ساده کردن عبارت‌های جبری گام‌به‌گام

ساده کردن واقعاً یعنی چه

عبارتی مانند $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ علامت مساوی ندارد، پس چیزی برای حل کردن نیست. ساده کردن آن یعنی یافتن عبارتی هم‌ارز، یعنی عبارتی که برای هر $x$ مجاز همان مقدار را بدهد، که کوتاه‌تر و کاربردی‌تر باشد. اینجا آن عبارت $4x - 7$ است.

واژهٔ کلیدی «هم‌ارز» است. هر گام باید یک قاعدهٔ جبری معتبر باشد، نه حدسی که از قضا مرتب‌تر به نظر می‌رسد. یک آزمون سودمند جای‌گذاری یک مقدار است: در $x = 2$ عبارت اصلی می‌دهد $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ و $4(2) - 7 = 1$ هم همین را می‌دهد. یکسان بودن در یک نقطه هم‌ارزی دو عبارت را اثبات نمی‌کند، اما ناهمخوانی خطا را اثبات می‌کند.

جمع جمله‌های متشابه

جمله‌های متشابه دقیقاً متغیرهای یکسان با توان‌های یکسان دارند؛ فقط ضریب‌هایشان ممکن است فرق کند. $3x^2$ و $-7x^2$ متشابه‌اند. $3x^2$ و $3x$ متشابه نیستند و $xy$ و $x^2y$ هم نیستند.

برای جمع جمله‌های متشابه، ضریب‌هایشان را جمع کنید و بخش متغیر را بدون تغییر نگه دارید:

پیش از جمع کردن، زیر هر گروه از جمله‌های متشابه خط بکشید یا آن را رنگی کنید و علامت هر جمله را همراه آن ببرید. در $4x + 3y - x$، جمله $-x$ است، نه $x$.

خاصیت پخشی و باز کردن پرانتزها

خاصیت پخشی $a(b + c) = ab + ac$ پرانتزها را برمی‌دارد. عامل بیرونی در تک‌تک جمله‌های درون ضرب می‌شود و علامت منفی پیش از پرانتز یک عامل $-1$ است.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$، چون $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: هر جملهٔ پرانتز اول را در هر جملهٔ پرانتز دوم ضرب کنید.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$، نه $4x^2 + 9$.

به توان دو رساندن یک مجموع جمله‌به‌جمله، مانند $(a + b)^2 = a^2 + b^2$، یکی از پرتکرارترین خطاهای جبر است. اتحاد درست $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ است.

قاعده‌های توان

حاصل‌ضرب‌ها و خارج‌قسمت‌های توان‌ها با مجموعهٔ کوتاهی از قاعده‌ها ساده می‌شوند که برای هر پایهٔ ناصفر معتبرند:

اگر بخواهید عبارت طولانی‌تری را وارسی کنید، ماشین‌حساب توان این قاعده‌ها را یکی‌یکی اعمال می‌کند.

ساده کردن کسرهای جبری

عبارت گویا با تجزیهٔ کامل صورت و مخرج و سپس حذف عامل‌هایی که در هر دو هستند ساده می‌شود. فقط عامل‌ها را می‌توان حذف کرد، هرگز جمله‌هایی را که با هم جمع شده‌اند.

محدودیت $x \neq -3$ باید حفظ شود، هرچند $(x + 3)$ دیگر دیده نمی‌شود، چون عبارت اصلی در آنجا تعریف‌نشده است. برای جمع کسرها، اول مخرج مشترک بگیرید:

اگر تجزیه گره کار است، راهنمای تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ها همهٔ روش‌هایی را که اینجا به کار رفته پوشش می‌دهد و ماشین‌حساب عبارت گویا حذف را گام‌به‌گام نشان می‌دهد.

ساده کردن ریشهٔ دوم

عامل‌های مربع کامل را با $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ برای $a$ و $b$ نامنفی بیرون بکشید. سپس رادیکال‌های متشابه را مانند جمله‌های متشابه با هم جمع کنید.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ و $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$، پس $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ که برابر $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ نیست. ریشه روی جمع پخش نمی‌شود.

ترتیبی معقول برای گام‌ها

1. پرانتزها را با خاصیت پخشی باز کنید و مراقب علامت‌های منفی باشید.
2. قاعده‌های توان را روی حاصل‌ضرب‌ها، خارج‌قسمت‌ها و توان‌ها اعمال کنید.
3. جمله‌های متشابه را با هم جمع کنید.
4. در کسرها، کامل تجزیه کنید و عامل‌های مشترک را حذف کنید و محدودیت‌ها را نگه دارید.
5. نتیجه را به ترتیبی استاندارد بنویسید، معمولاً با توان‌های نزولی: $3x^2 - x + 4$.
6. با جای‌گذاری یک مقدار ساده در عبارت اصلی و نتیجه، وارسی سریعی انجام دهید.

اشتباه‌هایی که مقدار را تغییر می‌دهند

• حذف جمله‌ها به جای عامل‌ها: $\frac{x + 6}{x + 3}$ نه برابر $2$ است و نه $\frac{6}{3}$.
• پخش کردن علامت منفی فقط روی جملهٔ نخست.
• جمع کردن توان‌ها هنگام ضرب پایه‌های متفاوت: $x^2 y^3$ را نمی‌توان به یک توان تبدیل کرد.
• نوشتن $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ یا $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• کنار گذاشتن محدودیت‌های دامنه پس از حذف.

هر عبارتی را در ماشین‌حساب ساده‌سازی وارد کنید تا گام‌هایش را با گام‌های خودتان مقایسه کنید. وقتی عبارتی ساده شد، حل معادلهٔ مربوط به آن بسیار آسان‌تر است؛ چگونه معادله‌های خطی را حل کنیم را ببینید.

یک مثال حل‌شدهٔ طولانی‌تر

تمرین‌های واقعی معمولاً چند قاعدهٔ بالا را با هم ترکیب می‌کنند. حل دقیق یکی از آن‌ها نشان می‌دهد ترتیب گام‌ها چگونه عبارت را قابل‌مدیریت نگه می‌دارد.

دقت کنید که تفریق پیش از $(x + 1)^2$ فقط پس از باز شدن مربع درون پرانتز انجام شد. اول باز کردن و سپس پخش کردن علامت منفی روی همهٔ جمله‌ها همان چیزی است که جلوی خطای کلاسیک علامت را می‌گیرد.

چه چیزی کاملاً ساده‌شده به شمار می‌آید؟

معلم‌ها و کتاب‌های درسی برای پاسخ نهایی چند قرارداد مشترک دارند. عبارت معمولاً وقتی کاملاً ساده‌شده به شمار می‌آید که هیچ پرانتزی که بتوان بازش کرد باقی نمانده باشد، مگر اینکه شکل تجزیه‌شده خواسته شده باشد؛ هیچ دو جمله‌ای متشابه نباشند؛ هیچ توانی منفی یا صفر نباشد؛ هیچ کسری در صورت و مخرجش عامل مشترک نداشته باشد؛ هیچ ریشهٔ دومی عامل مربع کامل نداشته باشد؛ و هیچ مخرجی رادیکال نداشته باشد.

قاعدهٔ آخر با گویا کردن مخرج برآورده می‌شود. برای گویا کردن $\frac{6}{\sqrt{3}}$، صورت و مخرج را در $\sqrt{3}$ ضرب کنید تا $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ به دست آید. هر دو شکل مقدار یکسانی دارند، حدود $3.464$، اما دومی شکل نهایی مرسوم است.

گاهی ساده‌ترین شکل به هدف بستگی دارد. شکل بازشدهٔ $x^2 - 3x - 10$ برای خواندن ضریب‌ها راحت است، در حالی که شکل تجزیه‌شدهٔ $(x + 2)(x - 5)$ صفرها را بی‌درنگ نشان می‌دهد. اگر تمرینی نگوید کدام شکل را می‌خواهد، هر دو هم‌ارزند، اما بیشتر معلم‌ها برای مجموع‌ها شکل بازشده و برای کسرها شکل تجزیه‌شده و حذف‌شده را انتظار دارند.

اگر دو پاسخ با ظاهر متفاوت هر دو از آزمون جای‌گذاری در دو یا سه مقدار سربلند بیرون بیایند، تقریباً به‌طور قطع یک عبارت‌اند که به دو شکل نوشته شده‌اند.

ساده کردن با بیش از یک متغیر

عبارت‌های چندمتغیره دقیقاً از همین قاعده‌ها پیروی می‌کنند، اما گم کردن جمله‌ها آسان‌تر است. مرتب کردن جمله‌ها بر اساس بخش متغیرشان پیش از جمع کردن کمک می‌کند. در $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$، گروه‌های متشابه جمله‌های $a^2b$، جمله‌های $ab^2$ و جمله‌های $ab$ هستند. جمع کردن هر گروه $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$ را می‌دهد. چیز دیگری جمع نمی‌شود، چون هر جملهٔ باقی‌مانده بخش متغیر متفاوتی دارد، اما همهٔ جمله‌ها عامل مشترک $ab$ دارند، پس عبارت را می‌توان به صورت $ab(2a + 2b + 5)$ هم نوشت.

نوشتن متغیرها به ترتیب الفبایی در هر جمله، مثلاً $ba$ به صورت $ab$، تشخیص جمله‌های متشابه را آسان‌تر می‌کند. این یک قرارداد رایج در پاسخ‌های نهایی هم هست.

پرسش‌های متداول