حل نامعادله‌ها و نوشتن پاسخ با نماد بازه‌ای

نمادهای نامساوی و شکل پاسخ

نامعادله دو عبارت را با یکی از چهار نماد مقایسه می‌کند: $<$ (کوچک‌تر از)، $>$ (بزرگ‌تر از)، $\le$ (کوچک‌تر یا مساوی) و $\ge$ (بزرگ‌تر یا مساوی). جواب آن معمولاً مجموعه‌ای نامتناهی از عددهاست، پس پاسخ به صورت یک نامساوی، نمایشی روی محور عددها یا یک بازه نوشته می‌شود.

• $x < 5$ همان بازهٔ $(-\infty, 5)$ است؛ پرانتز گرد یعنی 5 شامل نمی‌شود و روی محور عددها با دایرهٔ توخالی نشان داده می‌شود.
• $x \le 3$ همان $(-\infty, 3]$ است؛ کروشه یعنی 3 شامل می‌شود و با دایرهٔ توپر نشان داده می‌شود.
• $-2 \le x < 4$ همان $[-2, 4)$ است.
• بی‌نهایت همیشه پرانتز گرد می‌گیرد، چون عددی نیست که بتوان آن را شامل کرد.

تنها قاعده‌ای که با معادله‌ها فرق دارد

می‌توانید هر عددی را به دو طرف بیفزایید یا از آن‌ها کم کنید و دو طرف را در عددی مثبت ضرب یا بر آن تقسیم کنید، درست مانند معادله‌ها. اما ضرب یا تقسیم دو طرف در عددی منفی جهت نامساوی را وارونه می‌کند.

برای دیدن دلیلش، از گزارهٔ درست $-2 < 3$ آغاز کنید و دو طرف را در $-1$ ضرب کنید. به $2$ و $-3$ می‌رسید و $2 > -3$. ضرب در عددی منفی محور عددها را قرینه می‌کند و این جای طرف بزرگ‌تر را عوض می‌کند. همین در جابه‌جا کردن دو طرف نامساوی هم صدق می‌کند: $5 > x$ همان معنای $x < 5$ را دارد.

نامعادله‌های خطی

آزمودن یک مقدار در هر سوی مرز ده ثانیه وقت می‌گیرد و هر بار وارونه کردن فراموش‌شدهٔ علامت را آشکار می‌کند.

نامعادله‌های مرکب: «و»، «یا»

نامساوی دوگانه‌ای مانند $-3 \le 2x + 1 < 9$ یعنی هر دو شرط برقرارند. آن را با انجام یک عمل یکسان روی هر سه بخش به‌طور هم‌زمان حل کنید.

پاسخ $[-2, 4)$ است، یعنی اشتراک دو شرط. گزارهٔ «یا»، مانند $x < -1$ یا $x \ge 3$، اجتماع دو بخش است و به صورت $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ نوشته می‌شود.

نامعادله‌های قدر مطلقی

قدر مطلق $|A|$ فاصلهٔ $A$ از صفر است. فاصلهٔ کمتر از $k$ یعنی نزدیک بودن به صفر که یک بازه می‌دهد؛ فاصلهٔ بیشتر از $k$ یعنی دور بودن که دو بخش می‌دهد. برای $k > 0$:

اگر $k$ منفی باشد، $|A| < k$ جواب ندارد و $|A| > k$ برای هر عدد حقیقی درست است، چون قدر مطلق هرگز منفی نیست.

نامعادله‌های درجهٔ دوم با جدول تعیین علامت

سعی نکنید از دو طرف نامساوی جذر بگیرید. به جای آن همه چیز را به یک طرف ببرید، جاهایی را که عبارت برابر صفر می‌شود بیابید و علامت را میان آن نقطه‌ها بیازمایید.

از دید نموداری، $y = x^2 - x - 6$ سهمی‌ای رو به بالاست که بیرون از ریشه‌هایش بالای محور x قرار دارد و این با جدول تعیین علامت می‌خواند. اگر تجزیهٔ ریشه‌ها آسان نباشد، ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم آن‌ها را می‌یابد.

نامعادله‌های گویا

در نامعادله‌ای که متغیر در مخرج دارد، هرگز دو طرف را در آن مخرج ضرب نکنید: نمی‌دانید مثبت است یا منفی. به جای آن از جدول تعیین علامت با صفرهای صورت و مخرج استفاده کنید.

نامعادله‌های دومتغیره

نامعادله‌ای مانند $y > 2x + 1$ ناحیه‌ای از صفحه را توصیف می‌کند. خط مرزی $y = 2x + 1$ را رسم کنید، برای نامساوی اکید خط‌چین و برای $\le$ یا $\ge$ پیوسته، سپس طرفی را که در آن صدق می‌کند هاشور بزنید. آزمودن مبدأ سریع‌ترین راه است: $0 > 1$ نادرست است، پس طرفی را هاشور بزنید که $(0, 0)$ را دربر ندارد. ماشین‌حساب نمودار چنین نامعادله‌هایی را مستقیم هاشور می‌زند.

اشتباه‌های رایج

• فراموش کردن وارونه کردن علامت پس از ضرب یا تقسیم در عددی منفی.
• ضرب در عبارتی متغیردار که علامتش معلوم نیست.
• نوشتن $|x - 4| < 3$ فقط به صورت $x - 4 < 3$ که کران پایین را از دست می‌دهد.
• گذاشتن کروشه کنار بی‌نهایت، یا کمانک نادرست در یک نقطهٔ انتهایی.
• شامل کردن مقداری که مخرج را صفر می‌کند.

ماشین‌حساب نامعادله هر گام و نماد بازه‌ای را نشان می‌دهد. برای حرکت‌های حل معادله که در سراسر این راهنما به کار رفته‌اند، چگونه معادله‌های خطی را حل کنیم را ببینید.

یک مسئلهٔ کلامی با نامعادله

نامعادله‌ها هر جا که موقعیتی سقف، کمینه یا بودجه داشته باشد ظاهر می‌شوند. عبارت‌هایی مانند «دست‌کم»، «نه بیشتر از»، «حداکثر» و «فراتر می‌رود» نشان می‌دهند کدام نماد را به کار ببرید: «دست‌کم» یعنی $\ge$، «حداکثر» و «نه بیشتر از» یعنی $\le$ و «فراتر می‌رود» یا «بیشتر از» یعنی $>$.

زمینهٔ مسئله محدودیتی افزود که جبر به‌تنهایی نمی‌داد. در مسئله‌های واقعی رایج است که به $t \ge 0$ یا شرط صحیح بودن نیاز باشد، پس پیش از نوشتن بازهٔ نهایی همیشه بپرسید چه مقدارهایی معنا دارند.

وارسی پاسخی که بازه است

پاسخ نامعادله سه بخش دارد که هر یک ممکن است اشتباه شود: مقدارهای مرزی، شامل بودن یا نبودن هر مرز و اینکه کدام سوی مرز نگه داشته می‌شود. آن‌ها را به همین ترتیب وارسی کنید. هر مقدار مرزی را در نامعادلهٔ اصلی جای‌گذاری کنید تا ببینید تساوی می‌دهد یا نه؛ این نشان می‌دهد نقطهٔ انتهایی به پاسخ تعلق دارد یا نه. سپس یک مقدار درون هر بازهٔ پاسخ و یک مقدار بیرون از آن را بیازمایید.

در مثال گویا، $x = 1$ می‌دهد $\frac{0}{3} = 0$ و $0 \le 0$ درست است، پس 1 شامل می‌شود. در $x = -2$ عبارت تعریف‌نشده است، پس $-2$ کنار گذاشته می‌شود، هرچند نامساوی تساوی را مجاز می‌داند. این دو وارسی کمانک‌های $(-2, 1]$ را تأیید می‌کنند.

پرسش‌های متداول