رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

حسابان

آزمون‌های همگرایی سری‌ها، همراه با راهبردی برای انتخاب

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

سری نامتناهی وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی نزدیک شوند. آزمون‌های همگرایی به جای محاسبهٔ آن عدد، تعیین می‌کنند که آیا اصلاً وجود دارد یا نه، و هر آزمون برای شکل خاصی از جمله مناسب است. مهارت واقعی دانستن این است که کدام آزمون به کدام سری می‌خورد.

سری، مجموع جزئی و همگرایی

سری نامتناهی مجموع بی‌نهایت جمله است، a1+a2+a3+⋯a_1 + a_2 + a_3 + \cdots، که آن را ∑an\sum a_n می‌نویسند. نمی‌توان بی‌نهایت عدد را مستقیماً جمع کرد، پس به جای آن NN جملهٔ نخست را جمع می‌کنید تا مجموع جزئی SNS_N به دست آید و می‌پرسید با بزرگ شدن NN چه رخ می‌دهد. اگر مجموع‌های جزئی به حد متناهی SS نزدیک شوند، سری همگراست و مجموعش SS است. در غیر این صورت واگراست.

جمع کردن بی‌نهایت عدد مثبت می‌تواند حاصلی متناهی بدهد. مجموع‌های جزئی سری 12+14+18+⋯\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots برابر 0.50.5، 0.750.75، 0.8750.875 و همین‌طور الی آخرند و هر کدام نیمی از فاصله تا 1 را می‌پیماید، پس مجموع دقیقاً 1 است. تصور کنید به سوی دیواری راه می‌روید و هر گام نیمی از فاصلهٔ باقی‌مانده را طی می‌کند: بی‌نهایت گام برمی‌دارید اما هرگز بیش از فاصلهٔ اولیه نمی‌پیمایید. کل این مبحث بر حدها استوار است که روی دنبالهٔ مجموع‌های جزئی به کار می‌روند.

سری هندسی

سری هندسی هر بار در نسبت ثابت rr ضرب می‌شود. این یکی از معدود انواع سری است که مجموعش را می‌توان دقیقاً نوشت:

∑n=0∞arn=a1−rوقتی ∣r∣<1\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} \quad \text{وقتی } |r| < 1

اگر ∣r∣≥1|r| \ge 1، جمله‌ها به صفر کوچک نمی‌شوند و سری واگراست. برای مثال، 3+1+13+19+⋯3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots دارای a=3a = 3 و r=13r = \frac{1}{3} است، پس مجموعش 32/3=4.5\frac{3}{2/3} = 4.5 است. اعشارهای متناوب سری‌های هندسی در لباس مبدل‌اند: 0.999…=910+9100+⋯=0.91−0.1=10.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1.

آزمون واگرایی

اگر جمله‌های ana_n به 0 نزدیک نشوند، سری واگراست. این باید همیشه نخستین وارسی شما باشد، چون چند ثانیه بیشتر طول نمی‌کشد. برای مثال، ∑nn+1\sum\frac{n}{n + 1} واگراست، چون جمله‌هایش به 1 نزدیک می‌شوند و شما تا ابد تقریباً 1 اضافه می‌کنید.

عکس این گزاره نادرست است و این رایج‌ترین بدفهمی دربارهٔ سری‌هاست. نزدیک شدن جمله‌ها به صفر همگرایی را تضمین نمی‌کند. جمله‌های سری همساز 1+12+13+14+⋯1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots به 0 کوچک می‌شوند، با این حال سری واگراست. جمله‌هایش را گروه‌بندی کنید: 13+14>12\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}، چهار جملهٔ بعدی از 12\frac{1}{2} بیشترند، هشت جملهٔ بعدی از 12\frac{1}{2} بیشترند و همین‌طور الی آخر. جمع کردن بی‌نهایت نیمه حاصلی بی‌کران می‌دهد. البته رشد بسیار کند است: مجموع یک میلیون جملهٔ نخست تنها حدود 14.4 است.

سری p و آزمون انتگرال

سری p به شکل ∑1np\sum\frac{1}{n^p} است. رفتار آن فقط به pp بستگی دارد:

∑n=1∞1np همگراست اگر p>1 و واگراست اگر p≤1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \ \text{همگراست اگر } p > 1 \text{ و واگراست اگر } p \le 1

پس ∑1n2\sum\frac{1}{n^2} همگراست و مجموعش به‌طور مشهور π26≈1.6449\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449 است، در حالی که ∑1n\sum\frac{1}{\sqrt{n}} واگراست. اثبات از آزمون انتگرال استفاده می‌کند: اگر ff مثبت، پیوسته و نزولی باشد و f(n)=anf(n) = a_n، آن‌گاه ∑an\sum a_n و ∫1∞f(x) dx\int_1^{\infty} f(x)\,dx یا هر دو همگرا هستند یا هر دو واگرا. چون ∫1∞dxx2=1\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1 متناهی و ∫1∞dxx\int_1^{\infty}\frac{dx}{x} نامتناهی است، دو حالت کلیدی نتیجه می‌شوند. این انتگرال‌های ناسره در انتگرال معین و نامعین حل شده‌اند.

آزمون‌های مقایسه

آزمون‌های مقایسه دربارهٔ یک سری با ربط دادن آن به سری‌ای که از پیش می‌شناسید، معمولاً یک سری هندسی یا سری p، حکم می‌کنند. برای سری‌هایی با جمله‌های مثبت:

  • مقایسهٔ مستقیم: اگر 0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n و ∑bn\sum b_n همگرا باشد، ∑an\sum a_n نیز همگراست. اگر an≥bn≥0a_n \ge b_n \ge 0 و ∑bn\sum b_n واگرا باشد، ∑an\sum a_n نیز واگراست.
  • مقایسهٔ حدی: اگر lim⁡anbn\lim\frac{a_n}{b_n} عددی مثبت و متناهی باشد، دو سری رفتار یکسانی دارند.

مثال 1: دو مقایسه

  1. ∑1n2+1\sum\frac{1}{n^2 + 1}: هر جمله از 1n2\frac{1}{n^2} کوچک‌تر است که سری‌اش همگراست، پس این سری هم همگراست.
  2. ∑2n+1n3+5\sum\frac{2n + 1}{n^3 + 5}: برای nn بزرگ جمله‌ها مانند 2nn3=2n2\frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2} رفتار می‌کنند. با bn=1n2b_n = \frac{1}{n^2} مقایسه کنید: anbn=2n3+n2n3+5→2\frac{a_n}{b_n} = \frac{2n^3 + n^2}{n^3 + 5} \to 2، پس سری همگراست.

برای انتخاب سری مقایسه، فقط بزرگ‌ترین توان nn را در صورت و در مخرج نگه دارید. آنچه می‌ماند نشان می‌دهد با کدام سری p یا سری هندسی مقایسه کنید.

آزمون نسبت و آزمون ریشه

آزمون نسبت بررسی می‌کند هر جمله در مقایسه با جملهٔ قبلی چگونه است. فرض کنید L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. اگر L<1L < 1 سری همگرای مطلق است، اگر L>1L > 1 واگراست، و اگر L=1L = 1 آزمون هیچ اطلاعاتی نمی‌دهد. این آزمون انتخاب طبیعی برای سری‌های شامل فاکتوریل یا توان‌هایی مانند 2n2^n است.

مثال 2: سه آزمون نسبت

  1. ∑n2n\sum\frac{n}{2^n}: نسبت n+12n→12\frac{n + 1}{2n} \to \frac{1}{2} است، پس همگراست. در واقع مجموعش 2 است.
  2. ∑n!10n\sum\frac{n!}{10^n}: نسبت n+110→∞\frac{n + 1}{10} \to \infty است، پس واگراست؛ فاکتوریل‌ها سرانجام از هر تابع نمایی‌ای پیشی می‌گیرند.
  3. ∑1n!\sum\frac{1}{n!}: نسبت 1n+1→0\frac{1}{n + 1} \to 0 است، پس همگراست و وقتی از n=1n = 1 جمع شود حاصلش e−1e - 1 است.

آزمون ریشه از L=lim⁡∣an∣nL = \lim\sqrt[n]{|a_n|} با همان نتیجه‌گیری‌ها استفاده می‌کند و برای جمله‌هایی که به توان nn رسیده‌اند مناسب است. برای ∑(n2n+1)n\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n، ریشهٔ nnام برابر n2n+1→12\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} است، پس سری همگراست.

سری‌های متناوب

سری متناوب در هر جمله علامت عوض می‌کند. آزمون سری متناوب می‌گوید اگر قدرمطلق جمله‌ها نزولی باشد و به 0 نزدیک شود، سری همگراست. بنابراین سری همساز متناوب 1−12+13−14+⋯1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots همگراست و مجموعش ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 است.

یک امتیاز اضافه هم هست: خطا پس از توقف در هر جمله از نخستین جملهٔ کنارگذاشته‌شده بزرگ‌تر نیست. پس توقف سری همساز متناوب پس از 99 جمله، ln⁡2\ln 2 را با خطای کمتر از 1100\frac{1}{100} می‌دهد.

سری‌ای همگرای مطلق است اگر ∑∣an∣\sum|a_n| همگرا باشد، و همگرای مشروط است اگر فقط به لطف خنثی شدن علامت‌ها همگرا شود. سری همساز متناوب همگرای مشروط است، چون بدون علامت‌ها همان سری همساز واگراست. همگرایی مطلق ویژگی قوی‌تری است: جابه‌جا کردن جمله‌های سری همگرای مطلق هرگز مجموعش را تغییر نمی‌دهد، در حالی که جمله‌های سری همگرای مشروط را می‌توان طوری مرتب کرد که مجموعشان هر عددی بشود که بخواهید.

راهبردی برای انتخاب آزمون

  1. آیا جمله‌ها به 0 نزدیک می‌شوند؟ اگر نه، سری واگراست.
  2. آیا سری هندسی یا سری p است؟ قاعدهٔ شناخته‌شده را به کار ببرید.
  3. آیا فاکتوریل یا توان‌های nnام مانند 3n3^n دارد؟ از آزمون نسبت استفاده کنید.
  4. آیا کل جمله به توان nn رسیده است؟ از آزمون ریشه استفاده کنید.
  5. آیا تابعی گویا از nn یا چیزی مشابه است؟ با یک سری p مقایسهٔ حدی کنید.
  6. آیا علامت‌ها متناوب‌اند؟ از آزمون سری متناوب استفاده کنید و سپس همگرایی مطلق را وارسی کنید.
  7. آیا جمله تابعی است که به‌آسانی انتگرال‌پذیر است؟ آزمون انتگرال را در نظر بگیرید.

ماشین‌حساب همگرایی سری این آزمون‌ها را به کار می‌برد، گزارش می‌دهد کدام‌یک مسئله را حل می‌کند و مجموع را تخمین می‌زند. سری‌های توانی، که جمله‌هایشان شامل xx است، به همین روش بررسی می‌شوند: آزمون نسبت شعاع همگرایی را می‌دهد و نقطه‌های انتهایی جداگانه وارسی می‌شوند، و بازه‌های راهنمای سری تیلور ما این‌گونه به دست آمده‌اند.

سری‌های تلسکوپی و تمرین‌ها

سری تلسکوپی سری‌ای است که مجموع‌های جزئی‌اش جمع می‌شوند، چون جمله‌های همسایه یکدیگر را خنثی می‌کنند. نوشتن 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} نشان می‌دهد مجموع جزئی SNS_N برابر 1−1N+11 - \frac{1}{N + 1} است که به 1 نزدیک می‌شود. تشخیص الگوی تلسکوپی، که اغلب با کسرهای جزئی انجام می‌شود، به جای جوابی صرفاً بله یا خیر، مجموع دقیق را می‌دهد.

پیش از دیدن جواب‌ها خودتان را با این سری‌ها بیازمایید: ∑54n\sum\frac{5}{4^n} هندسی با نسبت یک‌چهارم و همگراست؛ ∑n2n2+1\sum\frac{n^2}{n^2 + 1} طبق آزمون واگرایی واگراست، چون جمله‌هایش به 1 نزدیک می‌شوند؛ ∑1n1.01\sum\frac{1}{n^{1.01}} به عنوان سری p با p>1p > 1 همگراست؛ ∑3nn!\sum\frac{3^n}{n!} طبق آزمون نسبت همگراست؛ و ∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} همگرای مشروط است، چون آزمون سری متناوب برقرار است اما سری قدرمطلق‌ها یک سری p واگراست.

پرسش‌های متداول

اگر جمله‌ها به صفر بروند، آیا سری همگراست؟

نه لزوماً. نزدیک شدن جمله‌ها به صفر شرط لازم همگرایی است اما کافی نیست. جمله‌های سری همساز به صفر کوچک می‌شوند و باز هم سری واگراست.

وقتی آزمون نسبت دقیقاً 1 می‌دهد یعنی چه؟

آزمون بی‌نتیجه است. هم ∑1n\sum\frac{1}{n} که واگراست و هم ∑1n2\sum\frac{1}{n^2} که همگراست، حد نسبتی برابر 1 دارند. به جای آن مقایسه یا آزمون انتگرال را امتحان کنید.

آیا آزمون‌های همگرایی مجموع سری را به من می‌گویند؟

معمولاً نه. آن‌ها تعیین می‌کنند مجموعی وجود دارد یا نه. مجموع دقیق فقط برای سری‌های خاص شناخته شده است، مانند سری‌های هندسی و تلسکوپی و چند سری دیگر مانند ∑1n2=π26\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}؛ در غیر این صورت مجموع به‌طور عددی تخمین زده می‌شود.

چطور سری‌ای می‌تواند همگرای مشروط باشد اما همگرای مطلق نباشد؟

سری‌ای همگرای مطلق است اگر وقتی همهٔ جمله‌ها مثبت شوند هم همگرا بماند. همگرای مشروط است اگر فقط با علامت‌های اصلی‌اش همگرا باشد، همان‌طور که سری همساز متناوب چنین است.

چرا برخی سری‌ها با وجود داشتن بی‌نهایت جمله همگرا هستند؟

چون جمله‌ها می‌توانند آن‌قدر سریع کوچک شوند که مجموع پیوسته‌شان ثابت بماند. در سری هندسی با نسبت یک‌دوم، هر جملهٔ تازه فقط نیمی از فاصلهٔ باقی‌مانده تا مجموع را می‌پوشاند، پس مجموع‌های جزئی به عددی ثابت نزدیک می‌شوند و هر چند جمله هم که اضافه کنید هرگز از آن نمی‌گذرند.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.