ماشین‌حساب لگاریتم: محاسبهٔ لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی

Q: لگاریتمها کجا به کار میروند؟

برای اندازهگیری کمیتهایی که چندین مرتبهٔ بزرگی را در بر میگیرند، مانند بزرگی زمینلرزه، شدت صوت بر حسب دسیبل و اسیدی بودن بر حسب pH، و نیز برای حل مسئلههای رشد و واپاشی.

دربارهٔ ماشین‌حساب لگاریتم

لگاریتم به یک پرسش پاسخ می‌دهد: پایه را به چه توانی برسانیم تا این عدد به دست آید؟ چون $2^5 = 32$ ، داریم $\log_2 32 = 5$ . لگاریتم‌ها وارون تابع‌های نمایی‌اند و به همین دلیل ابزار درست برای حل هر معادله‌ای هستند که مجهول در توان آن است، از سود مرکب گرفته تا pH و شدت صوت بر حسب دسی‌بل.

ماشین‌حساب سه حالت دارد. حالت محاسبه $\log_b(x)$ را پیدا می‌کند: وقتی $x$ توانی گویا از پایهٔ $b$ باشد پاسخ گویای دقیقی مانند $\log_4 8 = \tfrac32$ می‌دهد و در غیر این صورت عبارت تغییر پایه را همراه با مقدار اعشاری‌اش. حالت حل $b^x = y$ توان را پیدا می‌کند و حالت حل $\log_b(x) = c$ ورودی را. پایه می‌تواند هر عدد مثبتی به‌جز 1 باشد، یا $e$ برای لگاریتم طبیعی.

لگاریتم چیست؟

برای پایهٔ $b > 0$ با $b \ne 1$ و عدد $x > 0$ ، عبارت $\log_b x = y$ دقیقاً یعنی $b^y = x$ . این دو عبارت یک واقعیت‌اند که به دو شکل نوشته شده‌اند و تبدیل آنها به یکدیگر مهارت اصلی است.

دو پایه نام ویژه دارند. لگاریتم اعشاری $\log x$ پایهٔ 10 دارد و لگاریتم طبیعی $\ln x$ پایهٔ $e \approx 2.71828$ که به‌طور طبیعی در رشد، حساب دیفرانسیل و انتگرال و احتمال ظاهر می‌شود. لگاریتم صفر و عددهای منفی در عددهای حقیقی تعریف نشده است، چون هیچ توانی از یک پایهٔ مثبت برابر صفر یا عددی منفی نمی‌شود.

روش استفاده از ماشین‌حساب لگاریتم

یک حالت انتخاب کنید: «محاسبهٔ log_b(x)»، «حل bˣ = y» یا «حل log_b(x) = c».
در خانهٔ «پایهٔ b» عددی مثبت به‌جز 1 وارد کنید، یا 10 برای لگاریتم اعشاری، یا e برای لگاریتم طبیعی.
«عدد x» (در حالت محاسبه) یا سمت راست (در دو حالت معادله) را وارد کنید. کسرهایی مانند 1/8 هم پذیرفته می‌شوند.
روی «محاسبه کن» بزنید. ببینید عدد چگونه به صورت توانی از پایه نوشته شد، یا از کدام گام تغییر پایه استفاده شد.

فرمول‌ها

تعریف

\log_b x = y \iff b^y = x

قاعدهٔ حاصل‌ضرب

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

قاعدهٔ خارج‌قسمت

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

قاعدهٔ توان

\log_b(M^k) = k\log_b M

تغییر پایه

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

مثال حل‌شده: log₄(8)

مثال، $\log_4 8$ را حساب می‌کند. هیچ‌یک از این دو عدد توانی از دیگری نیست، اما هر دو توانی از یک عدد اول‌اند: $4 = 2^2$ و $8 = 2^3$ . ماشین‌حساب پرسش را به شکل $(2^2)^y = 2^3$ بازنویسی می‌کند، پس $2y = 3$ .

بنابراین پاسخ دقیق $\tfrac32$ است و در واقع $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

لگاریتم 8 در پایهٔ 4 را حساب کنید.

\log_{4}\left(8\right)

راه‌حل گام‌به‌گام

بپرسید: کدام توانِ پایه عدد را می‌دهد؟
$4^{\,y} = 8$
هر دو عدد را به صورت توان‌هایی از عامل‌های اول یکسان بنویسید
مقایسهٔ توان‌های عامل‌های اول نشان می‌دهد 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

فرمول‌های به‌کاررفته

تعریف
$\log_b x = y \iff b^y = x$
تغییر پایه
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
قانون‌ها
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 به توان 3/2 دقیقاً 8 می‌دهد.

بررسی‌ها

بررسی: 4^1.5 ≈ 8.

توضیح کامل

مقدار دقیق در برابر تغییر پایه

وقتی عدد و پایه در یک پایهٔ اول مشترک‌اند، لگاریتم عددی گویاست و می‌توان آن را دقیق پیدا کرد، مانند $\log_{27} 9 = \tfrac23$ یا $\log_2 \tfrac18 = -3$ . ماشین‌حساب هر دو را به توان‌هایی از عددهای اول تجزیه و توان‌ها را مقایسه می‌کند، پس این پاسخ‌ها دقیق بیرون می‌آیند.

بیشتر لگاریتم‌ها عددهای گنگ‌اند. $\log 50$ مقدار گویای دقیقی ندارد، پس ماشین‌حساب فرمول تغییر پایهٔ $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ را می‌نویسد و مقدار اعشاری $1.69897\ldots$ را می‌دهد. قاعدهٔ تغییر پایه درست است، چون اگر $y = \log_b x$ آنگاه $b^y = x$ ، و با گرفتن لگاریتم طبیعی از دو طرف به $y \ln b = \ln x$ می‌رسیم.

حل معادله‌های نمایی

برای حل $2^x = 10$ از دو طرف لگاریتم بگیرید. قاعدهٔ توان مجهول را از توان پایین می‌آورد: $x \ln 2 = \ln 10$ ، پس $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . برای بررسی سریع: $2^3 = 8$ و $2^4 = 16$ ، پس پاسخ باید میان 3 و 4 باشد.

معادله‌ای مانند $2^x = -4$ جواب حقیقی ندارد، چون پایهٔ مثبت به هر توان حقیقی برسد مثبت می‌ماند. ماشین‌حساب به جای دادن یک مقدار همین را اعلام می‌کند.

حل معادله‌های لگاریتمی

برای حل $\log_3 x = 4$ آن را به شکل نمایی بازنویسی کنید: $x = 3^4 = 81$ . جواب باید مثبت باشد، چون لگاریتم فقط برای ورودی‌های مثبت تعریف می‌شود؛ در معادله‌های پیچیده‌تر همیشه جواب‌های نامزد را با همین شرط بررسی کنید.

به‌کارگیری هم‌زمان قوانین لگاریتم

قاعده‌های حاصل‌ضرب، خارج‌قسمت و توان همتای قانون‌های توان‌اند، چون لگاریتم‌ها در اصل توان‌اند. با آنها می‌توانید یک لگاریتم را به بخش‌های ساده‌تر بشکنید، مانند $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ ، یا چند لگاریتم را در یک لگاریتم ادغام کنید، مانند $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . ادغام معمولاً نخستین گام است وقتی معادله بیش از یک لگاریتم دارد، چون پس از آن می‌توان تنها لگاریتم باقی‌مانده را به شکل نمایی درآورد.

اشتباه‌های رایج

نوشتن $\log(a + b) = \log a + \log b$ . قاعدهٔ حاصل‌ضرب برای $\log(ab)$ است، نه برای جمع.
تقسیم نادرست لگاریتم‌ها: $\frac{\log a}{\log b}$ نه با $\log(a - b)$ برابر است و نه با $\log\frac ab$ .
گرفتن لگاریتم صفر یا یک عدد منفی.
اشتباه گرفتن $\log$ (پایهٔ 10) و $\ln$ (پایهٔ $e$ ) روی ماشین‌حساب.
فراموش کردن اینکه برای هر پایهٔ مجاز $\log_b 1 = 0$ و $\log_b b = 1$ .

نکته‌ها

هر وقت دربارهٔ معنای یک لگاریتم مطمئن نیستید، اول آن را به شکل نمایی درآورید.
پیش از محاسبه با توان‌های نزدیک تخمین بزنید: $\log_2 10$ کمی بیشتر از 3 است.
برای یافتن پاسخ‌های دقیق از تجزیه به عامل‌های اول کمک بگیرید، مانند $\log_8 32 = \tfrac53$ .
اگر روش درسی‌تان اجازه می‌دهد، پاسخ‌ها را تا گام آخر به شکل لگاریتمی دقیق نگه دارید.

پرسش‌های متداول

تفاوت log و ln چیست؟

log معمولاً یعنی پایهٔ 10، یعنی لگاریتم اعشاری، و ln یعنی پایهٔ e، یعنی لگاریتم طبیعی. هر دو از قاعده‌های یکسانی پیروی می‌کنند و فقط در یک ضریب ثابت با هم فرق دارند.

چرا نمی‌توانم از عدد منفی لگاریتم بگیرم؟

پایهٔ مثبت به هر توان حقیقی برسد همیشه مثبت است، پس هیچ توان حقیقی‌ای صفر یا عددی منفی نمی‌دهد. به همین دلیل این لگاریتم‌ها در عددهای حقیقی تعریف نشده‌اند.

فرمول تغییر پایه چگونه کار می‌کند؟

لگاریتم x در پایهٔ b برابر ln x تقسیم بر ln b است. این فرمول به شما امکان می‌دهد لگاریتم در هر پایه‌ای را با ماشین‌حسابی که فقط دکمهٔ ln یا log دارد حساب کنید.

لگاریتم چه وقت عددی صحیح یا کسری است؟

وقتی عدد توانی گویا از پایه باشد. مثلاً لگاریتم 8 در پایهٔ 4 برابر 3/2 است، چون 4 به توان 3/2 برابر 8 است. در غیر این صورت لگاریتم عددی گنگ است.

معادله‌ای را که متغیرش در توان است چگونه حل کنم؟

از دو طرف لگاریتم بگیرید، با قاعدهٔ توان، توان را پایین بیاورید و سپس تقسیم کنید. اگر 2 به توان x برابر 10 باشد، x برابر ln 10 تقسیم بر ln 2 است.

چرا پایه نمی‌تواند 1 باشد؟

هر توانی از عدد 1 برابر 1 است، پس لگاریتم در پایهٔ 1 میان عددها تمایزی نمی‌گذارد و تابع نخواهد بود.

لگاریتم‌ها کجا به کار می‌روند؟

برای اندازه‌گیری کمیت‌هایی که چندین مرتبهٔ بزرگی را در بر می‌گیرند، مانند بزرگی زمین‌لرزه، شدت صوت بر حسب دسی‌بل و اسیدی بودن بر حسب pH، و نیز برای حل مسئله‌های رشد و واپاشی.

لگاریتم خود را حساب کنید

پایه و عدد را در بالا وارد کنید تا پاسخ دقیق یا مقدار تغییر پایه را با همهٔ گام‌ها ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید