ماشین‌حساب تجزیه: چندجمله‌ای‌ها را گام‌به‌گام تجزیه کنید

Q: گام اول در تجزیهٔ هر چندجملهای چیست؟

بزرگترین عامل مشترک همهٔ جملهها را، از جمله هر توان مشترکی از متغیر، فاکتور بگیرید. هر روش دیگری روی آنچه باقی میماند بهتر کار میکند.

Q: «تجزیهناپذیر» یعنی چه؟

یک چندجملهای روی عددهای گویا تجزیهناپذیر است وقتی نتوان آن را به صورت حاصلضرب چندجملهایهایی با درجهٔ کمتر و ضریبهای گویا نوشت. برای مثال x به توان دو بهعلاوهٔ 1 و x به توان دو منهای 2 هر دو روی عددهای گویا تجزیهناپذیرند.

Q: آیا ماشینحساب چندجملهایهای درجهٔ سوم و چهارم را تجزیه میکند؟

بله. ریشههای گویا را با قضیهٔ ریشهٔ گویا میآزماید، با تقسیم ترکیبی بر آنها تقسیم میکند و در درجهٔ چهارم دنبال شکستن به دو عبارت درجهٔ دوم با ضریبهای صحیح هم میگردد.

Q: آیا عبارتهای دومتغیره را تجزیه میکند؟

شکلهای رایج دومتغیره را پوشش میدهد: عامل مشترک تکجملهای، چندجملهایهای همگن مانند x به توان دو منهای 5xy بهعلاوهٔ 6y به توان دو، تفاضل دو مربع، و دستهبندی بر حسب یک متغیر. عبارتهایی با سه متغیر یا بیشتر پشتیبانی نمیشوند.

Q: تجزیه چه ارتباطی با حل معادله دارد؟

اگر حاصلضربی برابر صفر باشد، دستکم یکی از عاملهایش باید صفر باشد. پس تجزیهٔ چندجملهایای که برابر صفر است، یک معادلهٔ دشوار را به چند معادلهٔ آسان تبدیل میکند.

Q: چرا پاسخ من با کتاب درسی متفاوت نوشته شده است؟

عاملها ممکن است به هر ترتیبی ظاهر شوند و عامل منفی یک را میتوان میان پرانتزها جابهجا کرد. هر دو شکل را باز کنید؛ اگر هر دو همان چندجملهای را بدهند، هر دو درستاند.

دربارهٔ ماشین‌حساب تجزیه

تجزیه یک چندجمله‌ای را به صورت حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌های ساده‌تر بازنویسی می‌کند. تجزیه عکس باز کردن پرانتزهاست و از پرکاربردترین مهارت‌های جبر است: با آن معادله‌های درجهٔ دوم و سوم حل می‌شوند، عبارت‌های گویا ساده می‌شوند، صفرهای نمودار پیدا می‌شوند و انتگرال‌ها برای تجزیه به کسرهای جزئی آماده می‌شوند.

این ماشین‌حساب چندجمله‌ای‌های یک‌متغیره مانند $6x^2 + 11x - 10$ یا $x^4 - 16$ و شکل‌های رایج دومتغیره مانند $x^2 - 9y^2$ یا $x^2 - 5xy + 6y^2$ را تجزیه می‌کند. همیشه اول بزرگ‌ترین عامل مشترک را فاکتور می‌گیرد، سپس دنبال الگوهای ویژه می‌گردد و برای درجه‌های بالاتر از روش AC یا قضیهٔ ریشهٔ گویا استفاده می‌کند. هر چه را که روی عددهای گویا بیش از این شکستنی نباشد، به جای رها کردن بدون توضیح، تجزیه‌ناپذیر اعلام می‌کند.

تجزیهٔ یک چندجمله‌ای یعنی چه؟

تجزیهٔ یک چندجمله‌ای یعنی نوشتن آن به صورت حاصل‌ضربی که درجهٔ هر عاملش کمتر است. برای مثال $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . ضرب دوبارهٔ عامل‌ها در هم چندجمله‌ای اصلی را برمی‌گرداند و این ساده‌ترین راه بررسی هر تجزیه‌ای است.

تجزیه وقتی کامل است که هیچ عاملی را نتوان با ضریب‌های گویا باز هم شکست. عبارت درجهٔ دوم $x^2 - 2$ روی عددهای گویا تجزیه‌ناپذیر است، با اینکه برابر $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ است، چون $\sqrt2$ عددی گنگ است. کتاب‌های درسی و این ماشین‌حساب روی عددهای گویا کار می‌کنند، مگر اینکه مسئله صراحتاً عامل‌های حقیقی یا مختلط بخواهد.

چگونه از ماشین‌حساب تجزیه استفاده کنیم

چندجمله‌ای را با ^ برای توان‌ها بنویسید، مانند 6x^2 + 11x - 10 یا x^3 - 8.
می‌توانید آن را به هر ترتیبی یا با پرانتز وارد کنید، مانند (x + 1)(x + 2) + 3x؛ ماشین‌حساب اول آن را باز و مرتب می‌کند.
دکمهٔ «تجزیه کن» را بزنید. گام اول چندجمله‌ای را به شکل استاندارد با توان‌های نزولی می‌نویسد.
گام‌های روش را دنبال کنید: عامل مشترک، الگوی ویژه یا روش AC، و هر آزمون ریشهٔ گویا همراه با تقسیم ترکیبی برای چندجمله‌ای‌های درجهٔ سوم یا چهارم.
تجزیهٔ کامل را در پایان بخوانید و اگر خواستید آن را با ماشین‌حساب ساده‌سازی باز کنید تا بررسی شود.

فرمول‌ها

اتحاد مزدوج (تفاضل دو مربع)

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

سه‌جمله‌ای‌های مربع کامل

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

مجموع و تفاضل مکعب‌ها

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

روش AC

ax^2 + bx + c:\ \text{پیدا کردن } m, n \text{ به‌طوری که } mn = ac,\ m + n = b

$bx$ را به $mx + nx$ بشکنید و با دسته‌بندی تجزیه کنید.

قضیهٔ ریشهٔ گویا

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

ریشه‌های نامزد، مقسوم‌علیه‌های جملهٔ ثابت تقسیم بر مقسوم‌علیه‌های ضریب پیشرو هستند.

مثال حل‌شده: سه‌جمله‌ای 6x² + 11x − 10

مثال حل‌شده از سه‌جمله‌ای $6x^2 + 11x - 10$ استفاده می‌کند، حالتی نمونه که ضریب پیشرو 1 نیست و حدس و آزمایش کُند است. موتور $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ را ضرب می‌کند و دنبال دو عدد صحیح می‌گردد که حاصل‌ضربشان $-60$ و مجموعشان $11$ باشد.

این دو عدد $15$ و $-4$ هستند. شکستن جملهٔ میانی به $15x - 4x$ اجازه می‌دهد چهار جمله دوبه‌دو دسته شوند و هر دسته در یک عامل دوجمله‌ای شریک باشد. پاسخ را ضرب کنید تا از درستی آن مطمئن شوید.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

(3x - 2)(2x + 5)

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

تجزیهٔ یک چندجمله‌ای روی عددهای گویا

6x^{2} + 11x - 10

راه‌حل گام‌به‌گام

چندجمله‌ای را به شکل استاندارد بنویسید
$6x^{2} + 11x - 10$
از روش AC استفاده کنید
a·c = 6·-10 = -60 را ضرب کنید. دو عدد پیدا کنید که حاصل‌ضربشان -60 و مجموعشان b = 11 باشد: 15 و -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
تجزیه با دسته‌بندی
دو جملهٔ اول و دو جملهٔ آخر را دسته کنید، از هر دسته فاکتور بگیرید، سپس دوجمله‌ای مشترک را فاکتور بگیرید. ریشه‌ها -5/2 و 2/3 هستند.
تجزیهٔ کامل را بنویسید
$(3x - 2)(2x + 5)$

فرمول‌های به‌کاررفته

اتحاد مزدوج (تفاضل دو مربع)
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
سه‌جمله‌ای مربع کامل
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
مجموع و تفاضل مکعب‌ها
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
قضیهٔ ریشهٔ گویا
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ ریشه} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 روی عددهای گویا به‌طور کامل به صورت (3x - 2)(2x + 5) تجزیه می‌شود.

بررسی‌ها

باز کردن (3x - 2)(2x + 5) دوباره 6x^2 + 11x - 10 را می‌دهد.

توضیح کامل

ترتیب روش‌ها مهم است

هر روش تجزیهٔ مطمئنی همیشه با بزرگ‌ترین عامل مشترک شروع می‌شود. فاکتور گرفتن $2$ از $2x^2 - 18$ عبارت $x^2 - 9$ را باقی می‌گذارد که آن‌وقت می‌توان آن را تفاضل دو مربع تشخیص داد. نادیده گرفتن این گام الگو را پنهان می‌کند و پاسخ ناقصی مانند $(2x - 6)(x + 3)$ می‌گذارد که هنوز عامل مشترک 2 در آن هست.

پس از عامل مشترک، روش خوب به شکل عبارت نگاه می‌کند. دو جمله تفاضل دو مربع یا مجموع یا تفاضل مکعب‌ها را به ذهن می‌آورد؛ سه جمله مربع کامل یا روش AC را؛ و چهار جمله اغلب با دسته‌بندی تجزیه می‌شود. برای درجهٔ سه و بالاتر، ماشین‌حساب ریشه‌های گویای نامزد را می‌آزماید و با تقسیم ترکیبی بر هر ریشه‌ای که پیدا کند تقسیم می‌کند، تا هر بار درجه یک واحد پایین بیاید و همان نتیجهٔ دسته‌بندی به دست آید، مانند $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

چرا روش AC کار می‌کند

اگر $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ ، باز کردن آن $pr = a$ ، $qs = c$ و $ps + qr = b$ را می‌دهد. دو عدد $ps$ و $qr$ حاصل‌ضربی برابر $pq rs = ac$ و مجموعی برابر $b$ دارند. پس پیدا کردن دو عدد با حاصل‌ضرب $ac$ و مجموع $b$ دقیقاً پیدا کردن دو جملهٔ ضربدری است و دسته‌بندی دوجمله‌ای‌ها را بازمی‌سازد.

وقتی هیچ زوج عدد صحیحی وجود نداشته باشد، عبارت درجهٔ دوم ریشهٔ گویا ندارد و روی عددهای گویا تجزیه‌ناپذیر است. می‌توانید این را با دلتا، $b^2 - 4ac$ ، تأیید کنید: عامل‌های گویا وجود دارند اگر و تنها اگر دلتا مربع کامل باشد.

چندجمله‌ای‌های درجهٔ بالاتر

در چندجمله‌ای درجهٔ سومی مانند $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ، قضیهٔ ریشهٔ گویا نامزدها را به $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ محدود می‌کند. آزمون نشان می‌دهد $x = 1$ ریشه است، تقسیم ترکیبی $x^2 - 5x + 6$ را باقی می‌گذارد و این عبارت درجهٔ دوم به $(x - 2)(x - 3)$ تجزیه می‌شود.

چندجمله‌ای‌های درجهٔ چهارمی که ریشهٔ گویا ندارند ممکن است باز هم به دو عبارت درجهٔ دوم شکسته شوند، مانند $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . ماشین‌حساب پیش از اعلام تجزیه‌ناپذیری، برای این حالت دنبال زوج‌های درجهٔ دوم با ضریب‌های صحیح می‌گردد.

اشتباه‌های رایج

فراموش کردن فاکتور گرفتن بزرگ‌ترین عامل مشترک در ابتدا، که تجزیه‌ای ناقص باقی می‌گذارد.
تجزیه‌پذیر دانستن $a^2 + b^2$ روی عددهای حقیقی. مجموع دو مربع بدون عددهای مختلط تجزیه نمی‌شود.
خطای علامت در مکعب‌ها: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ، با علامت مثبت روی جملهٔ میانی عبارت درجهٔ دوم.
توقف پس از یک گام، مثلاً رها کردن $x^4 - 16$ به صورت $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ در حالی که $x^2 - 4$ باز هم تجزیه می‌شود.
جا انداختن عامل $-1$ هنگام فاکتور گرفتن ضریب پیشروِ منفی.

نکته‌ها

همیشه با ضرب دوبارهٔ عامل‌ها در هم بررسی کنید.
پیش از انتخاب روش، چندجمله‌ای را با توان‌های نزولی بنویسید.
در روش AC، زوج مقسوم‌علیه‌های $ac$ را منظم از کوچک به بزرگ فهرست کنید.
از دلتا استفاده کنید تا سریع تصمیم بگیرید آیا عبارت درجهٔ دوم روی عددهای گویا تجزیه می‌شود.
اگر ریشه‌ها را لازم دارید نه عامل‌ها را، هر عامل را برابر صفر قرار دهید.

پرسش‌های متداول

گام اول در تجزیهٔ هر چندجمله‌ای چیست؟

بزرگ‌ترین عامل مشترک همهٔ جمله‌ها را، از جمله هر توان مشترکی از متغیر، فاکتور بگیرید. هر روش دیگری روی آنچه باقی می‌ماند بهتر کار می‌کند.

سه‌جمله‌ای‌ای را که ضریب پیشرو آن 1 نیست چگونه تجزیه کنم؟

از روش AC استفاده کنید: a را در c ضرب کنید، دو عدد پیدا کنید که حاصل‌ضربشان این عدد و مجموعشان b باشد، جملهٔ میانی را به این دو بخش بشکنید، سپس با دسته‌بندی تجزیه کنید.

«تجزیه‌ناپذیر» یعنی چه؟

یک چندجمله‌ای روی عددهای گویا تجزیه‌ناپذیر است وقتی نتوان آن را به صورت حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌هایی با درجهٔ کمتر و ضریب‌های گویا نوشت. برای مثال x به توان دو به‌علاوهٔ 1 و x به توان دو منهای 2 هر دو روی عددهای گویا تجزیه‌ناپذیرند.

آیا ماشین‌حساب چندجمله‌ای‌های درجهٔ سوم و چهارم را تجزیه می‌کند؟

بله. ریشه‌های گویا را با قضیهٔ ریشهٔ گویا می‌آزماید، با تقسیم ترکیبی بر آن‌ها تقسیم می‌کند و در درجهٔ چهارم دنبال شکستن به دو عبارت درجهٔ دوم با ضریب‌های صحیح هم می‌گردد.

آیا عبارت‌های دومتغیره را تجزیه می‌کند؟

شکل‌های رایج دومتغیره را پوشش می‌دهد: عامل مشترک تک‌جمله‌ای، چندجمله‌ای‌های همگن مانند x به توان دو منهای 5xy به‌علاوهٔ 6y به توان دو، تفاضل دو مربع، و دسته‌بندی بر حسب یک متغیر. عبارت‌هایی با سه متغیر یا بیشتر پشتیبانی نمی‌شوند.

تجزیه چه ارتباطی با حل معادله دارد؟

اگر حاصل‌ضربی برابر صفر باشد، دست‌کم یکی از عامل‌هایش باید صفر باشد. پس تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ای که برابر صفر است، یک معادلهٔ دشوار را به چند معادلهٔ آسان تبدیل می‌کند.

چرا پاسخ من با کتاب درسی متفاوت نوشته شده است؟

عامل‌ها ممکن است به هر ترتیبی ظاهر شوند و عامل منفی یک را می‌توان میان پرانتزها جابه‌جا کرد. هر دو شکل را باز کنید؛ اگر هر دو همان چندجمله‌ای را بدهند، هر دو درست‌اند.

چندجمله‌ای خود را تجزیه کنید

یک چندجمله‌ای را در بالا بنویسید تا تجزیهٔ کامل آن را همراه با روش به‌کاررفته در هر گام بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب تجزیهٔ چندجمله‌ای