رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

حسابان

انتگرال معین و انتگرال نامعین

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

انتگرال نامعین خانواده‌ای از توابع، یعنی پادمشتق‌هاست که با ثابت +C+ C نوشته می‌شود. انتگرال معین کران‌های انتگرال‌گیری دارد و یک عدد واحد به دست می‌دهد: مساحتی علامت‌دار یا مقداری انباشته. قضیهٔ اساسی حسابان امکان می‌دهد دومی را از روی اولی محاسبه کنید.

تفاوت در یک نگاه

  • نماد: نامعین ∫f(x) dx\int f(x)\,dx؛ معین ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx با کران پایین aa و کران بالای bb.
  • حاصل: نامعین یک تابع به‌علاوهٔ یک ثابت می‌دهد؛ معین یک عدد.
  • معنا: نامعین پاسخ می‌دهد کدام توابع این مشتق را دارند؛ معین پاسخ می‌دهد میان aa و bb چه مقدار انباشته می‌شود.
  • ثابت: نامعین به +C+ C نیاز دارد؛ در انتگرال معین ثابت حذف می‌شود.
  • وارسی: از جواب نامعین مشتق بگیرید تا به تابع زیر انتگرال برسید؛ جواب معین را از روی نمودار یا با مستطیل‌ها تخمین بزنید.

اگر انتگرال برایتان تازه است، با انتگرال چیست شروع کنید که هر دو ایده را از پایه می‌سازد.

انتگرال نامعین: خانواده‌ای از پادمشتق‌ها

انتگرال نامعین ff مجموعهٔ همهٔ توابعی است که مشتقشان ff است. چون افزودن یک ثابت مشتق را تغییر نمی‌دهد، جواب همیشه خانواده‌ای از منحنی‌هاست که هر کدام انتقال قائمِ دیگری است:

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C

برای انتخاب یک عضو از این خانواده به اطلاعات اضافی نیاز دارید، معمولاً یک مقدار معلوم. به این مسئله، مسئلهٔ مقدار اولیه می‌گویند.

مثال 1: یافتن ff با داشتن f′(x)=6x−4f'(x) = 6x - 4 و f(1)=5f(1) = 5

  1. انتگرال بگیرید: f(x)=3x2−4x+Cf(x) = 3x^2 - 4x + C.
  2. از شرط استفاده کنید: 3−4+C=53 - 4 + C = 5، پس C=6C = 6.
  3. جواب: f(x)=3x2−4x+6f(x) = 3x^2 - 4x + 6. وارسی: f′(x)=6x−4f'(x) = 6x - 4 و f(1)=5f(1) = 5.

فیزیک مدام از این روش استفاده می‌کند. اگر شتاب ثابت و برابر −9.8-9.8 متر بر مجذور ثانیه باشد، یک بار انتگرال‌گیری سرعت v(t)=−9.8t+v0v(t) = -9.8t + v_0 را می‌دهد و بار دوم ارتفاع h(t)=−4.9t2+v0t+h0h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0 را. این دو ثابت همان سرعت اولیه و ارتفاع اولیه‌اند.

انتگرال معین: عدد از حدِ مجموع‌ها

انتگرال معین به صورت حدِ مجموع‌های ریمان تعریف می‌شود و مساحت علامت‌دار میان نمودار و محور x را از aa تا bb نشان می‌دهد. قضیهٔ اساسی حسابان میان‌بر محاسبهٔ آن را فراهم می‌کند:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a),که F′=f\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \text{که } F' = f

مثال 2: محاسبهٔ انتگرال‌های معین

  1. ∫01ex dx=[ex]01=e−1≈1.71828\int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e - 1 \approx 1.71828.
  2. ∫1e1x dx=[ln⁡x]1e=1−0=1\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_1^e = 1 - 0 = 1.
  3. ∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=1−(−1)=2\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2.

استفاده از F+CF + C به جای FF چیزی را تغییر نمی‌دهد، چون (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a). به همین دلیل ثابت کنار گذاشته می‌شود.

ویژگی‌های انتگرال معین

∫aaf dx=0,∫baf dx=−∫abf dx,∫abf dx+∫bcf dx=∫acf dx\int_a^a f\,dx = 0, \qquad \int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx, \qquad \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx

مجموع‌ها و ضریب‌های ثابت، درست مانند مشتق، از علامت انتگرال عبور می‌کنند. تقارن می‌تواند کار زیادی را صرفه‌جویی کند: اگر ff فرد باشد، یعنی f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)، آن‌گاه ∫−aaf dx=0\int_{-a}^{a} f\,dx = 0. برای مثال، ∫−22x3 dx=0\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0 چون نیمهٔ منفی و نیمهٔ مثبت یکدیگر را خنثی می‌کنند. اگر ff زوج باشد، ∫−aaf dx=2∫0af dx\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx، پس ∫−11x2 dx=2⋅13=23\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

مقدار میانگین ff روی [a,b][a, b] برابر 1b−a∫abf dx\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx است. برای x2x^2 روی [0,3][0, 3] این مقدار 13⋅9=3\frac{1}{3}\cdot 9 = 3 است: مستطیلی به ارتفاع 3 و عرض 3 همان مساحت ناحیهٔ زیر سهمی را دارد.

تغییر متغیر در هر کدام متفاوت است

در انتگرال نامعین، تغییر متغیر می‌دهید، انتگرال می‌گیرید و سپس به متغیر اصلی برمی‌گردید. در انتگرال معین، می‌توانید به جای آن کران‌ها را متناسب با متغیر جدید تغییر دهید و هرگز برنگردید.

مثال 3: ∫012x(x2+1)3 dx\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx

  1. فرض کنید u=x2+1u = x^2 + 1، پس du=2x dxdu = 2x\,dx.
  2. کران‌ها را تغییر دهید: وقتی x=0x = 0، u=1u = 1؛ وقتی x=1x = 1، u=2u = 2.
  3. ∫12u3 du=[u44]12=16−14=154\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}.
  4. راه نامعین (x2+1)44\frac{(x^2 + 1)^4}{4} را می‌دهد که از 0 تا 1 محاسبه می‌شود و همان 164−14\frac{16}{4} - \frac{1}{4} است.

اشتباهی رایج این است که uu را جای‌گذاری کنید اما کران‌های قدیمی xx را نگه دارید. یا کران‌ها را تغییر دهید یا پیش از محاسبه به xx برگردید، هرگز نیمی از هر کدام را.

جایی که این دو به هم می‌رسند: توابع انباشت

انتگرال معینی که کران بالایش متغیر باشد یک تابع است: A(x)=∫axf(t) dtA(x) = \int_a^x f(t)\,dt. این تابع پادمشتق خاصی از ff است، همانی که در x=ax = a برابر 0 است. برای مثال، ∫0xt2 dt=x33\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}.

بخش نخست قضیهٔ اساسی می‌گوید ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x). پس ddx∫1xcos⁡(t2) dt=cos⁡(x2)\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)، هرچند این انتگرال فرمول مقدماتی ندارد. اگر کران بالا خودش یک تابع باشد، قاعدهٔ زنجیره‌ای یک ضریب اضافه می‌کند: ddx∫0x2sin⁡t dt=2xsin⁡(x2)\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2). قاعده‌های مشتق‌گیری در قواعد مشتق‌گیری به زبان ساده خلاصه شده‌اند.

انتگرال‌های ناسره

انتگرال معین روی بازه‌ای نامتناهی، یا انتگرال تابعی که درون بازه بی‌کران می‌شود، ناسره نام دارد و به صورت یک حد تعریف می‌شود. برای مثال:

∫1∞1x2 dx=lim⁡b→∞[−1x]1b=lim⁡b→∞(1−1b)=1\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \to \infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

پس ناحیه‌ای با طول بی‌نهایت می‌تواند مساحتی متناهی داشته باشد. در مقابل، ∫1∞1x dx=lim⁡b→∞ln⁡b\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b بی‌کران رشد می‌کند، پس واگراست. این مقایسه پایهٔ آزمون انتگرال در آزمون‌های همگرایی سری‌ها است.

پرسش کدام‌یک را می‌خواهد؟

به دنبال کران‌هایی روی علامت انتگرال یا واژه‌هایی مانند «از … تا»، «میان»، «کل»، «مساحت» یا «چه مقدار» بگردید. این‌ها نشانهٔ انتگرال معین و جوابی عددی‌اند. عبارت‌هایی مانند «تابعی بیابید»، «جواب عمومی» یا «پادمشتق» نشانهٔ انتگرال نامعین با +C+ C هستند. پرسشی که مقدار آغازینی مانند f(0)=2f(0) = 2 می‌دهد، انتگرال نامعین و سپس حل برای CC را می‌خواهد.

برای انتگرال نامعین با گام‌ها از ماشین‌حساب انتگرال و برای محاسبه روی یک بازه، از جمله انتگرال‌های ناسره، از ماشین‌حساب انتگرال معین استفاده کنید.

مقایسه‌ای حل‌شده با یک تابع

دیدن هر دو نوع انتگرال روی یک تابع، تفاوتشان را ملموس می‌کند. تابعی را در نظر بگیرید که آهنگ ورود آب به یک مخزن را بر حسب لیتر بر دقیقه می‌دهد و فرض کنید پس از tt دقیقه برابر 4t+24t + 2 باشد.

انتگرال نامعین، 2t2+2t+C2t^2 + 2t + C، مقدار آب مخزن را در هر لحظه توصیف می‌کند، اما فقط تا حد یک مقدار آغازین نامعلوم. اگر مخزن در آغاز 10 لیتر آب داشته باشد، C=10C = 10 و حجم پس از tt دقیقه 2t2+2t+102t^2 + 2t + 10 لیتر است. این تابعی است که می‌توانید در هر لحظه محاسبه‌اش کنید.

انتگرال معین از t=0t = 0 تا t=5t = 5 به پرسش دیگری پاسخ می‌دهد: در این پنج دقیقه چه مقدار آب وارد شد؟ این مقدار برابر (50+10)−0=60(50 + 10) - 0 = 60 لیتر است، صرف‌نظر از اینکه در آغاز چقدر آب در مخزن بوده است. جواب اول فرمولی برای یک وضعیت است؛ جواب دوم عددی واحد برای یک تغییر. بیشتر مسئله‌های کاربردی، وقتی بپرسید پرسش کمیتی در یک لحظه را می‌خواهد یا مقدار کل روی یک بازه را، به‌روشنی در یکی از این دو دسته قرار می‌گیرند.

اشتباه‌های رایج در هر نوع

در انتگرال نامعین، رایج‌ترین خطا جا انداختن ثابت است. شاید بی‌ضرر به نظر برسد، اما در مسئلهٔ مقدار اولیه درست همان چیزی را حذف می‌کند که از شما خواسته شده است، و در معادلات دیفرانسیل یک خانوادهٔ کامل از جواب‌ها را پنهان می‌کند. خطای دوم فراموش کردن بازنویسی جواب بر حسب متغیر اصلی پس از تغییر متغیر است.

در انتگرال معین، اشتباه‌های معمول عبارت‌اند از تفریق با ترتیب نادرست، قاطی کردن کران‌های قدیم و جدید پس از تغییر متغیر، و خواندن مساحت علامت‌دار به عنوان مساحت کل. دام دیگر انتگرال گرفتن مستقیم از روی نقطه‌ای است که تابع در آن تعریف‌نشده است، مانند 1x2\frac{1}{x^2} از −1-1 تا 1. به کار بردن کورکورانهٔ فرمول در اینجا −2-2 را می‌دهد که برای تابعی مثبت ناممکن است؛ در واقع انتگرال واگراست، چون تابع در 0 بی‌کران می‌شود. همیشه پیش از استفاده از قضیهٔ اساسی وارسی کنید که تابع زیر انتگرال روی کل بازه پیوسته باشد.

این دو ایده چطور با هم جور می‌شوند

مفید است انتگرال نامعین را ابزار و انتگرال معین را کار در نظر بگیرید. پیدا کردن پادمشتق گام دشوار و خلاقانه است؛ وقتی یکی را داشته باشید، هر انتگرال معین آن تابع روی هر بازه‌ای با یک تفریق به دست می‌آید. به همین دلیل کتاب‌های درسی این‌قدر به روش‌های انتگرال‌گیری نامعین می‌پردازند، و به همین دلیل یک پادمشتق خوب می‌تواند یک‌جا به مجموعه‌ای کامل از پرسش‌های مساحت، مسافت و انباشت پاسخ دهد.

پرسش‌های متداول

چرا انتگرال معین + C ندارد؟

ثابت هم در F(b)F(b) و هم در F(a)F(a) ظاهر می‌شود و هنگام تفریق حذف می‌شود. هر پادمشتقی همان انتگرال معین را می‌دهد.

آیا انتگرال معین می‌تواند صفر شود در حالی که تابع صفر نیست؟

بله. مساحت بالای محور می‌تواند دقیقاً مساحت زیر آن را خنثی کند. ∫02πsin⁡x dx=0\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0 و ∫−22x3 dx=0\int_{-2}^{2}x^3\,dx = 0 هر دو نمونه‌اند.

آیا انتگرال نامعین همان پادمشتق است؟

تقریباً. پادمشتق یک تابع است که مشتقش ff است؛ انتگرال نامعین کل خانوادهٔ آن‌هاست که به صورت یک پادمشتق به‌علاوهٔ CC نوشته می‌شود.

اگر کران‌های انتگرال را جابه‌جا کنم چه می‌شود؟

علامت عوض می‌شود: ∫baf dx=−∫abf dx\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx. این از F(a)−F(b)=−(F(b)−F(a))F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a)) نتیجه می‌شود.

آیا برای محاسبهٔ انتگرال معین باید انتگرال نامعین را بلد باشم؟

برای جواب دقیق، معمولاً بله، چون قضیهٔ اساسی به یک پادمشتق نیاز دارد. وقتی نمی‌توان پادمشتقی نوشت، باز هم می‌توان انتگرال معین را با روش‌هایی مانند قاعدهٔ ذوزنقه‌ای یا قاعدهٔ سیمپسون به صورت عددی تقریب زد، که فقط به مقدارهای تابع نیاز دارند.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.