ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم

دربارهٔ ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم

معادلهٔ درجهٔ دوم به شکل $ax^2 + bx + c = 0$ با $a \neq 0$ است. نمودار آن یک سهمی است و جواب‌هایش نقطه‌های برخورد سهمی با محور x هستند.

دلتا، $\Delta = b^2 - 4ac$، به شما می‌گوید چه نوع ریشه‌هایی انتظار داشته باشید: اگر مثبت باشد دو ریشهٔ حقیقی، اگر صفر باشد یک ریشهٔ تکراری، و اگر منفی باشد دو ریشهٔ مختلط مزدوج. ماشین‌حساب ریشه‌های گنگ را به شکل دقیقشان نگه می‌دارد، پس $2x^2 + 4x - 3 = 0$ نتیجهٔ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ را می‌دهد.

معادلهٔ درجهٔ دوم چیست؟

معادلهٔ درجهٔ دوم یک معادلهٔ چندجمله‌ای از درجهٔ دو است: بالاترین توان مجهول در آن $x^2$ است. شکل استاندارد آن $ax^2 + bx + c = 0$ است که در آن $a$، $b$ و $c$ عدد هستند و $a$ صفر نیست. ضریب $a$ پهنای سهمی و رو به بالا یا پایین بودن دهانهٔ آن را تعیین می‌کند، $b$ آن را به پهلو جابه‌جا می‌کند و $c$ جایی است که سهمی محور y را قطع می‌کند.

چون نمودار $y = ax^2 + bx + c$ یک سهمی است، ممکن است محور x را دو بار قطع کند، یک بار در رأسش بر آن مماس شود یا هرگز به آن نرسد. این سه حالت با دو جواب حقیقی، یک جواب تکراری و نبودِ جواب حقیقی متناظرند، و دلتا پیش از حساب کردن هر ریشه‌ای تعیین می‌کند کدام حالت برقرار است.

چگونه از ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم استفاده کنیم

1. معادلهٔ خود را طوری بازنویسی کنید که یک طرف آن 0 باشد.
2. ضریب‌های a، b و c را وارد کنید. کسرها و عددهای اعشاری پذیرفته می‌شوند.
3. دکمهٔ «حل کن» را بزنید تا دلتا، دو ریشه، شکل تجزیه‌شده و رأس را ببینید.

فرمول‌ها

مثال حل‌شده: x² − 3x − 10 = 0

مثال حل‌شده معادلهٔ $x^2 - 3x - 10 = 0$ را حل می‌کند، پس $a = 1$، $b = -3$ و $c = -10$. دلتا برابر $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ است که مربع کامل و مثبت است، پس دو ریشهٔ گویا وجود دارد. فرمول $\frac{3 \pm 7}{2}$ را می‌دهد، یعنی $x = -2$ و $x = 5$. ماشین‌حساب رأس را هم در $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ و شکل تجزیه‌شده را $(x + 2)(x - 5)$ پیدا می‌کند و با روابط ویت تأیید می‌کند که مجموع ریشه‌ها 3 و حاصل‌ضربشان −10 است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

توضیح کامل

پرسش‌های متداول