ماشین‌حساب دستگاه معادلات: حل همراه با گام‌ها

Q: اینکه ماشینحساب میگوید «جواب ندارد» یعنی چه؟

حذف به عبارتی ناممکن مانند 0 = 5 رسیده است. معادلهها با هم تناقض دارند؛ در حالت دو متغیر، دو خط موازیاند.

Q: متغیرهای آزاد چیستند؟

متغیرهایی هستند که پس از حذف محوری ندارند. میتوانند هر مقداری بگیرند و متغیرهای دیگر بر حسب آنها نوشته میشوند، پس دستگاه بینهایت جواب دارد.

Q: آیا میتوانم معادلههایی وارد کنم که در هر دو طرفشان متغیر هست؟

بله. هر معادله پیش از شروع حذف به شکل استاندارد بازنویسی میشود، با جملههای متغیردار در چپ و ثابت در راست.

Q: چرا پاسخها کسر هستند نه عدد اعشاری؟

موتور با حساب گویای دقیق کار میکند، پس پاسخهایی مانند 7/3 دقیق میمانند. فقط در پایان و اگر درس شما بخواهد آنها را به عدد اعشاری تبدیل کنید.

Q: آیا دستگاههای غیرخطی مانند x به توان دو بهعلاوهٔ y به توان دو برابر 25 را حل میکند؟

نه. این ماشینحساب برای دستگاههای خطی است. برای یک معادلهٔ چندجملهای از حلکنندهٔ معادله استفاده کنید؛ برای برخورد منحنیها، ماشینحساب رسم نمودار میتواند آنها را بهصورت تصویری نشان دهد.

دربارهٔ ماشین‌حساب دستگاه معادلات

دستگاه معادلات مقدارهایی را می‌خواهد که هم‌زمان در چند معادله صدق کنند. دو خط در صفحهٔ مختصات یا در یک نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند، یا هرگز به هم نمی‌رسند، یا بر هم منطبق‌اند، و همین سه نتیجه در دستگاه‌هایی با هر تعداد متغیر هم وجود دارد. این ماشین‌حساب تعیین می‌کند با کدام حالت روبه‌رو هستید و وقتی جواب یکتاست، آن را به صورت کسرهای دقیق می‌دهد نه عددهای اعشاری گردشده.

ماشین‌حساب از حذف گاوس–جردن استفاده می‌کند، روش منظمی که روش‌های جایگذاری و حذفیِ کتاب درسی بر آن استوارند. هر عمل سطری فهرست می‌شود، پس می‌توانید محاسبه را دنبال کنید، آن را با حذف خودتان مقایسه کنید و دقیقاً ببینید کجا یک متغیر حذف می‌شود یا تناقضی ظاهر می‌شود.

دستگاه معادلات خطی چیست؟

در معادلهٔ خطی هر متغیر فقط با توان یک ظاهر می‌شود، مانند $2x + 3y = 7$ . دستگاه مجموعه‌ای از چنین معادله‌هایی است که در متغیرهای یکسانی شریک‌اند. جواب، نسبت دادن مقدارهایی است که همهٔ معادله‌ها را با هم درست کند.

در حالت دو متغیر، هر معادله یک خط است و جواب نقطهٔ برخورد است. در حالت سه متغیر، هر معادله یک صفحه است. دستگاه ممکن است سازگار با یک جواب یکتا باشد، سازگار با بی‌نهایت جواب (معادله‌های وابسته)، یا ناسازگار و بی‌جواب.

چگونه از ماشین‌حساب دستگاه معادلات استفاده کنیم

هر معادله را در یک سطر جداگانه بنویسید، مثلاً 2x + 3y = 7 در سطر اول و x - y = 1 در سطر دوم.
از هر حرفی برای متغیرها استفاده کنید. جمله‌ها می‌توانند در هر دو طرف باشند؛ ماشین‌حساب آن‌ها را به شکل استاندارد می‌برد.
کسرها و عددهای اعشاری پذیرفته می‌شوند، مانند 0.5x + y/3 = 2؛ عددهای اعشاری به کسرهای دقیق تبدیل می‌شوند.
دکمهٔ «دستگاه را حل کن» را بزنید. شکل استاندارد و ماتریس افزوده را بخوانید، سپس فهرست عمل‌های سطری را.
حکم را بخوانید: جواب یکتا، توصیف پارامتری بی‌نهایت جواب، یا تناقضی که نشان می‌دهد جوابی وجود ندارد.

فرمول‌ها

شکل ماتریسی

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

ضریب‌ها $A$ را می‌سازند و ثابت‌ها $\mathbf{b}$ را؛ ماتریس افزوده $[A \mid \mathbf{b}]$ است.

عمل‌های سطری مقدماتی

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

هیچ‌کدام مجموعهٔ جواب را تغییر نمی‌دهد.

قاعدهٔ کرامر (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

برای دستگاه $ax + by = e$ ، $cx + dy = f$ با دترمینان ناصفر.

مثال حل‌شده: 2x + 3y = 7, x − y = 1

مثال، دستگاه $2x + 3y = 7$ و $x - y = 1$ را حل می‌کند. موتور ماتریس افزوده را می‌نویسد، سطر اول را در عددی ضرب می‌کند که درایهٔ اولش 1 شود، $x$ را از سطر دوم حذف می‌کند و سپس $y$ را از سطر اول حذف می‌کند.

ماتریس کاهش‌یافته مستقیماً به صورت $x = 2$ و $y = 1$ خوانده می‌شود. جایگذاری $2(2) + 3(1) = 7$ و $2 - 1 = 1$ را می‌دهد، پس هر دو معادله برقرارند.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

x = 2,\ y = 1

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

2 معادلهٔ خطی با 2 مجهول (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

راه‌حل گام‌به‌گام

همهٔ معادله‌ها را به شکل استاندارد بنویسید
همهٔ جمله‌های متغیردار را به چپ و ثابت‌ها را به راست ببرید.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
ماتریس افزوده [A | b] را بسازید
ستون‌ها: x, y | ثابت.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
حذف گاوس–جردن
با عمل‌های سطری هر محور را 1 کنید و بقیهٔ ستونش را صفر کنید.
R1 را بر 2 تقسیم کنید
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
ستون 1 را با محور R1 صفر کنید
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
R2 را بر -5/2 تقسیم کنید
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
ستون 2 را با محور R2 صفر کنید
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
شکل سطری پلکانی کاهش‌یافته
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
جواب یکتا را بخوانید
$x = 2,\ y = 1$

فرمول‌های به‌کاررفته

شکل ماتریسی
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
عمل‌های سطری مقدماتی
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

دستگاه دقیقاً یک جواب دارد؛ جایگذاری آن همهٔ معادله‌ها را برقرار می‌کند.

بررسی‌ها

معادلهٔ 1: 2x + 3y = 7 ✓
معادلهٔ 2: x - y = 1 ✓

توضیح کامل

حذف، جایگذاری و ماتریس‌ها

جایگذاری یکی از معادله‌ها را بر حسب یک متغیر حل می‌کند و آن را در معادله‌های دیگر قرار می‌دهد. حذف مضرب‌هایی از معادله‌ها را با هم جمع می‌کند تا یک متغیر حذف شود. حذف گاوس–جردن همان حذف است که با ترتیبی ثابت روی ماتریس افزوده انجام می‌شود: در هر ستون یک محور انتخاب کنید، آن را 1 کنید و هر درایهٔ دیگر آن ستون را صفر کنید.

شکل ماتریسی روشی متفاوت نیست، بلکه نمادگذاری مرتب‌تری است. هر سطر معادله‌ای است که نام متغیرهایش حذف شده و هر عمل سطری کاری است که می‌توانید با دست روی معادله‌ها انجام دهید. چون محاسبه با کسرهای دقیق انجام می‌شود، هیچ خطای گردکردنی نمی‌تواند دستگاهی وابسته را به یک جواب یکتای ساختگی تبدیل کند.

تشخیص نبودِ جواب و بی‌نهایت جواب

اگر حذف سطری مانند $[0\ 0 \mid 5]$ بسازد، یعنی $0 = 5$ ، که ناممکن است، پس دستگاه ناسازگار است. از نظر هندسی، خط‌های موازی هرگز به هم نمی‌رسند.

اگر سطری تماماً صفر شود، $[0\ 0 \mid 0]$ ، آن معادله ترکیبی از بقیه بوده و اطلاعات تازه‌ای نمی‌افزاید. وقتی تعداد محورها از تعداد متغیرها کمتر باشد، متغیرهای بدون محور آزادند. ماشین‌حساب آن‌ها را پارامتر می‌نامد و متغیرهای دیگر را بر حسب آن‌ها می‌نویسد، و به این ترتیب کل خط یا صفحهٔ جواب‌ها را توصیف می‌کند.

دستگاه‌های بزرگ‌تر

سه معادله با سه مجهول از همین الگو با یک ستون بیشتر پیروی می‌کند. روش به هر اندازه‌ای گسترش می‌یابد و ماشین‌حساب دستگاه‌هایی را که معادله‌هایشان از مجهول‌ها بیشتر یا کمتر است هم پوشش می‌دهد و در هر حالت نتیجه را صادقانه گزارش می‌کند.

اشتباه‌های رایج

ضرب فقط یک طرف معادله، یا فقط برخی جمله‌هایش، هنگام تغییر مقیاس آن.
گم کردن یک علامت منفی هنگام کم کردن یک معادله از دیگری؛ هر جمله، از جمله ثابت را، کم کنید.
فرض اینکه دستگاه همیشه دقیقاً یک جواب دارد. دنبال تناقض‌ها و سطرهای صفر بگردید.
نوشتن جمله‌ها با ترتیب متفاوتی از متغیرها در معادله‌های مختلف، که هم‌ترازی ستون‌های ماتریس را به هم می‌ریزد.
گرد کردن کسرها در میانهٔ حل، که ممکن است دستگاهی سازگار را کمی ناسازگار نشان دهد.

نکته‌ها

پیش از شروع، متغیرها را در همهٔ معادله‌ها با یک ترتیب مرتب کنید.
اول متغیری را حذف کنید که ضریب‌های ساده‌تری دارد.
پاسخ خود را در هر معادلهٔ اصلی جایگذاری کنید، نه فقط در آخرین معادله‌ای که به کار بردید.
در حالت دو متغیر، دو خط را رسم کنید تا پیش‌بینی کنید یک بار به هم می‌رسند، هرگز به هم نمی‌رسند یا بر هم منطبق‌اند.

پرسش‌های متداول

برای پیدا کردن سه متغیر به چند معادله نیاز دارم؟

معمولاً سه معادلهٔ مستقل. اگر کمتر باشند، متغیرهای آزاد و بی‌نهایت جواب وجود دارد؛ اگر بیشتر باشند، معادله‌های اضافی باید با بقیه سازگار باشند.

اینکه ماشین‌حساب می‌گوید «جواب ندارد» یعنی چه؟

حذف به عبارتی ناممکن مانند 0 = 5 رسیده است. معادله‌ها با هم تناقض دارند؛ در حالت دو متغیر، دو خط موازی‌اند.

متغیرهای آزاد چیستند؟

متغیرهایی هستند که پس از حذف محوری ندارند. می‌توانند هر مقداری بگیرند و متغیرهای دیگر بر حسب آن‌ها نوشته می‌شوند، پس دستگاه بی‌نهایت جواب دارد.

آیا می‌توانم معادله‌هایی وارد کنم که در هر دو طرفشان متغیر هست؟

بله. هر معادله پیش از شروع حذف به شکل استاندارد بازنویسی می‌شود، با جمله‌های متغیردار در چپ و ثابت در راست.

چرا پاسخ‌ها کسر هستند نه عدد اعشاری؟

موتور با حساب گویای دقیق کار می‌کند، پس پاسخ‌هایی مانند 7/3 دقیق می‌مانند. فقط در پایان و اگر درس شما بخواهد آن‌ها را به عدد اعشاری تبدیل کنید.

آیا دستگاه‌های غیرخطی مانند x به توان دو به‌علاوهٔ y به توان دو برابر 25 را حل می‌کند؟

نه. این ماشین‌حساب برای دستگاه‌های خطی است. برای یک معادلهٔ چندجمله‌ای از حل‌کنندهٔ معادله استفاده کنید؛ برای برخورد منحنی‌ها، ماشین‌حساب رسم نمودار می‌تواند آن‌ها را به‌صورت تصویری نشان دهد.

دستگاه معادلات خود را حل کنید

در هر سطرِ بالا یک معادلهٔ خطی وارد کنید تا جواب دقیق، همهٔ عمل‌های سطری و بررسی هر معادله را بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب دستگاه معادلات