ماشین‌حساب عبارت گویا: ساده‌سازی، جمع و تقسیم

Q: یک عبارت گویا را چگونه ساده کنم؟

صورت و مخرج را کامل تجزیه کنید، عاملهای مشترکشان را حذف کنید و مقدارهایی از x را که مخرج اصلی را صفر میکنند بهعنوان مقدارهای مستثنا اعلام کنید.

Q: مقدار مستثنا چیست؟

مقداری از متغیر که یکی از مخرجها را صفر میکند، پس عبارت در آن تعریف نشده است. مقدارهای مستثنای عبارت اصلی پس از سادهسازی هم مستثنا میمانند.

Q: کوچکترین مخرج مشترک را چگونه پیدا کنم؟

هر مخرج را تجزیه کنید و همهٔ عاملهای متمایز را در هم ضرب کنید، با بزرگترین توانی که هر عامل در یکی از مخرجها دارد.

Q: چرا نمیتوانم x را در (x + 2)/x حذف کنم؟

در صورت، x جملهای است که جمع شده، نه عاملی از کل صورت. فقط عاملهایی حذف میشوند که در کل صورت و کل مخرج ضرب شدهاند.

Q: آیا ماشینحساب با بیش از یک متغیر کار میکند؟

این ماشینحساب با عبارتهای گویای یکمتغیره کار میکند. برای عبارتهای چندجملهای با چند متغیر از ماشینحساب سادهسازی استفاده کنید.

Q: تفاوت حفره و مجانب چیست؟

حفره جایی پدید میآید که عاملی هم از صورت و هم از مخرج حذف شود. مجانب قائم جایی پدید میآید که پس از سادهسازی، عاملی در مخرج باقی بماند.

دربارهٔ ماشین‌حساب عبارت گویا

عبارت‌های گویا کسرهایی‌اند که صورت و مخرجشان چندجمله‌ای است، مانند $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . رفتارشان مانند کسرهای معمولی است، پس هرچه دربارهٔ ساده کردن، یافتن مخرج مشترک و تقسیم بر کسر می‌دانید همچنان درست است. تفاوت در این است که اکنون چندجمله‌ای‌ها را تجزیه می‌کنید نه عددها را، و باید مقدارهایی از $x$ را که هر مخرجی را صفر می‌کنند زیر نظر داشته باشید.

این ماشین‌حساب پنج عمل روی عبارت‌های گویای یک‌متغیره انجام می‌دهد: ساده‌سازی، جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. هر صورت و مخرج را روی عددهای گویا تجزیه می‌کند، در صورت نیاز کوچک‌ترین مخرج مشترک را می‌سازد، عامل‌های مشترک را حذف می‌کند و مقدارهای مستثنای پاسخ نهایی را اعلام می‌کند؛ کاری که بسیاری از راه‌حل‌ها از آن غافل‌اند.

عبارت گویا چیست؟

عبارت گویا خارج‌قسمت $\frac{P(x)}{Q(x)}$ دو چندجمله‌ای است که در آن $Q$ چندجمله‌ای صفر نیست. این عبارت هر جا $Q(x) = 0$ باشد تعریف نشده است، پس دامنه‌اش همهٔ عددهای حقیقی به‌جز ریشه‌های مخرج است.

دو عبارت گویا هم‌ارزند اگر در هر نقطه‌ای که هر دو تعریف شده‌اند برابر باشند. ساده‌سازی عبارت را با عبارتی هم‌ارز در ساده‌ترین شکل جایگزین می‌کند که صورت و مخرجش هیچ عامل مشترکی ندارند. چون حذف ممکن است عاملی را از مخرج بردارد، مقدارهای مستثنای عبارت اصلی باید صریحاً منتقل شوند.

روش استفاده از ماشین‌حساب عبارت گویا

ساده‌سازی، جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم را انتخاب کنید.
عبارت اول را در خانهٔ «عبارت گویای A» وارد کنید و صورت و مخرج را داخل پرانتز بگذارید، مثلاً (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
برای چهار عمل حسابی، عبارت دوم را در خانهٔ «عبارت گویای B» وارد کنید، مثلاً 2/(x + 1).
روی «محاسبه کن» بزنید و گام‌های تجزیه، مخرج مشترک و حذف را دنبال کنید.
نتیجه را همراه با مقدارهای مستثنایش کپی کنید.

فرمول‌ها

ساده کردن

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

جمع با مخرج مشترک

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

ضرب

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

تقسیم

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

مثال حل‌شده: ساده‌سازی (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

مثال حل‌شده، $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ را به ساده‌ترین شکل می‌رساند. ماشین‌حساب در صورت تفاضل دو مربع و در مخرج یک سه‌جمله‌ای تجزیه‌پذیر را تشخیص می‌دهد، پس دو طرف در عامل $x + 3$ مشترک‌اند.

پس از حذف، ماشین‌حساب هر دو مقدار مستثنا، $-3$ و $-2$ ، را اعلام می‌کند. مقدار $-3$ دیگر مخرج ساده‌شده را صفر نمی‌کند، اما از عبارت اصلی مستثنا بود و بنابراین مستثنا می‌ماند.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\frac{x - 3}{x + 2}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

عبارت گویا را به ساده‌ترین شکل ساده کنید.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

راه‌حل گام‌به‌گام

به صورت یک کسر بنویسید
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
صورت و مخرج را تجزیه کنید
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
عامل مشترک را ساده کنید
عامل x + 3 هم در صورت و هم در مخرج آمده است. ساده کردن آن مقدار عبارت را در هر جا که عبارت اصلی تعریف‌شده است تغییر نمی‌دهد.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
مقدارهای مستثنا را مشخص کنید
عبارت اصلی هر جا که مخرجی (یا مقسوم‌علیهی) صفر شود تعریف‌نشده است: x ≠ -3, x ≠ -2. این محدودیت‌ها حتی اگر عاملی ساده شده باشد باقی می‌مانند.

فرمول‌های به‌کاررفته

ساده کردن
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

در ساده‌ترین شکل، نتیجه (x - 3)/(x + 2) است. مقدارهای مستثنا: x ≠ -3, x ≠ -2.

بررسی‌ها

شکل ساده‌شده با عبارت اصلی در چهار نقطهٔ آزمون مقایسه شد و با آن برابر است.

توضیح کامل

جمع و تفریق

برای جمع عبارت‌های گویا، آنها را با یک مخرج مشترک بازنویسی کنید. کوچک‌ترین مخرج مشترک حاصل‌ضرب همهٔ عامل‌های متمایز مخرج‌هاست که هر کدام به بزرگ‌ترین توانی که ظاهر می‌شود رسیده است. در $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ کوچک‌ترین مخرج مشترک $(x - 1)(x + 1)$ است؛ هر صورت در عاملی که مخرجش کم دارد ضرب می‌شود و به $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ می‌رسیم.

تفریق از همین الگو پیروی می‌کند، اما صورت دوم به‌طور کامل کم می‌شود، پس پیش از پخش علامت منفی آن را داخل پرانتز بگذارید. پس از جمع، صورت جدید را تجزیه کنید تا ببینید آیا بخشی از آن با کوچک‌ترین مخرج مشترک حذف می‌شود یا نه.

ضرب و تقسیم

ضرب به مخرج مشترک نیازی ندارد. ابتدا همه‌چیز را تجزیه کنید، هر عاملی را که در یک صورت و یک مخرج ظاهر می‌شود حذف کنید و سپس آنچه را مانده ضرب کنید. حذف پیش از ضرب، چندجمله‌ای‌ها را کوچک نگه می‌دارد.

برای تقسیم، در وارون عبارت دوم ضرب کنید. این کار قید تازه‌ای می‌افزاید: صورت مقسوم‌علیه نباید صفر باشد، چون پس از وارون کردن به مخرج تبدیل می‌شود. تقسیم $\frac{x}{x + 2}$ بر $\frac{x - 1}{x + 2}$ حاصل $\frac{x}{x - 1}$ را می‌دهد و هر دو قید $x \neq -2$ و $x \neq 1$ برقرارند.

چرا مقدارهای مستثنا مهم‌اند

مقدارهای مستثنا تشریفات نیستند. نمودار $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ شبیه نمودار $\frac{x - 3}{x + 2}$ است، اما در $x = -3$ یک حفره و در $x = -2$ یک مجانب قائم دارد. هنگام حل معادله‌های شامل عبارت‌های گویا، جواب نامزدی که با یک مقدار مستثنا برابر باشد جوابی زائد است و باید کنار گذاشته شود.

اشتباه‌های رایج

حذف جمله‌ها به جای عامل‌ها، مثلاً خط زدن $x$ در $\frac{x + 2}{x}$ .
جمع جداگانهٔ صورت‌ها و مخرج‌ها: $\frac1x + \frac1y$ با $\frac{2}{x + y}$ برابر نیست.
فراموش کردن پخش علامت منفی روی کل صورت دوم هنگام تفریق.
کنار گذاشتن مقدارهای مستثنا پس از حذف یک عامل مشترک.
وارون کردن کسر اول به جای کسر دوم هنگام تقسیم.

نکته‌ها

پیش از هر کاری، هر صورت و هر مخرج را به‌طور کامل تجزیه کنید.
کوچک‌ترین مخرج مشترک را به شکل تجزیه‌شده بنویسید؛ ضرب زودهنگام آن حذف را دشوار می‌کند.
پیش از حذف، مقدارهای مستثنای هر مخرج، از جمله صورت مقسوم‌علیه، را جمع‌آوری کنید.
نتیجه را با جای‌گذاری مقداری مانند $x = 5$ در شکل اصلی و شکل ساده‌شده بررسی کنید.
برای دیدن دامنهٔ کامل نتیجه از ماشین‌حساب دامنه و برد استفاده کنید.

پرسش‌های متداول

یک عبارت گویا را چگونه ساده کنم؟

صورت و مخرج را کامل تجزیه کنید، عامل‌های مشترکشان را حذف کنید و مقدارهایی از x را که مخرج اصلی را صفر می‌کنند به‌عنوان مقدارهای مستثنا اعلام کنید.

مقدار مستثنا چیست؟

مقداری از متغیر که یکی از مخرج‌ها را صفر می‌کند، پس عبارت در آن تعریف نشده است. مقدارهای مستثنای عبارت اصلی پس از ساده‌سازی هم مستثنا می‌مانند.

کوچک‌ترین مخرج مشترک را چگونه پیدا کنم؟

هر مخرج را تجزیه کنید و همهٔ عامل‌های متمایز را در هم ضرب کنید، با بزرگ‌ترین توانی که هر عامل در یکی از مخرج‌ها دارد.

چرا نمی‌توانم x را در (x + 2)/x حذف کنم؟

در صورت، x جمله‌ای است که جمع شده، نه عاملی از کل صورت. فقط عامل‌هایی حذف می‌شوند که در کل صورت و کل مخرج ضرب شده‌اند.

عبارت‌های گویا را چگونه تقسیم کنم؟

عبارت اول را در وارون عبارت دوم ضرب کنید، سپس تجزیه و حذف کنید. صورت عبارت دوم مقدارهای مستثنای تازه‌ای می‌افزاید، چون به مخرج تبدیل می‌شود.

آیا ماشین‌حساب با بیش از یک متغیر کار می‌کند؟

این ماشین‌حساب با عبارت‌های گویای یک‌متغیره کار می‌کند. برای عبارت‌های چندجمله‌ای با چند متغیر از ماشین‌حساب ساده‌سازی استفاده کنید.

تفاوت حفره و مجانب چیست؟

حفره جایی پدید می‌آید که عاملی هم از صورت و هم از مخرج حذف شود. مجانب قائم جایی پدید می‌آید که پس از ساده‌سازی، عاملی در مخرج باقی بماند.

عبارت گویای خود را ساده کنید

یک عبارت گویا در بالا وارد کنید تا نتیجهٔ ساده‌شده، مقدارهای مستثنا و همهٔ گام‌ها را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب عبارت گویا