جبر

چگونه چندجمله‌ای‌ها را تجزیه کنیم: فهرست گام‌به‌گام روش‌ها

Q: هنگام تجزیه همیشه اول چه کاری باید بکنم؟

بزرگترین عامل مشترک را بیرون بکشید. این کار همهٔ گامهای بعدی را آسانتر میکند و برای تجزیهٔ کامل لازم است.

Q: از کجا بفهمم یک عبارت درجهٔ دوم بهراحتی تجزیه میشود؟

مقدار b^2 - 4ac را حساب کنید. با ضریبهای صحیح، عبارت دقیقاً وقتی روی عددهای صحیح تجزیه میشود که این عدد مربع کامل باشد، مانند 0، 1، 4، 9 یا 16.

Q: نخستین کار در تجزیه چیست؟

همیشه اول دنبال بزرگترین عامل مشترک بگردید و اگر ضریب پیشرو منفی است، علامت منفی را هم در آن بگنجانید. بیرون کشیدن آن چندجملهای باقیمانده را کوچکتر میکند و اغلب الگویی آشنا مانند تفاضل دو مربع یا یک سهجملهای ساده را آشکار میکند.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

تجزیه، ضرب در جهت معکوس است. یک فهرست ثابت را به ترتیب دنبال کنید و از بزرگ‌ترین عامل مشترک شروع کنید؛ تقریباً هر چندجمله‌ای‌ای که در جبر می‌بینید به عامل‌های ساده تجزیه می‌شود.

چرا تجزیه مهم است

تجزیهٔ یک چندجمله‌ای یعنی نوشتن آن به صورت حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌های ساده‌تر. بسط $(x + 3)(x + 4)$ می‌دهد $x^2 + 7x + 12$ ؛ تجزیه در جهت مخالف پیش می‌رود. شکل تجزیه‌شده اغلب بسیار سودمندتر است: ریشه‌های معادله را بی‌درنگ نشان می‌دهد، عبارت‌های گویا را با حذف عامل‌های مشترک ساده می‌کند و نشان می‌دهد نمودار کجا محور x را قطع می‌کند.

هر تجزیه‌ای را می‌توان با ضرب دوبارهٔ عامل‌ها وارسی کرد. اگر بسط دقیقاً چندجمله‌ای اصلی را بازتولید نکند، جایی اشتباه شده است، پس این وارسی را به عادت تبدیل کنید.

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

فهرست گام‌های تجزیه

معلم‌ها و کتاب‌های درسی این روش‌ها را با ترتیب‌های کمی متفاوت می‌آورند، اما فهرست زیر تقریباً برای هر چندجمله‌ای در نخستین درس جبر کار می‌کند. آن را به ترتیب به کار ببرید و روی هر عامل تکرار کنید تا دیگر چیزی تجزیه نشود.

بزرگ‌ترین عامل مشترک (ب.م.م) همهٔ جمله‌ها را بیرون بکشید.
جمله‌ها را بشمارید. دو جمله: دنبال تفاضل دو مربع یا مجموع یا تفاضل دو مکعب بگردید.
سه جمله: دنبال سه‌جمله‌ای مربع کامل بگردید، سپس از جست‌وجوی ضرب و جمع یا روش AC استفاده کنید.
چهار جمله: دسته‌بندی را امتحان کنید.
درجهٔ سه یا بیشتر بدون الگوی آشکار: از آزمون ریشهٔ گویا و تقسیم چندجمله‌ای استفاده کنید.
هر عامل را دوباره بررسی کنید، سپس برای وارسی ضرب کنید.

گام 1: بزرگ‌ترین عامل مشترک

همیشه از اینجا شروع کنید. بزرگ‌ترین عددی را که همهٔ ضریب‌ها را می‌شمارد و کمترین توان هر متغیری را که در همهٔ جمله‌ها هست پیدا کنید.

مثال: $6x^3 + 9x^2 - 15x$

ب.م.م عددهای 6، 9 و 15 برابر 3 است و هر جمله دست‌کم $x^1$ را دارد، پس عامل مشترک $3x$ است.
هر جمله را بر $3x$ تقسیم کنید: $6x^3 + 9x^2 - 15x = 3x(2x^2 + 3x - 5)$ .
درون پرانتز یک سه‌جمله‌ای است، پس با فهرست ادامه دهید: $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1)$ .
پاسخ نهایی: $3x(2x + 5)(x - 1)$ .

اگر ضریب پیشرو منفی است، یک عامل مشترک منفی بیرون بکشید. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ بسیار آسان‌تر از کار با جملهٔ منفی $x^2$ است.

سه‌جمله‌ای‌های با ضریب پیشرو 1

برای $x^2 + bx + c$ ، دو عدد $m$ و $n$ با $mn = c$ و $m + n = b$ پیدا کنید. آنگاه $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$ .

$x^2 + 7x + 12$ : حاصل‌ضرب 3 و 4 برابر 12 و مجموعشان 7 است، پس عامل‌ها $(x + 3)(x + 4)$ هستند.
$x^2 - 2x - 15$ : حاصل‌ضرب $-5$ و 3 برابر $-15$ و مجموعشان $-2$ است، پس عامل‌ها $(x - 5)(x + 3)$ هستند.
$x^2 - 9x + 20$ : $-4$ و $-5$ ، که $(x - 4)(x - 5)$ را می‌دهند.

علامت‌ها میان‌بری می‌دهند. اگر $c$ مثبت باشد، هر دو عدد هم‌علامت $b$ هستند. اگر $c$ منفی باشد، دو عدد علامت‌های مخالف دارند و عددی که قدر مطلق بزرگ‌تری دارد علامت $b$ را می‌گیرد.

سه‌جمله‌ای‌های با هر ضریب پیشرو: روش AC

وقتی $a \neq 1$ ، $a$ را در $c$ ضرب کنید، دو عدد با حاصل‌ضرب $ac$ و مجموع $b$ پیدا کنید، با آن‌ها جملهٔ میانی را بشکنید و سپس با دسته‌بندی تجزیه کنید.

مثال: $3x^2 - 10x + 8$

$ac = 3 \times 8 = 24$ . دو عدد با حاصل‌ضرب 24 و مجموع $-10$ عبارت‌اند از $-4$ و $-6$ .
جملهٔ میانی را بشکنید: $3x^2 - 4x - 6x + 8$ .
دوتا‌دوتا دسته‌بندی کنید: $x(3x - 4) - 2(3x - 4)$ .
پرانتز مشترک را بیرون بکشید: $(x - 2)(3x - 4)$ .
وارسی: $(x - 2)(3x - 4) = 3x^2 - 4x - 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8$ .

یک سه‌جمله‌ای با ضریب‌های صحیح دقیقاً وقتی روی عددهای صحیح تجزیه می‌شود که $b^2 - 4ac$ مربع کامل باشد. برای $3x^2 - 10x + 8$ ممیز برابر $100 - 96 = 4$ است که مربع کامل است، پس جست‌وجو حتماً به نتیجه می‌رسد. اگر ممیز مربع کامل نیست، جست‌وجو را رها کنید و به جای آن از فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم استفاده کنید.

اتحادهای ویژه‌ای که باید شناخت

سه الگو آن‌قدر زیاد ظاهر می‌شوند که ارزش دارد در یک نگاه آن‌ها را بشناسید:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$ .
$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$ : الگو را دو بار به کار ببرید.
$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$ ، چون $4x^2 = (2x)^2$ ، $9 = 3^2$ و $12x = 2(2x)(3)$ .
$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ و $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$ .

مجموع دو مربع مانند $x^2 + 4$ روی عددهای حقیقی تجزیه نمی‌شود. ممیز آن $-16$ است که منفی است.

چهار جمله: تجزیه با دسته‌بندی

چندجمله‌ای را به دو جفت تقسیم کنید، عامل مشترک هر جفت را بیرون بکشید و دنبال پرانتز مشترک بگردید.

مثال: $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$

دسته‌بندی: $(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12)$ .
هر جفت را تجزیه کنید: $x^2(x + 3) - 4(x + 3)$ .
پرانتز مشترک را بیرون بکشید: $(x + 3)(x^2 - 4)$ .
عامل دوم تفاضل دو مربع است: $(x + 3)(x - 2)(x + 2)$ .

اگر پرانتزها یکسان درنیامدند، پیش از ناامید شدن جمله‌ها را در جفت‌های دیگری بچینید.

درجه‌های بالاتر: آزمون ریشهٔ گویا

برای چندجمله‌ای با ضریب‌های صحیح، هر ریشهٔ گویای $\frac{p}{q}$ در ساده‌ترین شکل دارای این ویژگی است که $p$ جملهٔ ثابت را می‌شمارد و $q$ ضریب پیشرو را. نامزدها را بیازمایید تا یکی صفر بدهد، سپس آن عامل را با تقسیم جدا کنید.

مثال: $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$

نامزدها: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$ .
آزمودن $x = 3$ : $2(27) - 3(9) - 11(3) + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$ ، پس $(x - 3)$ یک عامل است.
تقسیم (تقسیم ترکیبی با 3): خارج‌قسمت $2x^2 + 3x - 2$ است.
خارج‌قسمت را با روش AC تجزیه کنید: $2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$ .
پاسخ نهایی: $(x - 3)(2x - 1)(x + 2)$ ، با ریشه‌های $3$ ، $\frac{1}{2}$ و $-2$ .

اگر بخواهید مقایسه کنید، ماشین‌حساب چندجمله‌ای تقسیم را گام‌به‌گام انجام می‌دهد.

اشتباه‌های رایج در تجزیه

فراموش کردن عامل مشترک، که سه‌جمله‌ای دشوارتر و پاسخی ناقص به جا می‌گذارد.
توقف زودهنگام: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ تمام نشده است، چون $x^2 - 4$ باز هم تجزیه می‌شود.
رفتار با $a^2 + b^2$ مانند تفاضل دو مربع.
لغزش علامت در دسته‌بندی: $-4x - 12 = -4(x + 3)$ ، نه $-4(x - 3)$ .
وارسی نکردن با بسط. ضرب کردن چند ثانیه طول می‌کشد و تک‌تک خطاهای بالا را می‌گیرد.

چندجمله‌ای‌های خودتان را در ماشین‌حساب تجزیه امتحان کنید که نشان می‌دهد در هر گام از کدام روش استفاده کرده است، و از شکل‌های تجزیه‌شده برای ساده کردن عبارت‌های گویا بهره بگیرید.

از کجا بفهمیم چندجمله‌ای‌ای تجزیه نمی‌شود

هر چندجمله‌ای‌ای روی عددهای صحیح تجزیه نمی‌شود و تشخیص زودهنگام این موضوع وقت زیادی صرفه‌جویی می‌کند. برای عبارت درجهٔ دوم $ax^2 + bx + c$ با ضریب‌های صحیح، ممیز $b^2 - 4ac$ را حساب کنید. اگر مربع کامل باشد، عبارت به عامل‌های خطی با ضریب‌های گویا تجزیه می‌شود. اگر مثبت باشد اما مربع کامل نباشد، ریشه‌ها گنگ‌اند و عبارت روی عددهای گویا تحویل‌ناپذیر نامیده می‌شود؛ اگر منفی باشد، اصلاً روی عددهای حقیقی تجزیه نمی‌شود.

برای مثال، ممیز $x^2 + 3x + 1$ برابر $9 - 4 = 5$ است که مربع کامل نیست، پس هیچ جفت عدد صحیحی نیست که حاصل‌ضربش 1 و مجموعش 3 باشد. ریشه‌هایش، $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ ، از فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم به دست می‌آیند. مجموع دو مربع $x^2 + 4$ ممیز $-16$ دارد و روی عددهای حقیقی تجزیه نمی‌شود، هرچند روی عددهای مختلط به صورت $(x - 2i)(x + 2i)$ تجزیه می‌شود.

برای چندجمله‌ای‌های درجهٔ سه و بالاتر، آزمون ریشهٔ گویا فهرستی متناهی از نامزدها می‌دهد. اگر هیچ‌کدام ریشه نباشد، چندجمله‌ای هیچ عامل خطی با ضریب‌های گویا ندارد، هرچند یک چندجمله‌ای درجهٔ چهار ممکن است همچنان به دو عامل درجهٔ دوم بشکند.

چرا تجزیه بعدها هم مهم است

تجزیه مبحثی جدا افتاده نیست. حل معادله‌های چندجمله‌ای به ویژگی حاصل‌ضرب صفر تکیه دارد: اگر $AB = 0$ ، آنگاه $A = 0$ یا $B = 0$ . ساده کردن عبارت‌های گویا به حذف عامل‌های مشترک بستگی دارد. یافتن نقطه‌های برخورد با محور x و رفتار علامت نمودار چندجمله‌ای مستقیماً از شکل تجزیه‌شده استفاده می‌کند و در حسابان، حدهایی به شکل $\frac{0}{0}$ اغلب با تجزیه و حذف رفع ابهام می‌شوند.

برای نمونه، $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ را نمی‌توان با جای‌گذاری حساب کرد، اما تجزیهٔ صورت به $(x - 2)(x + 2)$ و حذف، $x + 2$ را باقی می‌گذارد، پس حد برابر 4 است. روش کسرهای جزئی در انتگرال‌گیری هم با تجزیهٔ کامل مخرج آغاز می‌شود.

همیشه تجزیه را با بسط دادنش وارسی کنید. ضرب کردن کمتر از تجزیه وقت می‌گیرد و خطاهای علامت را بی‌درنگ آشکار می‌کند.

برای وارسی تجزیهٔ خودتان، آن را در ماشین‌حساب تجزیه وارد کنید یا پاسخ‌تان را با ماشین‌حساب ساده‌سازی بسط دهید.

پرسش‌های متداول

هنگام تجزیه همیشه اول چه کاری باید بکنم؟

بزرگ‌ترین عامل مشترک را بیرون بکشید. این کار همهٔ گام‌های بعدی را آسان‌تر می‌کند و برای تجزیهٔ کامل لازم است.

از کجا بفهمم یک عبارت درجهٔ دوم به‌راحتی تجزیه می‌شود؟

مقدار $b^2 - 4ac$ را حساب کنید. با ضریب‌های صحیح، عبارت دقیقاً وقتی روی عددهای صحیح تجزیه می‌شود که این عدد مربع کامل باشد، مانند 0، 1، 4، 9 یا 16.

آیا $x^2 + 9$ تجزیه می‌شود؟

نه روی عددهای حقیقی. مجموع دو مربع ریشهٔ حقیقی ندارد. روی عددهای مختلط به صورت $(x - 3i)(x + 3i)$ تجزیه می‌شود.

از کجا بدانم تجزیه کامل شده است؟

هر عامل را دوباره با فهرست بسنجید. وقتی هیچ عاملی عامل مشترک، الگوی اتحاد ویژه یا ریشهٔ گویا نداشته باشد، تجزیه کامل است.

نخستین کار در تجزیه چیست؟

همیشه اول دنبال بزرگ‌ترین عامل مشترک بگردید و اگر ضریب پیشرو منفی است، علامت منفی را هم در آن بگنجانید. بیرون کشیدن آن چندجمله‌ای باقی‌مانده را کوچک‌تر می‌کند و اغلب الگویی آشنا مانند تفاضل دو مربع یا یک سه‌جمله‌ای ساده را آشکار می‌کند.

آیا x به توان دو به‌علاوهٔ 9 تجزیه‌پذیر است؟

نه روی عددهای حقیقی. مجموع دو مربع ممیز منفی دارد، پس ریشهٔ حقیقی و عامل خطی حقیقی ندارد. روی عددهای مختلط به صورت $(x - 3i)(x + 3i)$ تجزیه می‌شود.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.