حل‌کنندهٔ معادله: گام‌های حل معادله‌های خطی، درجهٔ دوم و چندجمله‌ای

Q: این حلکننده چه نوع معادلههایی را حل میکند؟

معادلههای خطی، درجهٔ دوم و چندجملهای از هر درجه، معادلههای گویا که x در مخرج آنهاست، و معادلههای یکمتغیرهای که تابعهای نمایی، لگاریتمی یا مثلثاتی دارند (به روش عددی حل میشوند).

Q: معادلههای درجهٔ سوم چگونه حل میشوند؟

حلکننده ریشههای گویای احتمالی p/q را میآزماید، با تقسیم ترکیبی بر هر ریشهای که پیدا کند تقسیم میکند و سپس آنچه را مانده حل میکند. ریشههای گنگ باقیمانده به روش عددی پیدا میشوند.

Q: آیا میتوانم عبارتی را بدون علامت مساوی ساده کنم؟

بله. عبارتی مانند (x + 3)^2 را برای باز کردن و سادهسازی، یا یک عبارت عددی را برای حساب کردن مقدارش وارد کنید.

Q: آیا ریشههای مختلط را هم پیدا میکند؟

ریشههای مختلط برای معادلههای درجهٔ دوم و برای چندجملهایها پس از فاکتور گرفتن ریشههای حقیقی داده میشوند. معادلههای غیرچندجملهای روی عددهای حقیقی حل میشوند.

Q: آیا پاسخها بررسی میشوند؟

بله. هر ریشه در معادلهٔ اصلی جایگذاری میشود و باقیمانده در بخش بررسی نشان داده میشود.

Q: یک معادلهٔ چندجملهای چند جواب میتواند داشته باشد؟

معادلهٔ چندجملهای درجهٔ n حداکثر n جواب حقیقی دارد، و با احتساب ریشههای تکراری دقیقاً n جواب مختلط. معادلهٔ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 چهار ریشهٔ حقیقی دارد: -2, -1, 1 و 2.

Q: قضیهٔ ریشهٔ گویا چه کمکی میکند؟

ریشههای گویای ممکن را به کسرهای p/q محدود میکند که در آن p جملهٔ ثابت و q ضریب پیشرو را میشمارد. این کار به جای حدس زدن، فهرست کوتاهی از نامزدها برای آزمودن میدهد.

Q: آیا میتوانم عبارتی را بدون حل کردنش ساده کنم؟

بله. علامت مساوی را نگذارید تا ماشینحساب به جای حل، عبارت را باز کند و جملههای متشابه را جمع کند. ورودی (x + 3)^2 نتیجهٔ x^2 + 6x + 9 را برمیگرداند.

دربارهٔ حل‌کنندهٔ معادله

حل‌کنندهٔ معادله باید تشخیص دهد با چه نوع مسئله‌ای روبه‌روست. معادلهٔ خطی به عمل‌های معکوس نیاز دارد، معادلهٔ درجهٔ دوم به دلتا، و معادلهٔ درجهٔ سوم یا چهارم را می‌توان با قضیهٔ ریشهٔ گویا از هم باز کرد.

این حل‌کننده هر جا ممکن باشد جمله‌ها را در یک چندجمله‌ای جمع می‌کند و آن را به‌طور دقیق حل می‌کند. برای معادله‌هایی مانند $2^x = 32$ یا $\sin x = 0.5$ ریشه‌های حقیقی را به روش عددی پیدا می‌کند و آن‌ها را در یک بازهٔ اعلام‌شده فهرست می‌کند. بدون علامت مساوی، به جای حل، عبارت را ساده یا مقدار آن را حساب می‌کند.

حل‌کنندهٔ معادله چیست؟

حل‌کنندهٔ معادله یک معادله با یک مجهول را می‌گیرد و هر مقداری را که در آن صدق کند، همراه با روش به‌کاررفته، برمی‌گرداند. روش به نوع معادله بستگی دارد. معادلهٔ خطی مانند $5x - 3 = 12$ فقط به عمل‌های معکوس نیاز دارد. معادلهٔ چندجمله‌ای مانند $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ نیاز دارد ریشه‌هایش یکی‌یکی پیدا شوند. معادله‌ای مانند $2^x = 32$ مجهول را در توان دارد و به روش دیگری بررسی می‌شود.

این حل‌کننده ابتدا معادله را به صورت یک عبارت برابر صفر بازنویسی می‌کند و سپس بررسی می‌کند که آیا آن عبارت چندجمله‌ای است. اگر باشد، ریشه‌ها به‌طور دقیق پیدا می‌شوند؛ وگرنه ریشه‌های حقیقی به روش عددی روی یک بازهٔ اعلام‌شده تعیین می‌شوند. اگر عبارتی بدون علامت مساوی وارد کنید، باز و ساده می‌شود، پس $(x + 3)^2$ به $x^2 + 6x + 9$ تبدیل می‌شود.

چگونه از حل‌کنندهٔ معادله استفاده کنیم

معادله‌ای مانند x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 یا عبارتی مانند (x + 3)^2 وارد کنید.
برای توان از ^، برای ضرب از * (میان عدد و حرف اختیاری است) و برای رادیکال از sqrt( ) استفاده کنید.
دکمهٔ «حل کن» را بزنید. سطر تفسیر به شما می‌گوید کدام روش انتخاب شد.

فرمول‌ها

قضیهٔ ریشهٔ گویا

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

فرمول کلی معادلهٔ درجهٔ دوم

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

قضیهٔ عامل

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ عاملی از } P(x)

مثال حل‌شده: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

مثال حل‌شده معادلهٔ درجهٔ سوم $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ را حل می‌کند. طبق قضیهٔ ریشهٔ گویا، هر ریشهٔ گویا باید 6 را بشمارد، پس حل‌کننده نامزدهای $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ را می‌آزماید. $x = 1$ را پیدا می‌کند، بر آن تقسیم می‌کند تا $x^2 - 5x + 6$ بماند، سپس $x = 2$ را پیدا می‌کند و $x - 3$ می‌ماند، و در پایان $x = 3$ . جایگذاری هر ریشه در معادلهٔ درجهٔ سوم اصلی 0 می‌دهد، همان‌طور که گام‌های بررسی تأیید می‌کنند.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

یک معادلهٔ چندجمله‌ای از درجهٔ 3 بر حسب x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

راه‌حل گام‌به‌گام

با معادله شروع کنید
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببرید
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
نامزدهای قضیهٔ ریشهٔ گویا را بیازمایید: x = 1 یک ریشه است
تقسیم ترکیبی بر (x - 1) یک چندجمله‌ای از درجهٔ 2 باقی می‌گذارد.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
نامزدهای قضیهٔ ریشهٔ گویا را بیازمایید: x = 2 یک ریشه است
تقسیم ترکیبی بر (x - 2) یک چندجمله‌ای از درجهٔ 1 باقی می‌گذارد.
$x - 3 = 0$
نامزدهای قضیهٔ ریشهٔ گویا را بیازمایید: x = 3 یک ریشه است
تقسیم ترکیبی بر (x - 3) یک چندجمله‌ای از درجهٔ 0 باقی می‌گذارد.
جواب‌های حقیقی را گرد آورید
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

فرمول‌های به‌کاررفته

قضیهٔ ریشهٔ گویا
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

چندجمله‌ای درجهٔ 3 با احتساب تکرار دقیقاً 3 ریشه دارد (برخی ممکن است مختلط باشند). ابتدا ریشه‌های گویای دقیق پیدا می‌شوند، سپس بقیه به‌طور دقیق حل یا تقریب زده می‌شوند.

بررسی‌ها

x = 1: طرف چپ = 0، طرف راست = 0 ✓
x = 2: طرف چپ = 0، طرف راست = 0 ✓
x = 3: طرف چپ = 0، طرف راست = 0 ✓

توضیح کامل

معادله‌های چندجمله‌ای گام‌به‌گام

قضیهٔ عامل می‌گوید $r$ ریشهٔ یک چندجمله‌ای است اگر و تنها اگر $x - r$ یکی از عامل‌های آن باشد. پس هر ریشه‌ای که حل‌کننده پیدا کند به آن اجازه می‌دهد چندجمله‌ای را با تقسیم ترکیبی بر $x - r$ تقسیم کند و درجه یک واحد پایین بیاید. وقتی یک عبارت درجهٔ دوم باقی بماند، دلتا و فرمول کلی کار را به‌طور دقیق تمام می‌کنند. این‌گونه معادلهٔ درجهٔ چهارمی مانند $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ به چهار ریشهٔ $-2, -1, 1$ و $2$ می‌رسد.

اگر عامل باقی‌مانده ریشهٔ گویا نداشته باشد، ریشه‌های حقیقی‌اش به روش عددی تقریب زده و با نماد ≈ مشخص می‌شوند، و ریشه‌های مختلطِ بخش‌های درجهٔ دوم نشان داده می‌شوند.

معادله‌های غیرچندجمله‌ای

در معادله‌های نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی، حل‌کننده معادله را به شکل $f(x) = 0$ می‌نویسد، بازهٔ −100 تا 100 را برای جاهایی که علامت $f$ تغییر می‌کند می‌پیماید و سپس هر کدام را با روش دوبخشی محدود می‌کند. در $2^x = 32$ مقدار $x \approx 5$ را پیدا و جایگذاری می‌کند تا نشان دهد هر دو طرف برابر 32 هستند. چون جست‌وجو به همین بازه محدود است، حل‌کننده این را در گام‌ها ذکر می‌کند؛ معادله‌های متناوب مانند $\sin x = 0.5$ بی‌نهایت جواب دارند و فقط جواب‌های درون بازه فهرست می‌شوند.

اشتباه‌های رایج

نوشتن 2x^2 در حالی که منظورتان (2x)^2 است؛ توان پیش از ضرب حساب می‌شود.
انتظار یک پاسخ از معادلهٔ درجهٔ سوم؛ چندجمله‌ای درجهٔ $n$ ممکن است تا $n$ ریشهٔ حقیقی داشته باشد.
نوشتن sin x بدون پرانتز؛ sin(x) بنویسید.
تقسیم هر دو طرف بر عاملی که شامل $x$ است و از دست دادن ریشه‌هایی که در آن‌ها این عامل صفر است.
فراموش کردن بردن همهٔ جمله‌ها به یک طرف پیش از تلاش برای تجزیه.

نکته‌ها

پیش از سراغ فرمول‌ها رفتن، همه چیز را به یک طرف ببرید و عامل‌های مشترک را فاکتور بگیرید.
از ماشین‌حساب رسم نمودار استفاده کنید تا ببینید انتظار چند ریشهٔ حقیقی را داشته باشید.
در معادله‌های نمایی بررسی کنید که آیا می‌توان هر دو طرف را با یک پایه نوشت.
اگر مجموع همهٔ ضریب‌ها 0 باشد، $x = 1$ یک ریشه است؛ در مثال حل‌شده همین‌طور است.
اول سطر تفسیر را بخوانید؛ به شما می‌گوید ورودی چگونه فهمیده شد و کدام روش به کار رفت.
پیش از تقسیم، عامل مشترکی مانند $x$ را فاکتور بگیرید؛ معادلهٔ $x^3 = 4x$ سه جواب دارد نه دو.

پرسش‌های متداول

این حل‌کننده چه نوع معادله‌هایی را حل می‌کند؟

معادله‌های خطی، درجهٔ دوم و چندجمله‌ای از هر درجه، معادله‌های گویا که x در مخرج آن‌هاست، و معادله‌های یک‌متغیره‌ای که تابع‌های نمایی، لگاریتمی یا مثلثاتی دارند (به روش عددی حل می‌شوند).

معادله‌های درجهٔ سوم چگونه حل می‌شوند؟

حل‌کننده ریشه‌های گویای احتمالی $\frac{p}{q}$ را می‌آزماید، با تقسیم ترکیبی بر هر ریشه‌ای که پیدا کند تقسیم می‌کند و سپس آنچه را مانده حل می‌کند. ریشه‌های گنگ باقی‌مانده به روش عددی پیدا می‌شوند.

چرا پاسخ ≈ دارد؟

نماد تقریب یعنی ریشه به روش عددی و با دقت حدود 10 رقم بامعنا تعیین شده است، چون هیچ فرمول بستهٔ دقیقی به کار نرفته است.

آیا می‌توانم عبارتی را بدون علامت مساوی ساده کنم؟

بله. عبارتی مانند (x + 3)^2 را برای باز کردن و ساده‌سازی، یا یک عبارت عددی را برای حساب کردن مقدارش وارد کنید.

آیا ریشه‌های مختلط را هم پیدا می‌کند؟

ریشه‌های مختلط برای معادله‌های درجهٔ دوم و برای چندجمله‌ای‌ها پس از فاکتور گرفتن ریشه‌های حقیقی داده می‌شوند. معادله‌های غیرچندجمله‌ای روی عددهای حقیقی حل می‌شوند.

آیا پاسخ‌ها بررسی می‌شوند؟

بله. هر ریشه در معادلهٔ اصلی جایگذاری می‌شود و باقی‌مانده در بخش بررسی نشان داده می‌شود.

یک معادلهٔ چندجمله‌ای چند جواب می‌تواند داشته باشد؟

معادلهٔ چندجمله‌ای درجهٔ $n$ حداکثر $n$ جواب حقیقی دارد، و با احتساب ریشه‌های تکراری دقیقاً $n$ جواب مختلط. معادلهٔ $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ چهار ریشهٔ حقیقی دارد: $-2, -1, 1$ و $2$ .

قضیهٔ ریشهٔ گویا چه کمکی می‌کند؟

ریشه‌های گویای ممکن را به کسرهای $\frac{p}{q}$ محدود می‌کند که در آن $p$ جملهٔ ثابت و $q$ ضریب پیشرو را می‌شمارد. این کار به جای حدس زدن، فهرست کوتاهی از نامزدها برای آزمودن می‌دهد.

آیا می‌توانم عبارتی را بدون حل کردنش ساده کنم؟

بله. علامت مساوی را نگذارید تا ماشین‌حساب به جای حل، عبارت را باز کند و جمله‌های متشابه را جمع کند. ورودی $(x + 3)^2$ نتیجهٔ $x^2 + 6x + 9$ را برمی‌گرداند.

معادلهٔ خود را حل یا عبارتتان را ساده کنید

یک معادله یا عبارت را در بالا وارد کنید تا حل‌کننده روش مناسب را انتخاب کند و هر گام را همراه با بررسی نشان دهد.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید