ترکیب توابع: چگونه f(g(x)) را پیدا کنیم و به کار ببریم

ترکیب یعنی چه

با داشتن دو تابع $f$ و $g$، ترکیب $f \circ g$، که «f ترکیب g» یا «f از g» خوانده می‌شود، تابعی است که اول $g$ را اعمال می‌کند و سپس $f$ را روی نتیجه اعمال می‌کند:

ترتیب همان بخشی است که بیشتر گیج‌کننده است. تابعی که سمت راست و نزدیک‌تر به $x$ نوشته شده، اول عمل می‌کند. یک خط تولید را تصور کنید: $x$ وارد دستگاه $g$ می‌شود، محصول $g(x)$ به دستگاه $f$ می‌رود و $f(g(x))$ بیرون می‌آید. برای اینکه این کار کند، هر خروجی $g$ که به کار می‌برید باید ورودی قابل‌قبولی برای $f$ باشد.

ترکیب با ضرب فرق دارد. حاصل‌ضرب $(fg)(x)$ یعنی $f(x) \cdot g(x)$ که دو خروجی را در هم ضرب می‌کند، در حالی که $(f \circ g)(x)$ یک تابع را در دیگری جای‌گذاری می‌کند. همان نماد دایرهٔ کوچک است که این دو را از هم جدا می‌کند.

ترکیب دو فرمول

برای یافتن $f(g(x))$، فرمول $f$ را بردارید و هر $x$ در آن را با کل عبارت $g(x)$، درون پرانتز، جایگزین کنید. سپس ساده کنید.

دو ترتیب، دو تابع کاملاً متفاوت می‌دهند. ترکیب در حالت کلی جابه‌جایی نیست: $f \circ g$ و $g \circ f$ معمولاً متفاوت‌اند و هرگز نباید فرض کنید برابرند. اما ترکیب شرکت‌پذیر است، پس $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ و زنجیره‌ای از سه تابع را می‌توان از درون به بیرون حساب کرد.

هنگام جای‌گذاری همیشه دور تابع درونی پرانتز بگذارید. بدون پرانتز، $g(2x + 3)$ برای $g(x) = x^2$ به‌آسانی به $2x + 3^2$ تبدیل می‌شود که نادرست است.

محاسبهٔ ترکیب از روی عدد و جدول

اغلب فقط به یک مقدار نیاز دارید. از درون به بیرون کار کنید: اول تابع درونی را حساب کنید، سپس نتیجه را ورودی تابع بیرونی قرار دهید. لازم نیست فرمول تابع مرکب را پیدا کنید.

فرض کنید جدولی $g(1) = 4$، $g(2) = 0$، $g(3) = 2$ و $f(0) = 5$، $f(2) = -1$، $f(4) = 3$ را بدهد. آنگاه $f(g(1)) = f(4) = 3$، $f(g(2)) = f(0) = 5$ و $f(g(3)) = f(2) = -1$. اگر جدول برای $f$ در عددی که $g$ تولید کرده مقداری نداشت، آن ترکیب در آن ورودی به‌سادگی تعریف‌نشده می‌بود.

نمودارها هم همین‌طور کار می‌کنند. برای یافتن $f(g(3))$ از روی دو نمودار، $g(3)$ را از نمودار $g$ بخوانید، سپس آن مقدار را روی محور x نمودار $f$ پیدا کنید و خروجی را بخوانید.

دامنهٔ تابع مرکب

دامنهٔ $f \circ g$ دقیقاً شامل ورودی‌های $x$ است که دو شرط را برآورده کنند: $x$ در دامنهٔ $g$ باشد و $g(x)$ در دامنهٔ $f$ باشد. ساده کردن فرمول مرکب ممکن است شرط نخست را پنهان کند، پس دامنه را از روی قطعه‌های اصلی پیدا کنید.

یک مثال کوتاه نشان می‌دهد چرا این مهم است. اگر $f(x) = x^2$ و $g(x) = \sqrt{x}$، آنگاه $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$، اما فقط برای $x \ge 0$. فرمول $x$ به‌تنهایی این تصور را می‌دهد که هر عدد حقیقی مجاز است، که نادرست است. راهنمای دامنه و برد محدودیت‌های جداگانه‌ای را که اینجا به کار رفتند توضیح می‌دهد.

تجزیهٔ یک تابع

تجزیه همین فرایند را وارونه اجرا می‌کند: با داشتن تابع پیچیدهٔ $h$، توابع ساده‌تری پیدا کنید که $h = f \circ g$. دنبال یک عبارت درونی بگردید که یک عمل بیرونی روی آن انجام می‌شود.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: درونی $g(x) = 3x - 1$، بیرونی $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: درونی $g(x) = x^2 + 4$، بیرونی $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: درونی $g(x) = \sin x$، بیرونی $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: درونی $g(x) = x + 2$، بیرونی $f(u) = \frac{1}{u^2}$، یا زنجیره‌ای سه‌مرحله‌ای $u = x + 2$، $v = u^2$، $w = \frac{1}{v}$.

تجزیه یکتا نیست، اما سودمندترین تجزیه معمولاً تابع درونی ساده‌ای دارد. نوشتن بخش درونی به صورت $u$ دقیقاً همان عادتی است که برای قاعدهٔ زنجیره‌ای و برای روش تغییر متغیر در انتگرال‌گیری لازم دارید.

ترکیب در حسابان و تابع وارون

دو مبحث مهم به ترکیب وابسته‌اند. نخست، قاعدهٔ زنجیره‌ای از ترکیب مشتق می‌گیرد: مشتق $f(g(x))$ برابر $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ است. برای $(3x - 1)^5$ این می‌شود $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. راهنمای قاعده‌های مشتق این را به‌تفصیل پوشش می‌دهد.

دوم، دو تابع دقیقاً وقتی وارون یکدیگرند که ترکیبشان به هر ترتیب ورودی را برگرداند: $f(f^{-1}(x)) = x$ و $f^{-1}(f(x)) = x$ روی دامنه‌های مناسب. برای $f(x) = 2x + 3$ و $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$، به دست می‌آید $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. این روش استاندارد وارسی وارون است، همان‌طور که در تابع وارون توضیح داده شده است.

یک مثال واقعی: تخفیف و کوپن

فروشگاهی 20 درصد تخفیف می‌دهد و شما هم کوپنی برای 10 دلار تخفیف دارید. فرض کنید $d(p) = 0.8p$ تخفیف را روی قیمت $p$ اعمال کند و $c(p) = p - 10$ کوپن را. ترتیب مهم است.

• اول کوپن، بعد تخفیف: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• اول تخفیف، بعد کوپن: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• برای کالای 50 دلاری، ترتیب نخست 32 دلار و ترتیب دوم 30 دلار هزینه دارد.

اینجا اعمال درصد در ابتدا همیشه 2 دلار صرفه‌جویی می‌کند، چون کوپن با درصد کاهش نمی‌یابد. موقعیت‌هایی مانند این، که یک فرایند به فرایند دیگر خوراک می‌دهد، ترکیب‌اند و نشان می‌دهند چرا ترتیب $f$ و $g$ فقط یک نکتهٔ فنی نیست.

اشتباه‌های رایج

• اعمال توابع به ترتیب نادرست: در $f(g(x))$، اول $g$ عمل می‌کند.
• ضرب $f(x)$ در $g(x)$ به جای جای‌گذاری.
• جای‌گذاری بدون پرانتز، به‌ویژه در توان‌ها و علامت‌های منفی.
• یافتن دامنه فقط از فرمول ساده‌شده و از دست دادن مقدارهایی که تابع درونی کنار می‌گذارد.
• فرض اینکه $f \circ g = g \circ f$.

می‌توانید هر دو ترتیب و دامنه‌هایشان را با ماشین‌حساب ترکیب توابع وارسی کنید که گام جای‌گذاری را به‌صراحت نشان می‌دهد.

چرا تسلط بر ترکیب ارزشمند است

تقریباً هر تابعی که پس از جبر می‌بینید با ترکیب ساخته شده است. فرمول دمای نوشیدنی‌ای که خنک می‌شود، مکان آونگی در حال نوسان یا ارزش یک سرمایه‌گذاری معمولاً یک تابع بیرونی ساده، مانند تابع نمایی، سینوس یا توان، است که روی عبارت درونی ساده‌تری اعمال شده است. دیدن این ساختار به شما امکان می‌دهد شکل نمودار را پیش‌بینی کنید، بفهمید تابع کجا تعریف شده و روش مناسب برای مشتق و انتگرال را برگزینید.

ترکیب، تبدیل‌های نمودار را هم توضیح می‌دهد. انتقال نمودار $f$ به اندازهٔ سه واحد به راست $f(x - 3)$ را می‌دهد که همان $f$ ترکیب‌شده با تابع درونی $x - 3$ است. کشیدن عمودی آن با ضریب 2، $2f(x)$ را می‌دهد که تابع بیرونی $2u$ ترکیب‌شده با $f$ است. از این دید، تبدیلی که درون پرانتز اعمال شود ورودی را تغییر می‌دهد و افقی عمل می‌کند، در حالی که تبدیلی که بیرون اعمال شود خروجی را تغییر می‌دهد و عمودی عمل می‌کند. همین یک مشاهده توضیح می‌دهد چرا انتقال‌های افقی به نظر در جهت نادرست می‌روند.

تمرین‌ها با پاسخ

این‌ها را روی کاغذ حل کنید، سپس مقایسه کنید. هر کدام از یک ایدهٔ بخش‌های بالا استفاده می‌کند.

1. اگر $f(x) = x^2 + 1$ و $g(x) = x - 3$، مقدار $f(g(x))$ را پیدا کنید. پاسخ: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. با همین توابع، $g(f(x))$ را پیدا کنید. پاسخ: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. اگر $f(x) = \sqrt{x}$ و $g(x) = 4 - x$، دامنهٔ $f(g(x))$ را پیدا کنید. پاسخ: $4 - x \ge 0$، پس $(-\infty, 4]$.
4. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ را تجزیه کنید. پاسخ: درونی $x^2 + 1$، بیرونی $\ln u$.
5. اگر $f(x) = 3x - 2$، مقدار $f(f(2))$ را پیدا کنید. پاسخ: $f(2) = 4$ و $f(4) = 10$.

اگر پاسخ شما به تمرین نخست $x^2 - 2$ بود، توابع را به ترتیب نادرست اعمال کرده‌اید؛ آن پاسخ تمرین دوم است. جابه‌جا کردن دو ترتیب رایج‌ترین خطاست و وارسی با عددی مانند $x = 0$ آن را زود آشکار می‌کند: $f(g(0)) = f(-3) = 10$، در حالی که $g(f(0)) = g(1) = -2$.

پرسش‌های متداول