‌ها در هم ضرب می‌شوند: اگر uu با سرعتی 3 برابر xx و yy با سرعتی 2 برابر uu تغییر کند، آن‌گاه yy با سرعتی 6 برابر xx تغییر می‌کند. تشخیص تابع درونی و بیرونی همان مهارتی است که در ترکیب توابع تمرین می‌شود.

مثال 5: چهار مشتق با قاعدهٔ زنجیره‌ای

  1. ddx(3x2+1)5=5(3x2+1)4⋅6x=30x(3x2+1)4\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4.
  2. ddxsin⁡(x2)=cos⁡(x2)⋅2x\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.
  3. ddxe−2x=−2e−2x\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}.
  4. ddxln⁡(x2+4)=2xx2+4\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}.

ترکیب قاعده‌ها

مسئله‌های واقعی قاعده‌ها را با هم می‌آمیزند. از بیرون به درون کار کنید: تشخیص دهید آخرین عمل در عبارت چیست، قاعدهٔ آن را به کار ببرید و سپس به هر جزء بپردازید.

مثال 6: y=xe3xy = xe^{3x}

  1. بیرونی‌ترین عمل ضرب است، پس از قاعدهٔ ضرب استفاده کنید.
  2. مشتق e3xe^{3x} به قاعدهٔ زنجیره‌ای نیاز دارد: 3e3x3e^{3x}.
  3. y′=1⋅e3x+x⋅3e3x=e3x(1+3x)y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x).

مثال 7: مشتق‌گیری لگاریتمی از y=xxy = x^x

  1. نه قاعدهٔ توان به کار می‌آید و نه قاعدهٔ تابع نمایی، چون هم پایه و هم نما متغیرند.
  2. از دو طرف لگاریتم بگیرید: ln⁡y=xln⁡x\ln y = x\ln x.
  3. از دو طرف مشتق بگیرید و در طرف چپ از قاعدهٔ زنجیره‌ای استفاده کنید: y′y=ln⁡x+1\frac{y'}{y} = \ln x + 1.
  4. پس به ازای x>0x > 0 داریم y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^x(\ln x + 1).

وقتی اصلاً نمی‌توان yy را تنها کرد، مانند x2+y2=25x^2 + y^2 = 25، قاعدهٔ زنجیره‌ای همچنان از راه مشتق‌گیری ضمنی کار می‌کند.

اشتباه‌های رایج

  • فراموش کردن مشتق تابع درونی در قاعدهٔ زنجیره‌ای، مثلاً نوشتن cos⁡(x2)\cos(x^2) به عنوان مشتق sin⁡(x2)\sin(x^2).
  • ضرب کردن مشتق‌ها برای یک حاصل‌ضرب به جای استفاده از قاعدهٔ ضرب.
  • جابه‌جا کردن ترتیب در صورت قاعدهٔ تقسیم که علامت را برعکس می‌کند.
  • به کار بردن قاعدهٔ توان برای exe^x یا 2x2^x؛ این‌ها توابع نمایی‌اند، نه توان.
  • استفاده از درجه در مشتق‌های مثلثاتی.

برای وارسی جواب، ماشین‌حساب مشتق نشان می‌دهد در هر گام کدام قاعده را به کار می‌برد و ماشین‌حساب رسم نمودار امکان می‌دهد شیب منحنی را با مقدارهای مشتق خودتان مقایسه کنید.

توابع وارون مثلثاتی

توابع وارون مثلثاتی مشتق‌هایی جبری دارند و این نکته بسیاری از دانش‌آموزان را بار اول شگفت‌زده می‌کند. این مشتق‌ها از مشتق‌گیری ضمنی رابطهٔ وارون به دست می‌آیند؛ برای مثال، اگر y=arcsin⁡xy = \arcsin x آن‌گاه sin⁡y=x\sin y = x، و مشتق‌گیری از دو طرف cos⁡y⋅y′=1\cos y \cdot y' = 1 را می‌دهد. چون روی بُرد آرک‌سینوس cos⁡y=1−x2\cos y = \sqrt{1 - x^2} است، نتیجه به دست می‌آید:

ddxarcsin⁡x=11−x2,ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

این دو نتیجه در انتگرال‌گیری بیش از مشتق‌گیری اهمیت دارند، چون توضیح می‌دهند چرا انتگرال‌هایی مانند ∫dx1+x2\int \frac{dx}{1 + x^2} به آرک‌تانژانت می‌رسند.

مشتق‌های مراتب بالاتر

مشتق گرفتن از یک مشتق، مشتق دوم را می‌دهد و هر بار همان قاعده‌ها برقرارند. برای y=x4y = x^4، مشتق‌ها به ترتیب 4x34x^3، سپس 12x212x^2، سپس 24x24x، سپس 24 هستند و هر مشتق پس از آن 0 است. یک چندجمله‌ای از درجهٔ nn همیشه پس از n+1n + 1 بار مشتق‌گیری صفر می‌شود.

سینوس و کسینوس در عوض چرخه می‌سازند: مشتق‌های sin⁡x\sin x به ترتیب cos⁡x\cos x، −sin⁡x-\sin x، −cos⁡x-\cos x و دوباره sin⁡x\sin x هستند و هر چهار گام تکرار می‌شوند. تابع نمایی exe^x اصلاً تغییر نمی‌کند. این الگوها نقطهٔ شروع ساختن سری تیلور هستند که توابع را با استفاده از همهٔ مشتق‌هایشان در یک نقطه تقریب می‌زند.

تمرین‌ها با جواب

هر تمرین را پیش از خواندن جواب امتحان کنید. اول تشخیص دهید بیرونی‌ترین قاعده کدام است.

  1. ddx(2x3−1x)\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right). جواب: 6x2+1x26x^2 + \frac{1}{x^2}.
  2. ddx(x3ex)\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right). جواب: x2ex(3+x)x^2e^x(3 + x)، با قاعدهٔ ضرب.
  3. ddxcos⁡(5x+1)\frac{d}{dx}\cos(5x + 1). جواب: −5sin⁡(5x+1)-5\sin(5x + 1)، با قاعدهٔ زنجیره‌ای.
  4. ddxln⁡xx\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}. جواب: 1−ln⁡xx2\frac{1 - \ln x}{x^2}، با قاعدهٔ تقسیم.
  5. ddx1+x2\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}. جواب: x1+x2\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}، با قاعدهٔ زنجیره‌ای و توان 12\frac{1}{2}.

قاعده‌ها در عمل: آهنگ‌هایی که به هم وابسته‌اند

قاعدهٔ زنجیره‌ای حل مسئله‌های آهنگ‌های وابسته را ممکن می‌کند. فرض کنید موجی دایره‌ای روی سطح برکه پخش می‌شود و شعاعش با آهنگ 2 سانتی‌متر بر ثانیه زیاد می‌شود. مساحت A=πr2A = \pi r^2 است و مشتق‌گیری نسبت به زمان dAdt=2πrdrdt\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} را می‌دهد. وقتی شعاع 10 سانتی‌متر است، مساحت با آهنگ 2π(10)(2)=40π≈125.72\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7 سانتی‌متر مربع بر ثانیه زیاد می‌شود.

همین ایده به پرسش‌هایی دربارهٔ نردبانی که روی دیوار سُر می‌خورد، بادکنکی که باد می‌شود یا سایهٔ کسی که از تیر چراغ برق دور می‌شود پاسخ می‌دهد. در هر مورد معادله‌ای می‌نویسید که کمیت‌ها را به هم پیوند می‌دهد، با قاعدهٔ زنجیره‌ای از همهٔ جمله‌ها نسبت به زمان مشتق می‌گیرید و سپس مقدارها را در لحظهٔ مورد نظر جای‌گذاری می‌کنید. جای‌گذاری پیش از مشتق‌گیری اشتباهی کلاسیک است، چون کمیت‌های متغیر را به ثابت تبدیل می‌کند.

پرسش‌های متداول

آیا قاعدهٔ توان برای نماهای منفی و کسری هم کار می‌کند؟

بله. این قاعده برای هر نمای حقیقی برقرار است، پس ddxx−1=−x−2\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} و ddxx1/3=13x−2/3\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}. اول رادیکال‌ها و معکوس‌ها را به صورت توان بازنویسی کنید.

آیا می‌توانم از قاعدهٔ تقسیم پرهیز کنم؟

اغلب بله. fg\frac{f}{g} را به صورت f⋅g−1f \cdot g^{-1} بنویسید و از قاعدهٔ ضرب و زنجیره‌ای استفاده کنید، یا اول کسر را ساده کنید. هر دو راه به یک جواب می‌رسند، هرچند ممکن است برای یکسان دیده شدن به ساده‌سازی نیاز باشد.

از کجا بفهمم کی باید از قاعدهٔ زنجیره‌ای استفاده کنم؟

هر وقت چیزی غیر از خودِ xx درون یک تابع قرار گرفته باشد: توانی از یک پرانتز، تابعی مثلثاتی از 2x2x، عدد ee به توانی غیر از xx، یا لگاریتم یک عبارت. اگر درون تابع فقط xx باشد، مشتقش 1 است و قاعدهٔ زنجیره‌ای چیزی را تغییر نمی‌دهد.

چرا مشتق e به توان x با خودش برابر است؟

عدد e≈2.71828e \approx 2.71828 دقیقاً پایه‌ای است که به ازای آن شیب axa^x در x=0x = 0 برابر 1 می‌شود. با این ویژگی، تعریف حدی نشان می‌دهد شیب در هر نقطه با مقدار تابع در همان نقطه برابر است.

قاعده‌های مشتق‌گیری را به چه ترتیبی به کار ببرم؟

از آخرین عملی شروع کنید که اگر می‌خواستید عبارت را به ازای یک عدد حساب کنید انجام می‌دادید. اگر آن عمل ضرب است، از قاعدهٔ ضرب استفاده کنید؛ اگر اعمال یک تابع روی یک پرانتز است، از قاعدهٔ زنجیره‌ای. سپس همین پرسش را برای هر جزء تکرار کنید و به سمت درون پیش بروید.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.