سری تیلور: تقریب توابع با چندجمله‌ای‌ها

ایده: مشتق‌ها را یکسان کنید

چندجمله‌ای‌ها ساده‌ترین توابع برای کار کردن‌اند. می‌توان آن‌ها را فقط با جمع و ضرب محاسبه کرد و مشتق‌گیری یا انتگرال‌گیری از آن‌ها کاری روزمره است. محاسبهٔ دستی توابعی مانند $e^x$، $\sin x$ و $\ln x$ بسیار دشوارتر است. ایدهٔ سری تیلور یافتن چندجمله‌ای‌ای است که در نزدیکی نقطهٔ انتخاب‌شدهٔ $a$ مانند تابع رفتار کند.

بهترین خط گذرنده از یک نقطه، خط مماس است که مقدار تابع و مشتق اول آن را در آنجا یکسان می‌کند. یک سهمی می‌تواند مشتق دوم را هم یکسان کند و در نتیجه خمیدگی منحنی را دنبال کند. یک چندجمله‌ای درجهٔ سوم می‌تواند مشتق سوم را هم یکسان کند و به همین ترتیب. هر مشتق یکسان‌شدهٔ اضافی باعث می‌شود چندجمله‌ای در گسترهٔ وسیع‌تری اطراف نقطه به تابع بچسبد. ادامهٔ این کار تا بی‌نهایت سری تیلور را می‌دهد.

فرمول سری تیلور

اگر بخواهیم مشتق $n$ام چندجمله‌ای در $a$ برابر $f^{(n)}(a)$ باشد، ضریب $(x - a)^n$ ناگزیر $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ می‌شود. فاکتوریل به این دلیل ظاهر می‌شود که $n$ بار مشتق‌گیری از $(x - a)^n$ حاصل $n!$ را می‌دهد. سری کامل چنین است:

وقتی $a = 0$، سری را سری مک‌لورن می‌نامند و توان‌ها به سادگی $x^n$ هستند. چندجمله‌ای حاصل از جمله‌ها تا $(x - a)^n$ چندجمله‌ای تیلور درجهٔ $n$ است و آن را $P_n(x)$ می‌نویسند. دو جملهٔ نخست به تنهایی همان تقریب خط مماس‌اند که خطی‌سازی هم نامیده می‌شود.

ساختن سری برای e به توان x

قرار دادن $x = 1$ فرمول مشهوری برای خود این ثابت می‌دهد: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$ که پس از حدود دوازده جمله به 2.71828 می‌رسد، چون فاکتوریل‌ها بسیار سریع رشد می‌کنند.

سری‌هایی که دانستنشان می‌ارزد

این سری‌های مک‌لورن مدام ظاهر می‌شوند و بیشتر سری‌های دیگر را می‌توان با جای‌گذاری، ضرب، مشتق‌گیری یا انتگرال‌گیری از آن‌ها ساخت:

سینوس فقط توان‌های فرد دارد که با فرد بودن این تابع جور است، و کسینوس فقط توان‌های زوج دارد که با تقارن آن جور است. مشتق‌گیری جمله‌به‌جمله از سری سینوس سری کسینوس را می‌دهد، درست همان‌طور که مشتق $\sin x$ باید $\cos x$ باشد.

برای وارسی، $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$، در حالی که مقدار واقعی $0.0998334$ است. دو جمله همین حالا شش رقم اعشار درست می‌دهند و به همین دلیل ماشین‌حساب‌ها می‌توانند توابع مثلثاتی را با چندجمله‌ای‌های کوتاه این‌قدر سریع محاسبه کنند.

بسط حول نقطه‌ای غیر از صفر

انتخاب $a$ نزدیک به ورودی‌ای که برایتان مهم است، تقریب را بسیار سریع‌تر همگرا می‌کند. برای تخمین $\sqrt{4.1}$، تابع $\sqrt{x}$ را حول $a = 4$ بسط دهید، جایی که ریشهٔ دوم آسان است.

خطا چقدر بزرگ است؟

قضیهٔ تیلور خطای چندجمله‌ای تیلور را به دست می‌دهد. اگر میان $a$ و $x$ داشته باشیم $|f^{(n+1)}| \le M$، آن‌گاه باقی‌مانده پس از جملهٔ درجهٔ $n$ در این نابرابری صدق می‌کند:

برای $e^{0.5}$ با $n = 3$، مشتق چهارم روی این بازه $e^t \le e^{0.5} < 2$ است، پس خطا حداکثر $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$ است. خطای واقعی، $0.0029$، درون این کران است. این کران در جهت معکوس هم مفید است: پیش از شروع محاسبه به شما می‌گوید برای تضمین دقتی معین به چند جمله نیاز دارید.

برای سری‌های متناوب مانند سری‌های سینوس و کسینوس، تخمین ساده‌تری هم هست: خطا از نخستین جملهٔ کنارگذاشته‌شده بزرگ‌تر نیست. ایده‌های پشت این قاعده در آزمون‌های همگرایی سری‌ها آمده است.

سری کجا همگراست

سری تیلور همه‌جا با تابعش برابر نیست. سری هندسی $\frac{1}{1 - x}$ فقط برای $|x| < 1$ کار می‌کند؛ در $x = 2$ طرف چپ برابر $-1$ است در حالی که جمله‌های سری بی‌کران رشد می‌کنند. مجموعهٔ مقدارهای $x$ که سری در آن‌ها همگراست بازه‌ای به مرکز $a$ است و نصف پهنای آن شعاع همگرایی نام دارد. معمولاً آن را با آزمون نسبت پیدا می‌کنند.

سری‌های $e^x$، $\sin x$ و $\cos x$ برای هر $x$ حقیقی همگرا هستند. سری $\ln(1 + x)$ برای $-1 < x \le 1$ همگراست؛ در $x = 1$ نتیجهٔ چشمگیر $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ را می‌دهد، هرچند بسیار کند همگرا می‌شود.

سری تیلور به چه کاری می‌آید

• محاسبهٔ توابع: ماشین‌حساب‌ها و نرم‌افزارها از تقریب‌های چندجمله‌ای‌ای استفاده می‌کنند که خویشاوند نزدیک چندجمله‌ای‌های تیلورند.
• حدها: جایگزینی $\sin x$ با $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ نشان می‌دهد $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$، بدون قاعدهٔ هوپیتال.
• انتگرال‌هایی که پادمشتق مقدماتی ندارند: انتگرال‌گیری جمله‌به‌جمله از سری $e^{-x^2}$ نتیجه می‌دهد $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$ که به مقدار واقعی $0.7468$ نزدیک است.
• فیزیک: تقریب زاویهٔ کوچک $\sin\theta \approx \theta$ که برای آونگ‌ها به کار می‌رود، نخستین جملهٔ سری سینوس است.
• فرمول اویلر $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ که از مقایسهٔ این سه سری نتیجه می‌شود.

ماشین‌حساب سری تیلور هر تابعی را تا مرتبهٔ دلخواه حول هر نقطه‌ای بسط می‌دهد و هر مشتق را نشان می‌دهد. مهارت مشتق‌گیری در اینجا ضروری است، پس قواعد مشتق‌گیری به زبان ساده همراه مفیدی است.

دستورالعملی برای هر چندجمله‌ای تیلور

1. مرکز $a$ را انتخاب کنید: نقطه‌ای نزدیک جایی که به مقدارها نیاز دارید و تابع و مشتق‌هایش در آن آسان محاسبه می‌شوند.
2. به تعداد درجهٔ مورد نظر از تابع مشتق بگیرید و هر مشتق را ساده کنید.
3. هر مشتق را در $a$ محاسبه کنید.
4. مقدار $n$ام را بر $n!$ تقسیم کنید تا هر ضریب به دست آید.
5. چندجمله‌ای را با توان‌های $(x - a)$ بنویسید، نه توان‌های $x$، مگر آنکه $a = 0$.
6. ضریب نخست را وارسی کنید: $P_n(a)$ باید برابر $f(a)$ باشد و شیب $P_n$ در $a$ باید برابر $f'(a)$ باشد.

اغلب ساختن سری تازه از روی سری‌ای شناخته‌شده سریع‌تر از مشتق‌گیری‌های پیاپی است. برای نمونه، جایگزینی $x$ با $-x^2$ در سری $e^x$ بی‌درنگ $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$ را می‌دهد، و ضرب سری سینوس در $x$ سری $x\sin x$ را.

دیدن تقریب‌ها روی نمودار

اگر $\cos x$ را همراه با چندجمله‌ای‌های تیلور درجهٔ 2، 4 و 6 آن رسم کنید، الگویی روشن پدیدار می‌شود. چندجمله‌ای درجهٔ 2، که سهمی‌ای رو به پایین است، نزدیک صفر به‌خوبی بر منحنی کسینوس منطبق است اما فراتر از حدود یک واحد از آن دور می‌شود. چندجمله‌ای درجهٔ 4 مدت بیشتری نزدیک می‌ماند و چندجمله‌ای درجهٔ 6 بیشتر نخستین برآمدگی منحنی را دنبال می‌کند. هر چندجمله‌ای سرانجام به سوی بی‌نهایت می‌رود، چون هیچ چندجمله‌ای‌ای نمی‌تواند تا ابد نوسان کند، اما افزودن جمله‌ها این جدایی را دورتر و دورتر می‌برد، و این دقیقاً معنای عملی همگرایی سری است.

این تصویر بهترین راه برای ساختن شهود است: تقریب نزدیک مرکز عالی است و با دور شدن بدتر می‌شود. ماشین‌حساب رسم نمودار می‌تواند یک تابع و چند چندجمله‌ای تیلور آن را با هم رسم کند تا همگرا شدنشان را تماشا کنید.

پرسش‌های متداول