ماشین‌حساب دامنه و برد: گام‌ها با نماد بازه‌ای

Q: برد تابع را چطور پیدا کنم؟

مشخص کنید تابع واقعاً به کدام مقدارهای خروجی میرسد، با کمک رأس، مجانبها، رفتار صعودی و نزولی و رفتار در دو سر هر تکه از دامنه.

Q: دامنهٔ چندجملهای چیست؟

همهٔ عددهای حقیقی که به صورت (−∞, ∞) نوشته میشود، چون چندجملهایها تقسیم بر x، رادیکال یا لگاریتم ندارند.

Q: آیا ماشینحساب تابعهای مثلثاتی را پوشش میدهد؟

بله، در حالتهای پایه. درمییابد که برد sin x برابر [−1, 1] است و tan x مقدار π/2 بهعلاوهٔ مضربهای π را کنار میگذارد، و وقتی برد حساب نشود این را ذکر میکند.

دربارهٔ ماشین‌حساب دامنه و برد

پیش از آنکه تابعی را رسم کنید، وارونش را پیدا کنید یا معادله‌ای شامل آن را حل کنید، باید بدانید چه ورودی‌هایی را می‌پذیرد و چه خروجی‌هایی می‌تواند تولید کند. این دو مجموعه دامنه و برد هستند. پیدا کردن دامنه بیشتر به شناسایی عمل‌های ممنوع برمی‌گردد؛ پیدا کردن برد سخت‌تر است، چون می‌پرسد منحنی واقعاً به چه ارتفاع‌هایی می‌رسد.

این ماشین‌حساب هر دو را برای چندجمله‌ای‌ها، تابع‌های گویا، رادیکال‌ها، لگاریتم‌ها، تابع‌های نمایی، قدرمطلق‌ها و تابع‌های مثلثاتی پایه پیدا می‌کند. هر محدودیت را ذکر و حل می‌کند، سپس تابع را روی هر تکه از دامنه‌اش بررسی می‌کند تا برد را بسازد. پاسخ‌ها با نماد بازه‌ای و هر جا ممکن باشد با نقطه‌های انتهایی دقیق داده می‌شوند.

دامنه و برد چیستند؟

دامنهٔ تابع مجموعهٔ همهٔ ورودی‌های $x$ است که فرمول به ازای آن‌ها عددی حقیقی تولید می‌کند. برد مجموعهٔ همهٔ خروجی‌های $f(x)$ است که وقتی $x$ کل دامنه را می‌پیماید به دست می‌آیند. روی نمودار، دامنه سایهٔ منحنی روی محور $x$ و برد سایهٔ آن روی محور $y$ است.

سه عمل فرمول‌های حقیقی را محدود می‌کنند: تقسیم، که صفر بودن مخرج را ممنوع می‌کند؛ ریشه‌های زوج، که زیر رادیکال نامنفی لازم دارند؛ و لگاریتم‌ها، که ورودی مثبت لازم دارند. تابعی که بدون این عمل‌ها ساخته شده، مانند هر چندجمله‌ای، دامنه‌اش همهٔ عددهای حقیقی است.

چگونه از ماشین‌حساب دامنه و برد استفاده کنیم

تابع را بر حسب $x$ بنویسید، مثلاً (x + 1)/(x - 2) یا sqrt(x - 3) یا log(x + 2).
دکمهٔ «دامنه و برد را پیدا کن» را بزنید.
فهرست محدودیت‌ها و نحوهٔ حل هر کدام را بخوانید.
گام‌های برد را دنبال کنید که تابع را روی هر بازه از دامنه بررسی می‌کنند.
دامنه و برد را با نماد بازه‌ای یادداشت کنید.

فرمول‌ها

مخرج

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

ریشهٔ زوج

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

لگاریتم

\ln u(x):\; u(x) > 0

رأس سهمی

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

مثال حل‌شده: (x + 1)/(x − 2)

مثال، تابع $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ را تحلیل می‌کند. تنها محدودیت این است که مخرج نمی‌تواند صفر باشد، پس $x = 2$ از دامنه حذف می‌شود.

برای پیدا کردن برد، موتور هر طرف این شکاف را جداگانه بررسی می‌کند. در هر دو تکه، تابع به مجانب افقی $y = 1$ نزدیک می‌شود اما هرگز با آن برابر نمی‌شود، پس 1 تنها مقداری است که در برد نیست.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

هر عدد حقیقی x را که f(x) = (x + 1) / (x - 2) در آن تعریف شده است (دامنه) و هر مقداری را که می‌گیرد (برد) پیدا کنید.

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

راه‌حل گام‌به‌گام

تابع را بنویسید
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
محدودیت‌ها را فهرست کنید
مخرج (x - 2) نمی‌تواند 0 باشد.
(x - 2) ≠ 0 را حل کنید
علامت عبارت فقط در 2 می‌تواند عوض شود. آزمودن یک مقدار در هر بازه مجموعهٔ جواب (-∞, 2) ∪ (2, ∞) را می‌دهد.
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
برد روی (-∞, 2)
وقتی x → -∞, f → 1؛ وقتی x → 2⁻, f → -∞. درون این بازه نقطهٔ بازگشتی نیست، پس f در آن یکنوا یا ثابت است. تابع روی این بازه پیوسته است، پس هر مقداری میان کمترین (-∞، به دست نمی‌آید) و بیشترین (1، به دست نمی‌آید) را می‌گیرد.
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
برد روی (2, ∞)
وقتی x → 2⁺, f → ∞؛ وقتی x → ∞, f → 1. درون این بازه نقطهٔ بازگشتی نیست، پس f در آن یکنوا یا ثابت است. تابع روی این بازه پیوسته است، پس هر مقداری میان کمترین (1، به دست نمی‌آید) و بیشترین (∞، به دست نمی‌آید) را می‌گیرد.
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
تکه‌ها را کنار هم بگذارید
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

فرمول‌های به‌کاررفته

محدودیت‌ها
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

دامنه با حل هر محدودیت در فرمول و گرفتن اشتراک مجموعه‌های جواب پیدا می‌شود. برد از پیوستگی نتیجه می‌شود: در هر بازه از دامنه، تابع همهٔ مقدارهای میان مقدارهای اکسترمم خود و حدهایش در دو سر بازه را می‌پیماید.

بررسی‌ها

دامنه در حدود 4,000 نقطهٔ نمونه بررسی شد: f دقیقاً همان جایی حقیقی و متناهی است که دامنه می‌گوید ✓
هر مقدار نمونه‌گیری‌شدهٔ f درون برد محاسبه‌شده است ✓

توضیح کامل

پیدا کردن دامنه

از همهٔ عددهای حقیقی شروع کنید و ممنوع‌ها را حذف کنید. هر مخرج را مخالف صفر، هر عبارت زیر ریشهٔ دوم را بزرگ‌تر یا مساوی صفر و هر ورودی لگاریتم را بزرگ‌تر از صفر قرار دهید، سپس اشتراک نتیجه‌ها را بگیرید. در $\sqrt{4 - x^2}$ شرط $4 - x^2 \geq 0$ بازهٔ $[-2, 2]$ را می‌دهد. در $\frac{1}{x^2 - 4}$ دو نقطه حذف می‌شوند و دامنه به سه بازه تقسیم می‌شود.

اول ساده نکنید. عبارت $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ به $x + 1$ ساده می‌شود، اما $x = 1$ همچنان از تابع اصلی کنار گذاشته شده است و ماشین‌حساب دامنه را با همان شکاف نشان می‌دهد.

پیدا کردن برد

برد به شکل منحنی بستگی دارد. سهمی مقدار اکسترمم خود را در رأس دارد: در $x^2 - 4x + 1$ رأس در $x = 2$ با مقدار $-3$ است، پس برد $[-3, \infty)$ است. ریشهٔ دوم از صفر شروع می‌کند و افزایش می‌یابد، پس برد $\sqrt{x - 3}$ برابر $[0, \infty)$ است. لگاریتم هر مقدار حقیقی را می‌گیرد و $e^x$ هر مقدار مثبت را.

در تابع‌های گویا ماشین‌حساب تکه‌به‌تکه کار می‌کند و تعیین می‌کند تابع کجا صعودی یا نزولی است و در دو سر هر بازه به چه چیزی نزدیک می‌شود. به این ترتیب درمی‌یابد که برد $\frac{1}{x^2}$ برابر $(0, \infty)$ است و $\frac{x}{x^2 + 1}$ میان $-\frac12$ و $\frac12$ می‌ماند. وقتی برد را نمی‌توان با اطمینان تعیین کرد، مانند $\tan x$ ، ماشین‌حساب به جای حدس زدن اعلام می‌کند که برد محاسبه نشده است.

خواندن نماد بازه‌ای

کروشه یعنی نقطهٔ انتهایی شامل است و پرانتز یعنی کنار گذاشته شده است؛ بی‌نهایت همیشه پرانتز می‌گیرد. نماد $\cup$ تکه‌های جدا را به هم می‌پیوندد، پس $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ یعنی هر عدد حقیقی به جز 2. نوشتن نتیجه‌ها به این شکل مقایسه‌شان با نمودار را آسان می‌کند.

اشتباه‌های رایج

ساده کردن تابع گویا پیش از پیدا کردن دامنه‌اش و از دست دادن یک حفره در نمودار.
به کار بردن $> 0$ برای ریشهٔ دوم (صفر مجاز است) یا $\geq 0$ برای لگاریتم (صفر مجاز نیست).
فرض اینکه برد همهٔ عددهای حقیقی است، چون دامنه این‌طور است.
فراموش کردن اینکه مجانب افقی ممکن است مقداری را از برد کنار بگذارد.
گذاشتن کروشه کنار بی‌نهایت.

نکته‌ها

پیش از حل هر چیزی، هر مخرج، هر زیر رادیکال و هر ورودی لگاریتم را یادداشت کنید.
تابع را با ماشین‌حساب نمودار رسم کنید تا برد را با چشم تأیید کنید.
در تابع درجه دوم رأس را پیدا کنید؛ برد از مقدار $y$ آن شروع یا به آن ختم می‌شود.
به یاد داشته باشید که برد $f$ دامنهٔ وارون آن می‌شود.
نقطهٔ انتهایی را با جایگذاری در تابع بررسی کنید.

پرسش‌های متداول

دامنهٔ تابع را چطور پیدا کنم؟

از همهٔ عددهای حقیقی شروع کنید و مقدارهایی را حذف کنید که مخرج را صفر می‌کنند، عددی منفی زیر ریشهٔ زوج می‌گذارند یا ورودی لگاریتم را نامثبت می‌کنند. آنچه می‌ماند دامنه است.

برد تابع را چطور پیدا کنم؟

مشخص کنید تابع واقعاً به کدام مقدارهای خروجی می‌رسد، با کمک رأس، مجانب‌ها، رفتار صعودی و نزولی و رفتار در دو سر هر تکه از دامنه.

دامنهٔ چندجمله‌ای چیست؟

همهٔ عددهای حقیقی که به صورت (−∞, ∞) نوشته می‌شود، چون چندجمله‌ای‌ها تقسیم بر x، رادیکال یا لگاریتم ندارند.

چرا 1 در برد (x + 1)/(x − 2) نیست؟

نمودار در y = 1 مجانب افقی دارد. حل (x + 1)/(x − 2) = 1 به 1 = −2 می‌رسد که ناممکن است، پس تابع هرگز خروجی 1 نمی‌دهد.

کروشه و پرانتز در نماد بازه‌ای یعنی چه؟

کروشه یعنی نقطهٔ انتهایی شامل است و پرانتز یعنی کنار گذاشته شده است. بی‌نهایت هرگز شامل نیست، پس همیشه پرانتز می‌گیرد.

آیا ماشین‌حساب تابع‌های مثلثاتی را پوشش می‌دهد؟

بله، در حالت‌های پایه. درمی‌یابد که برد sin x برابر [−1, 1] است و tan x مقدار π/2 به‌علاوهٔ مضرب‌های π را کنار می‌گذارد، و وقتی برد حساب نشود این را ذکر می‌کند.

log در ماشین‌حساب یعنی چه؟

log(x) لگاریتم طبیعی است، پس log(x + 2) برای x > −2 تعریف شده است و هر مقدار حقیقی را می‌گیرد.

دامنه و برد را پیدا کنید

تابعی در بالا وارد کنید تا هر دو مجموعه را با نماد بازه‌ای، همراه با توضیح هر محدودیت، بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب دامنه و برد