ماشین‌حساب نامعادله: حل نامعادله‌ها گام‌به‌گام

Q: چرا علامت نامعادله هنگام تقسیم بر عددی منفی برعکس میشود؟

ضرب در عددی منفی ترتیب عددها را روی محور اعداد برعکس میکند. چون 5 بزرگتر از 2 است ولی منفی 5 کوچکتر از منفی 2، مقایسه باید برعکس شود تا درست بماند.

Q: نامعادلهٔ درجهٔ دوم را چگونه حل کنم؟

همه چیز را به یک طرف ببرید، تجزیه کنید یا ریشهها را پیدا کنید، آنها را روی محور اعداد بگذارید، در هر بازه یک مقدار را بیازمایید و بازههایی را که علامتشان جور است نگه دارید.

Q: چرا در نامعادلههای گویا برخی نقطههای انتهایی کنار گذاشته میشوند؟

مقدارهایی که مخرج را صفر میکنند عبارت را تعریفنشده میکنند، پس هرگز نمیتوانند بخشی از جواب باشند، حتی با «کوچکتر یا مساوی» یا «بزرگتر یا مساوی».

Q: آیا ممکن است نامعادله جوابی نداشته باشد؟

بله. برای مثال x به توان دو بهعلاوهٔ 1 کوچکتر از 0 جواب حقیقی ندارد، چون x به توان دو بهعلاوهٔ 1 همیشه مثبت است. ماشینحساب مجموعهٔ تهی را نشان میدهد.

Q: آیا ممکن است نامعادله برای همهٔ عددهای حقیقی درست باشد؟

بله. برای مثال x به توان دو بزرگتر یا مساوی 0 برای هر x حقیقی برقرار است و ماشینحساب کل محور اعداد حقیقی را پاسخ میدهد.

دربارهٔ ماشین‌حساب نامعادله

معادله می‌پرسد دو عبارت کجا برابرند؛ نامعادله می‌پرسد یکی کجا از دیگری بزرگ‌تر یا کوچک‌تر است. پاسخ معمولاً یک عدد نیست بلکه گستره‌ای از عددهاست، مانند همهٔ مقدارهای $x$ میان 2 و 3. درست نوشتن این گستره، با کروشه‌ها و پرانتزها و نقطه‌های انتهایی درست، همان جایی است که بیشتر نمره‌ها از دست می‌رود.

این ماشین‌حساب نامعادله‌های خطی مانند $3x - 5 \ge 7$ ، نامعادله‌های چندجمله‌ای مانند $x^2 - 5x + 6 < 0$ ، نامعادله‌های گویا مانند $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ ، نامعادله‌های مرکب مانند $-3 < 2x + 1 \le 9$ و نامعادله‌های قدرمطلقی مانند $|x - 4| < 3$ را حل می‌کند. همیشه نقطه‌هایی را که محور اعداد را تقسیم می‌کنند نشان می‌دهد و هر بازه را می‌آزماید، پس می‌بینید چرا پاسخ همین است.

نامعادله چیست؟

نامعادله دو عبارت را با یکی از نمادهای $<$ ، $>$ ، $\le$ یا $\ge$ مقایسه می‌کند. مجموعهٔ جواب آن هر مقداری از متغیر است که مقایسه را درست کند. برای $x + 2 > 5$ مجموعهٔ جواب هر عدد بزرگ‌تر از 3 است و به صورت $(3, \infty)$ نوشته می‌شود.

نماد بازه‌ای برای نقطه‌های انتهایی کنارگذاشته از پرانتز و برای نقطه‌های انتهایی شامل‌شده از کروشه استفاده می‌کند. بی‌نهایت همیشه پرانتز می‌گیرد، چون عددی نیست که بتوان به آن رسید. بخش‌های جدا از هم با نماد اجتماع به هم می‌پیوندند، مانند $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

چگونه از ماشین‌حساب نامعادله استفاده کنیم

نامعادله را با < یا > یا <= یا >= بنویسید، مانند x^2 - 5x + 6 < 0 یا 2x + 3 >= 7.
برای نامعادله‌های مرکب، دو مقایسه را در یک سطر بنویسید، مانند -3 < 2x + 1 <= 9.
برای قدرمطلق از abs() استفاده کنید، مانند abs(x - 4) < 3.
دکمهٔ «حل کن» را بزنید. نقطه‌های بحرانی و جدول تعیین علامت را مرور کنید، سپس مجموعهٔ جواب را با نماد بازه‌ای بخوانید.

فرمول‌ها

برعکس شدن جهت نامعادله

a < b \text{ و } k < 0 \Rightarrow ka > kb

ضرب یا تقسیم بر عددی منفی جهت نامعادله را برعکس می‌کند.

قدرمطلق، کوچک‌تر از

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

قدرمطلق، بزرگ‌تر از

|u| > c \iff u < -c \ \text{یا}\ u > c

علامت حاصل‌ضرب

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

مثال حل‌شده: x² − 5x + 6 < 0

در مثال، $x^2 - 5x + 6 < 0$ به $(x - 2)(x - 3) < 0$ تجزیه می‌شود. دو نقطهٔ بحرانی 2 و 3 محور اعداد را به سه بازه تقسیم می‌کنند و موتور در هر کدام یک مقدار را می‌آزماید.

فقط بازهٔ میانی حاصل‌ضرب منفی می‌دهد و نقطه‌های انتهایی کنار گذاشته می‌شوند چون نامعادله اکید است، پس پاسخ بازهٔ باز $(2, 3)$ است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

(2, 3)

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

نامعادله را حل کنید و پاسخ را با نماد بازه بنویسید.

{x}^{2}-5x+6 < 0

راه‌حل گام‌به‌گام

همه چیز را به یک طرف ببرید و تجزیه کنید
جدول تعیین علامت به شکل f(x) در مقایسه با 0 نیاز دارد، که به صورت حاصل‌ضرب/خارج‌قسمت عامل‌ها نوشته شده باشد.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
نقطه‌های بحرانی را پیدا کنید
علامت فقط می‌تواند در 2 (صفر)، 3 (صفر) تغییر کند.
در هر بازه یک نقطه را بیازمایید (جدول تعیین علامت)
(-∞, 2): آزمون x = 1 → علامت + → شامل نمی‌شود؛ (2, 3): آزمون x = 2.5 → علامت − → شامل می‌شود؛ (3, ∞): آزمون x = 4 → علامت + → شامل نمی‌شود
دربارهٔ نقطه‌های انتهایی تصمیم بگیرید
2: شامل نمی‌شود؛ 3: شامل نمی‌شود
مجموعهٔ جواب را بنویسید
$x \in (2, 3)$

فرمول‌های به‌کاررفته

برعکس شدن علامت
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
قدرمطلق
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ یا } A > c$

نامعادله دقیقاً برای x در (2, 3) برقرار است. نقطه‌هایی که عبارت در آن‌ها تعریف نشده هرگز شامل نمی‌شوند و نقطه‌های انتهایی فقط برای ≤ یا ≥ و جایی که عبارت برابر صفر است شامل می‌شوند.

بررسی‌ها

x = 1: در نامعادله صدق نمی‌کند.
x = 2.5: در نامعادله صدق می‌کند.
x = 4: در نامعادله صدق نمی‌کند.

توضیح کامل

نامعادله‌های خطی

نامعادلهٔ خطی را درست مثل معادله حل کنید، با یک قاعدهٔ اضافه: هر بار که دو طرف را در عددی منفی ضرب یا بر آن تقسیم کردید، جهت علامت را برعکس کنید. از $-2x > 6$ به $x < -3$ می‌رسید، چون ضرب در $-\tfrac12$ ترتیب عددها را روی محور برعکس می‌کند.

دلیلش این است که قرینه گرفتن محور اعداد را مانند آینه وارونه می‌کند. اگر $5 > 2$ ، آن‌گاه $-5 < -2$ . اما جمع کردن یا کم کردن یک عدد از دو طرف هرگز جهت را تغییر نمی‌دهد.

روش جدول تعیین علامت

در نامعادله‌های چندجمله‌ای و گویا، همه چیز را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود. سپس نقطه‌های بحرانی را پیدا کنید: صفرهای صورت و در عبارت‌های گویا صفرهای مخرج را هم. چندجمله‌ای فقط در یک صفر می‌تواند علامتش را عوض کند، پس میان هر دو نقطهٔ بحرانیِ پشت‌سرهم علامتش ثابت است.

در هر بازه یک مقدار آزمون دلخواه انتخاب کنید و علامت را تعیین کنید. بازه‌هایی را نگه دارید که علامتشان با نامعادله جور است. سپس دربارهٔ هر نقطهٔ انتهایی تصمیم بگیرید: صفرهای صورت با $\le$ یا $\ge$ شامل می‌شوند، اما صفرهای مخرج همیشه کنار گذاشته می‌شوند چون عبارت در آن‌ها تعریف‌نشده است.

ریشه‌های تکراری توجه می‌خواهند. در $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ ، عامل $(x - 1)^2$ هرگز علامتش را عوض نمی‌کند، پس عبارت در دو طرف $x = 1$ علامت یکسانی دارد. جدول تعیین علامت این را خودبه‌خود در نظر می‌گیرد، اما میان‌بُرِ یک‌درمیان عوض شدن علامت‌ها این کار را نمی‌کند.

نامعادله‌های مرکب و قدرمطلقی

نامعادلهٔ مرکبی مانند $-3 < 2x + 1 \le 9$ با انجام یک عمل روی هر سه بخش با هم حل می‌شود و $-2 < x \le 4$ به دست می‌آید. نامعادلهٔ قدرمطلقی به نامعادلهٔ مرکب تبدیل می‌شود: $|x - 4| < 3$ یعنی فاصلهٔ $x$ تا 4 کمتر از 3 است، پس $1 < x < 7$ .

اشتباه‌های رایج

فراموش کردن برعکس کردن علامت پس از ضرب یا تقسیم بر عددی منفی.
ضرب دو طرف در عبارتی مانند $x - 2$ که علامتش نامعلوم است. به جای آن از جدول تعیین علامت استفاده کنید.
گنجاندن مقداری که مخرج را صفر می‌کند در مجموعهٔ جواب.
گذاشتن کروشه کنار بی‌نهایت.
نوشتن $|x| > 3$ به صورت $-3 > x > 3$ ، که هیچ عددی در آن صدق نمی‌کند؛ معنای درستش $x < -3$ یا $x > 3$ است.

نکته‌ها

پیش از تجزیه، یک طرف را صفر کنید.
هر بار محور اعداد را با نقطه‌های بحرانی رسم کنید؛ این کار جلوی بیشتر خطاهای نقطه‌های انتهایی را می‌گیرد.
یک مقدار از پاسخ خود و یک مقدار بیرون از آن را در نامعادلهٔ اصلی بررسی کنید.
علامت‌های اکید پرانتز می‌دهند؛ علامت‌های نااکید در صفرهای صورت کروشه می‌دهند.

پرسش‌های متداول

چرا علامت نامعادله هنگام تقسیم بر عددی منفی برعکس می‌شود؟

ضرب در عددی منفی ترتیب عددها را روی محور اعداد برعکس می‌کند. چون 5 بزرگ‌تر از 2 است ولی منفی 5 کوچک‌تر از منفی 2، مقایسه باید برعکس شود تا درست بماند.

نماد بازه‌ای چیست؟

روشی برای نوشتن مجموعهٔ جواب با پرانتز و کروشه است. پرانتز نقطهٔ انتهایی را کنار می‌گذارد، کروشه آن را شامل می‌کند و بخش‌ها با نماد اجتماع به هم می‌پیوندند.

نامعادلهٔ درجهٔ دوم را چگونه حل کنم؟

همه چیز را به یک طرف ببرید، تجزیه کنید یا ریشه‌ها را پیدا کنید، آن‌ها را روی محور اعداد بگذارید، در هر بازه یک مقدار را بیازمایید و بازه‌هایی را که علامتشان جور است نگه دارید.

چرا در نامعادله‌های گویا برخی نقطه‌های انتهایی کنار گذاشته می‌شوند؟

مقدارهایی که مخرج را صفر می‌کنند عبارت را تعریف‌نشده می‌کنند، پس هرگز نمی‌توانند بخشی از جواب باشند، حتی با «کوچک‌تر یا مساوی» یا «بزرگ‌تر یا مساوی».

آیا ممکن است نامعادله جوابی نداشته باشد؟

بله. برای مثال x به توان دو به‌علاوهٔ 1 کوچک‌تر از 0 جواب حقیقی ندارد، چون x به توان دو به‌علاوهٔ 1 همیشه مثبت است. ماشین‌حساب مجموعهٔ تهی را نشان می‌دهد.

آیا ممکن است نامعادله برای همهٔ عددهای حقیقی درست باشد؟

بله. برای مثال x به توان دو بزرگ‌تر یا مساوی 0 برای هر x حقیقی برقرار است و ماشین‌حساب کل محور اعداد حقیقی را پاسخ می‌دهد.

نامعادلهٔ خود را حل کنید

یک نامعادله را در بالا بنویسید تا نقطه‌های بحرانی، جدول تعیین علامت و مجموعهٔ جواب را با نماد بازه‌ای بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب نامعادله