چگونه دامنه و برد یک تابع را پیدا کنیم

تعریف‌ها و نمادگذاری

تابع هر ورودی را از مجموعه‌ای به نام دامنه می‌گیرد و دقیقاً یک خروجی به آن نسبت می‌دهد. مجموعهٔ همهٔ خروجی‌هایی که واقعاً رخ می‌دهند برد است. برای $f(x) = x^2$، هر عدد حقیقی را می‌توان به توان دو رساند، پس دامنه همهٔ عددهای حقیقی است، اما مربع‌ها هرگز منفی نیستند، پس برد $[0, \infty)$ است.

دامنه و برد معمولاً با نماد بازه‌ای نوشته می‌شوند. کروشه نقطهٔ انتهایی را شامل می‌شود و پرانتز آن را کنار می‌گذارد؛ بی‌نهایت همیشه پرانتز می‌گیرد. قطعه‌های جدا با نماد اجتماع $\cup$ به هم وصل می‌شوند، پس همهٔ عددهای حقیقی به‌جز 3 به صورت $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ نوشته می‌شود. نماد مجموعه‌سازی، مانند $\{x \mid x \neq 3\}$، همین را به زبان دیگری می‌گوید.

اگر تابعی با یک فرمول داده شده و چیز دیگری گفته نشده باشد، دامنهٔ آن دامنهٔ ضمنی یا طبیعی است: بزرگ‌ترین مجموعه از عددهای حقیقی که فرمول برای آن‌ها معنا دارد. مسئله هم ممکن است دامنه را عمداً محدود کند، مانند مسئلهٔ کلامی‌ای که در آن طول نمی‌تواند منفی باشد.

کمک می‌کند تابع را یک دستگاه تصور کنید. دامنه فهرست ورودی‌هایی است که دستگاه بدون گیر کردن می‌پذیرد و برد فهرست هر چیزی است که می‌تواند از آن بیرون بیاید. دو تابع با فرمول یکسان اما دامنه‌های متفاوت، به‌طور دقیق، دو تابع متفاوت‌اند و به همین دلیل دامنه بخشی از تعریف تابع است، نه چیزی فرعی.

یافتن دامنه: سه محدودیت

برای تابع‌هایی که در جبر و پیش‌حسابان می‌بینیم، فقط سه چیز ممکن است با یک ورودی حقیقی مشکل ایجاد کند. هر کدام را بررسی کنید و مقدارهایی را که باعث آن می‌شوند کنار بگذارید.

1. تقسیم بر صفر: مخرج نمی‌تواند برابر صفر باشد.
2. ریشهٔ زوج عدد منفی: عبارت زیر رادیکال با فرجهٔ دو، چهار و غیره باید دست‌کم صفر باشد. ریشه‌های فرد، مانند ریشهٔ سوم، هر عدد حقیقی را می‌پذیرند.
3. لگاریتم عددهای نامثبت: آرگومان لگاریتم باید اکیداً بزرگ‌تر از صفر باشد.

چندجمله‌ای‌هایی مانند $3x^4 - x + 7$ هیچ‌یک از این ویژگی‌ها را ندارند، پس دامنه‌شان همهٔ عددهای حقیقی، یعنی $(-\infty, \infty)$، است. همین برای $e^x$، $\sin x$، $\cos x$، $|x|$ و ریشه‌های سوم هم درست است.

مثال‌های دامنه

مثال 3 از قاعدهٔ تقسیم نامعادله بر عدد منفی استفاده کرد. راهنمای حل نامعادله‌ها آن را همراه با جدول تعیین علامت برای شرط‌هایی مانند $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ توضیح می‌دهد.

وقتی تابعی چند ویژگی را با هم دارد، هر شرط را جداگانه فهرست کنید، هر کدام را حل کنید و سپس اشتراک نتیجه‌ها را بگیرید. بیشتر خطاها از فراموش کردن یک شرط می‌آیند، نه از حل کردن آن‌ها.

یافتن برد به روش جبری

یافتن برد اغلب دشوارتر است، چون می‌پرسد کدام خروجی‌ها ممکن‌اند، نه کدام ورودی‌ها مجازند. سه روش بیشتر حالت‌ها را پوشش می‌دهد.

نخست، از بردهای شناخته‌شدهٔ تابع‌های پایه استفاده کنید. ریشهٔ دوم و قدر مطلق هرگز منفی نیستند، $e^x$ همیشه مثبت است و $\sin x$ و $\cos x$ میان $-1$ و $1$ می‌مانند. سپس تبدیل‌ها این بردها را جابه‌جا یا کشیده می‌کنند. برای $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$، رادیکال $[0, \infty)$ را می‌دهد، دو برابر کردن آن را $[0, \infty)$ نگه می‌دارد و افزودن 1 به $[1, \infty)$ می‌رسد.

دوم، برای تابع‌های درجهٔ دوم، مربع را کامل کنید تا رأس را بیابید. چون مربع هرگز منفی نیست، ارتفاع رأس کمینه یا بیشینه است.

سوم، $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل کنید و ببینید کدام مقدارهای $y$ یک $x$ معتبر در دامنه می‌دهند.

همین روش برد $\frac{1}{x^2 + 1}$ را می‌دهد. مخرج دست‌کم 1 است، پس خروجی حداکثر 1 است و همیشه مثبت است اما می‌تواند هر قدر بخواهید به 0 نزدیک شود. برد $(0, 1]$ است.

خواندن دامنه و برد از روی نمودار

روی نمودار، دامنه سایه‌ای است که منحنی روی محور x می‌اندازد و برد سایهٔ آن روی محور y است. برای یافتن دامنه از چپ به راست و برای یافتن برد از پایین به بالا نگاه کنید. نقطه‌های توپر نقطه‌های انتهایی شامل‌شده را نشان می‌دهند، نقطه‌های توخالی نقطه‌های کنارگذاشته را، و پیکان‌ها یعنی نمودار بی‌پایان ادامه دارد.

مجانب‌های قائم مقدارهای غایب از دامنه را نشان می‌دهند و مجانب‌های افقی اغلب مقدارهای غایب از برد را، مانند مثال 6. اما مراقب باشید: نمودار می‌تواند مجانب افقی را قطع کند، پس مجانب به‌تنهایی ثابت نمی‌کند که مقداری کنار گذاشته شده است. ماشین‌حساب نمودار راه خوبی برای دیدن این ویژگی‌ها پیش از تأیید جبری آن‌هاست.

تابع‌های چندضابطه‌ای و موقعیت‌های واقعی

برای تابع چندضابطه‌ای، دامنه اجتماع بازه‌هایی است که هر ضابطه روی آن تعریف شده و برد اجتماع خروجی‌های هر ضابطه است. فرض کنید برای $x < 0$، $f(x) = x + 2$ و برای $x \ge 0$، $f(x) = 3$. دامنه همهٔ عددهای حقیقی است. ضابطهٔ نخست همهٔ مقدارهای کمتر از 2 را تولید می‌کند و دومی فقط 3 را، پس برد $(-\infty, 2) \cup \{3\}$ است.

در کاربردها، موقعیت دامنه را بیشتر محدود می‌کند. مساحت مربع، $A = s^2$، به عنوان فرمول هر $s$ حقیقی را می‌پذیرد، اما طول ضلع باید مثبت باشد، پس دامنهٔ عملی $s > 0$ و برد $A > 0$ است. ارتفاع توپی که پرتاب شده فقط از لحظهٔ پرتاب تا فرود معنا دارد، پس دامنه‌اش یک بازهٔ زمانی بسته است، هرچند فرمول درجهٔ دوم ارتفاع همه‌جا تعریف شده است.

دامنه و برد در مباحث بعدی

این ایده‌ها مدام بازمی‌گردند. تابع روی دامنه‌ای که در آن یک‌به‌یک است وارون دارد و وارون جای دامنه و برد را عوض می‌کند، همان‌طور که در تابع وارون توضیح داده شده است. ترکیب $f(g(x))$ نیاز دارد که هر خروجی $g$ در دامنهٔ $f$ باشد؛ ترکیب تابع‌ها را ببینید. لگاریتم و تابع نمایی، که در لگاریتم‌ها پوشش داده شده‌اند، جفتی کلاسیک با دامنه و برد جابه‌جاشده‌اند.

اشتباه‌های رایج

• ساده کردن پیش از یافتن دامنه. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ به $x + 3$ ساده می‌شود، اما $x = 3$ همچنان از تابع اصلی کنار گذاشته می‌شود.
• استفاده از $>$ به جای $\ge$ برای رادیکال، که به‌غلط نقطهٔ انتهایی را که در آن رادیکال صفر است حذف می‌کند.
• استفاده از $\ge$ به جای $>$ برای لگاریتم، که به‌غلط آرگومان صفر را شامل می‌کند.
• فرض اینکه برد همهٔ عددهای حقیقی است چون دامنه چنین است.
• نوشتن کروشه کنار بی‌نهایت.

برای وارسی پاسخ‌هایتان، ماشین‌حساب دامنه و برد را امتحان کنید که هر محدودیتی را که یافته و بازه‌های حاصل را فهرست می‌کند.

پرسش‌های متداول