رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب ک.م.م

کوچک‌ترین عدد مثبتی را پیدا کنید که بر همهٔ مقدارهای فهرست شما بخش‌پذیر است، همراه با روش به دست آوردن آن.

دو تا ده عدد صحیح که با ویرگول یا فاصله جدا شده‌اند.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب ک.م.م

کوچک‌ترین مضرب مشترک مجموعه‌ای از عددهای صحیح، کوچک‌ترین عدد صحیح مثبتی است که مضرب همهٔ آن‌ها باشد. این عدد همان کوچک‌ترین مخرج مشترک در جمع کسرهاست و پاسخ بسیاری از مسئله‌های زمان‌بندی و برنامه‌ریزی است.

این ابزار ک.م.م را از روی تجزیه به عامل‌های اول می‌سازد و با اتحاد lcm⁡(a,b)=∣ab∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)} تأیید می‌کند.

ک.م.م چیست؟

مضرب‌های یک عدد چیزهایی هستند که از ضرب آن در 1، 2، 3 و همین‌طور به دست می‌آیند: مضرب‌های 12 عبارت‌اند از 12، 24، 36، 48 و بعدی‌ها، و مضرب‌های 18 عبارت‌اند از 18، 36، 54 و بعدی‌ها. مضرب مشترک در هر دو فهرست ظاهر می‌شود و کوچک‌ترین مضرب مشترک نخستینِ آن‌هاست که اینجا 36 است.

هر دو عدد صحیح مثبت بی‌نهایت مضرب مشترک دارند و همهٔ آن‌ها مضرب ک.م.م هستند. ک.م.م هرگز از بزرگ‌ترین عدد فهرست کوچک‌تر و از حاصل‌ضرب همهٔ آن‌ها بزرگ‌تر نیست؛ و وقتی عددها هیچ عامل اول مشترکی نداشته باشند، دقیقاً برابر حاصل‌ضرب است.

چگونه از ماشین‌حساب ک.م.م استفاده کنیم

  1. دو تا ده عدد صحیح وارد کنید که با ویرگول یا فاصله از هم جدا شده باشند.
  2. دکمهٔ «ک.م.م را پیدا کن» را بزنید.
  3. تجزیهٔ هر عدد به عامل‌های اول و بالاترین توان به‌کاررفته برای هر عامل اول را مرور کنید.

فرمول‌ها

از روی تجزیه به عامل‌های اول

lcm⁡=∏pmax⁡(e1,e2,…)\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

با استفاده از ب.م.م

lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

بیش از دو عدد

lcm⁡(a,b,c)=lcm⁡(lcm⁡(a,b),c)\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

مثال حل‌شده: 12, 18

مثال حل‌شده ک.م.م دو عدد 12 و 18 را پیدا می‌کند. تجزیهٔ آن‌ها به عامل‌های اول 12=22×312 = 2^2 \times 3 و 18=2×3218 = 2 \times 3^2 است. چون gcd⁡(12,18)=6\gcd(12, 18) = 6، اتحاد مقدار 12×186=2166=36\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36 را می‌دهد. برداشتن هر عامل اول با بزرگ‌ترین توانش، 22×32=362^2 \times 3^2 = 36، همان پاسخ را می‌دهد و گام‌های بررسی تأیید می‌کنند که 36 بدون باقی‌مانده بر 12 و بر 18 بخش‌پذیر است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

3636

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

پیدا کردن کوچک‌ترین مضرب مشترک عددها.

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. تجزیهٔ هر عدد به عامل‌های اول

    12=22×3,18=2×3212 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}

  2. برای ترکیب 12 و 18 از ب.م.م استفاده کنید

    lcm⁡(12,18)=12×18gcd⁡(12,18)=2166=36\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36

  3. با عامل‌های اول تأیید کنید

    هر عامل اولی را که ظاهر می‌شود، با بزرگ‌ترین توانش، در نظر بگیرید.

    22×32=362^{2} \times 3^{2} = 36

فرمول‌های به‌کاررفته

  • ک.م.م از روی ب.م.م

    lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

36 کوچک‌ترین عدد مثبتی است که همهٔ عددهای ورودی آن را بدون باقی‌مانده می‌شمارند.

بررسی‌ها

  • 36 ÷ 12 = 3
  • 36 ÷ 18 = 2

توضیح کامل

چرا بزرگ‌ترین توان‌ها را برمی‌داریم

مضرب 12 باید در عامل‌های اولش 222^2 و 3 را داشته باشد و مضرب 18 باید 2 و 323^2 را داشته باشد. برای اینکه عددی مضرب هر دو باشد، به 222^2 نیاز دارد تا شرط 12 را برآورده کند و به 323^2 تا شرط 18 را، و بیش از این لازم ندارد. پس برداشتن هر عامل اول با بالاترین توانش کوچک‌ترین انتخابی است که همهٔ عددها را پوشش می‌دهد، و این دقیقاً تعریف ک.م.م است.

ک.م.م در کسرها و زمان‌بندی

کوچک‌ترین مخرج مشترک دو کسر همان ک.م.م مخرج‌های آن‌هاست. برای جمع 512+718\frac{5}{12} + \frac{7}{18} هر دو کسر را با مخرج 36 بازنویسی می‌کنید که عددها را کوچک‌تر از استفاده از 12×18=21612 \times 18 = 216 نگه می‌دارد. ک.م.م به پرسش‌های زمانی هم پاسخ می‌دهد: اگر یک اتوبوس هر 8 دقیقه، دیگری هر 12 و سومی هر 15 دقیقه حرکت کند، پس از lcm⁡(8,12,15)=120\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120 دقیقه دوباره با هم حرکت می‌کنند.

اگر 0 در فهرست باشد، ماشین‌حساب طبق قرارداد 0 را برمی‌گرداند و توضیح می‌دهد که 0 مضرب هر عدد صحیحی است، چون در این حالت هیچ مضرب مشترک مثبتی وجود ندارد.

رابطهٔ ک.م.م و ب.م.م

برای هر دو عدد صحیح مثبت، حاصل‌ضرب ب.م.م در ک.م.م همیشه برابر حاصل‌ضرب خود دو عدد است. دلیلش در تجزیه به عامل‌های اول روشن است: برای هر عامل اول، ب.م.م توان کوچک‌تر و ک.م.م توان بزرگ‌تر را برمی‌دارد، پس با هم هر دو توان را دقیقاً یک بار به کار می‌برند. با 12 و 18، حاصل‌ضرب ب.م.م یعنی 6 در ک.م.م یعنی 36 برابر 216 است، یعنی 12×1812 \times 18. این اتحاد مستقیماً به سه عدد یا بیشتر تعمیم نمی‌یابد، به همین دلیل ماشین‌حساب عددها را دوتادوتا ترکیب می‌کند.

اشتباه‌های رایج

  • ضرب همهٔ عددها در هم؛ این یک مضرب مشترک می‌دهد، اما اغلب کوچک‌ترین نیست.
  • برداشتن کوچک‌ترین توان هر عامل اول؛ ک.م.م به بزرگ‌ترین توان نیاز دارد.
  • اشتباه گرفتن ک.م.م با ب.م.م: ک.م.م از بزرگ‌ترین عدد کمتر نیست.
  • فهرست کردن مضرب‌های فقط بزرگ‌ترین عدد و توقف روی اولین مضرب بدون بررسی آن با عددهای دیگر.

نکته‌ها

  • اگر یکی از عددها مضرب همهٔ عددهای دیگر باشد، همان ک.م.م است.
  • برای عددهایی که نسبت به هم اول‌اند، ک.م.م به‌سادگی حاصل‌ضرب آن‌هاست.
  • در جمع کسرها، ک.م.م مخرج‌ها را به عنوان مخرج مشترک به کار ببرید.
  • هر ک.م.م را با تقسیم آن بر هر عدد بررسی کنید؛ هر خارج‌قسمت باید عددی صحیح باشد.
  • برای دو عدد، اول ب.م.م را حساب کنید؛ تقسیم حاصل‌ضرب دو عدد بر آن اغلب سریع‌ترین راه است.
  • وقتی عددها کوچک‌اند، چند مضرب بزرگ‌ترین عدد را بنویسید و هر کدام را با عددهای دیگر بیازمایید؛ اولین مضربی که جواب بدهد ک.م.م است.

پرسش‌های متداول

ک.م.م چیست؟

کوچک‌ترین عدد صحیح مثبتی است که بر هر یک از عددها بدون باقی‌مانده بخش‌پذیر باشد. ک.م.م عددهای 4، 6 و 10 برابر 60 است.

ک.م.م چه رابطه‌ای با ب.م.م دارد؟

برای دو عدد صحیح مثبت، حاصل‌ضربشان برابر ب.م.م ضرب در ک.م.م است، پس lcm⁡(a,b)=abgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}.

چه وقت به ک.م.م نیاز دارم؟

برای جمع یا تفریق کسرهایی با مخرج‌های متفاوت، و در مسئله‌هایی که می‌پرسند رویدادهای تکراری کی دوباره هم‌زمان می‌شوند.

اگر یکی از عددها 0 باشد، ک.م.م چیست؟

صفر مضرب هر عددی است، اما ک.م.م به عنوان کوچک‌ترین مضرب مشترک مثبت تعریف می‌شود، پس طبق قرارداد lcm⁡(a,0)=0\operatorname{lcm}(a, 0) = 0.

آیا ک.م.م می‌تواند از خود عددها کوچک‌تر باشد؟

نه. ک.م.م هرگز از بزرگ‌ترین قدرمطلق فهرست کمتر نیست (مگر اینکه 0 در آن باشد).

آیا ماشین‌حساب عددهای منفی را می‌پذیرد؟

بله. علامت روی مضرب‌ها اثری ندارد، پس ک.م.م از روی قدرمطلق‌ها حساب و به صورت عددی مثبت داده می‌شود.

ک.م.م سه عدد را چگونه پیدا کنم؟

آن‌ها را دوتادوتا ترکیب کنید: lcm⁡(8,12)=24\operatorname{lcm}(8, 12) = 24، سپس lcm⁡(24,15)=120\operatorname{lcm}(24, 15) = 120. یا هر عامل اول را با بزرگ‌ترین توانش بردارید: 23×3×5=1202^3 \times 3 \times 5 = 120.

فرق ک.م.م و کوچک‌ترین مخرج مشترک چیست؟

کوچک‌ترین مخرج مشترک به‌سادگی ک.م.م است که روی مخرج‌های کسرها اعمال شده است. برای 512\frac{5}{12} و 718\frac{7}{18} کوچک‌ترین مخرج مشترک lcm⁡(12,18)=36\operatorname{lcm}(12, 18) = 36 است.

ک.م.م عددهای خود را پیدا کنید

دو تا ده عدد صحیح را در بالا وارد کنید تا تجزیهٔ آن‌ها به عامل‌های اول، توان‌های به‌کاررفته و بررسی بخش‌پذیری کامل را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب کسرریاضی عمومیماشین‌حساب درصدریاضی عمومیماشین‌حساب ب.م.مریاضی عمومیماشین‌حساب پیدا کردن xجبرحل‌کنندهٔ معادلهجبرماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دومجبر