رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب ب.م.م

ب.م.م، یعنی بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک، را با دو روش مستقل که کنار هم نشان داده می‌شوند به دست آورید.

دو تا ده عدد صحیح که با ویرگول یا فاصله جدا شده‌اند.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب ب.م.م

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک مجموعه‌ای از عددهای صحیح، بزرگ‌ترین عدد صحیح مثبتی است که هر یک از آن‌ها را بدون باقی‌مانده می‌شمارد. از آن برای ساده کردن کسرها، تجزیهٔ عبارت‌ها و تقسیم کمیت‌ها به گروه‌های مساوی استفاده می‌شود.

ماشین‌حساب هر عدد را به عامل‌های اولش تجزیه می‌کند و الگوریتم اقلیدس را هم اجرا می‌کند تا یک روش دیداری را با سریع‌ترین روش مقایسه کند.

ب.م.م چیست؟

مقسوم‌علیه یک عدد صحیح عددی است که آن را بدون باقی‌مانده می‌شمارد: مقسوم‌علیه‌های 12 عبارت‌اند از 1، 2، 3، 4، 6 و 12. مقسوم‌علیه مشترک چند عدد همهٔ آن‌ها را می‌شمارد و بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک بزرگ‌ترینِ این مقسوم‌علیه‌هاست. مقسوم‌علیه‌های 18 عبارت‌اند از 1، 2، 3، 6، 9 و 18، پس مقسوم‌علیه‌های مشترک 12 و 18 عبارت‌اند از 1، 2، 3 و 6، و ب.م.م برابر 6 است.

فهرست کردن مقسوم‌علیه‌ها برای عددهای کوچک جواب می‌دهد، اما خیلی زود کُند می‌شود. تجزیه به عامل‌های اول و الگوریتم اقلیدس هر دو ب.م.م را بدون فهرست کردن چیزی پیدا می‌کنند و برای هر تعداد مقدار کار می‌کنند: ب.م.م سه عدد برابر ب.م.م دو عدد اول با عدد سوم است.

چگونه از ماشین‌حساب ب.م.م استفاده کنیم

  1. دو تا ده عدد صحیح وارد کنید که با ویرگول یا فاصله از هم جدا شده باشند.
  2. دکمهٔ «ب.م.م را پیدا کن» را بزنید.
  3. تجزیهٔ هر عدد به عامل‌های اول، عامل‌های اول مشترک و گام‌های تقسیم در الگوریتم اقلیدس را بخوانید.

فرمول‌ها

الگوریتم اقلیدس

gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b, a mod b),gcd⁡(a,0)=a\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

از روی تجزیه به عامل‌های اول

gcd⁡=∏pmin⁡(e1,e2,…)\gcd = \prod p^{\min(e_1, e_2, \ldots)}

هر عامل اول مشترک را با کوچک‌ترین توانش بردارید.

رابطه با ک.م.م

gcd⁡(a,b)⋅lcm⁡(a,b)=∣ab∣\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|

مثال حل‌شده: 48, 180

مثال حل‌شده ب.م.م دو عدد 48 و 180 را پیدا می‌کند. تجزیه به عامل‌های اول 48=24×348 = 2^4 \times 3 و 180=22×32×5180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 را می‌دهد. الگوریتم اقلیدس 180 را بر 48 تقسیم می‌کند (باقی‌ماندهٔ 36)، سپس 48 را بر 36 (باقی‌ماندهٔ 12)، سپس 36 را بر 12 (باقی‌ماندهٔ 0)، پس ب.م.م برابر 12 است. برداشتن عامل‌های اول مشترک با کوچک‌ترین توان‌هایشان، 22×3=122^2 \times 3 = 12، این را تأیید می‌کند و گام‌های بررسی نشان می‌دهند که تقسیم 48 و 180 بر 12، عددهای 4 و 15 را می‌دهد.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

1212

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

پیدا کردن بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) عددها.

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. تجزیهٔ هر عدد به عامل‌های اول

    48=24×3,180=22×32×548 = 2^{4} \times 3,\quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

  2. الگوریتم اقلیدس برای GCF(48, 180)

    180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0

    180=3×48+3648=1×36+1236=3×12+0180 = 3 \times 48 + 36 \\ 48 = 1 \times 36 + 12 \\ 36 = 3 \times 12 + 0

  3. آخرین باقی‌ماندهٔ غیرصفر همان ب.م.م است

    gcd⁡(48,180)=12\gcd(48, 180) = 12

  4. با عامل‌های اول مشترک تأیید کنید

    عامل‌های اولی را که در همهٔ عددها مشترک‌اند، هر کدام با کوچک‌ترین توانش، در هم ضرب کنید.

    22×3=122^{2} \times 3 = 12

فرمول‌های به‌کاررفته

  • الگوریتم اقلیدس

    gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b, a mod b),gcd⁡(a,0)=a\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

12 بزرگ‌ترین عدد صحیحی است که همهٔ عددها را بدون باقی‌مانده می‌شمارد.

بررسی‌ها

  • 48 ÷ 12 = 4
  • 180 ÷ 12 = 15

توضیح کامل

چرا الگوریتم اقلیدس درست کار می‌کند

هر عددی که هم aa و هم bb را بشمارد، a−ba - b را هم می‌شمارد و در نتیجه باقی‌ماندهٔ تقسیم aa بر bb را هم می‌شمارد. پس زوج (a,b)(a, b) و زوج (b,a mod b)(b, a \bmod b) دقیقاً مقسوم‌علیه‌های مشترک یکسانی دارند. هر گام عددها را کوچک‌تر می‌کند، و وقتی باقی‌مانده به 0 برسد، عدد باقی‌مانده هم خودش و هم 0 را می‌شمارد، پس همان ب.م.م است. این روش حتی برای عددهای بسیار بزرگ به تعداد کمی تقسیم نیاز دارد و به همین دلیل در محاسبات رایانه‌ای و رمزنگاری به کار می‌رود.

ب.م.م کجا به کار می‌رود

تقسیم صورت و مخرج بر ب.م.م آن‌ها کسر را در یک گام به ساده‌ترین شکل می‌رساند: 48180=415\frac{48}{180} = \frac{4}{15}. در جبر ابتدا ب.م.م ضریب‌ها فاکتور گرفته می‌شود، مانند 12x+18=6(2x+3)12x + 18 = 6(2x + 3). در مسئله‌های کلامی به پرسش‌هایی مثل بیشترین تعداد گروه‌های مساوی که می‌توان ساخت پاسخ می‌دهد: 24 مداد، 36 پاک‌کن و 60 برچسب را می‌توان حداکثر میان 12 کیف یکسان تقسیم کرد، چون gcd⁡(24,36,60)=12\gcd(24, 36, 60) = 12.

تجزیه به عامل‌های اول در برابر الگوریتم اقلیدس

تجزیه به عامل‌های اول ساختار را آشکار می‌کند: دقیقاً می‌بینید عددها در کدام عامل‌های اول شریک‌اند و چرا پاسخ همین است، که هنگام یادگیری یا وقتی ک.م.م را هم لازم دارید مفید است. نقطه‌ضعفش این است که تجزیهٔ عددهای بزرگ کُند است. الگوریتم اقلیدس هیچ چیزی را تجزیه نمی‌کند؛ فقط تقسیم می‌کند و باقی‌مانده‌ها را نگه می‌دارد، پس حتی با عددهایی با ده‌ها رقم هم سریع می‌ماند. ماشین‌حساب هر دو روش را نشان می‌دهد تا هر کدام دیگری را تأیید کند.

اشتباه‌های رایج

  • ضرب همهٔ عامل‌های اولی که ظاهر می‌شوند به جای فقط عامل‌های مشترک.
  • استفاده از بزرگ‌ترین توان یک عامل اول مشترک؛ ب.م.م از کوچک‌ترین توان استفاده می‌کند.
  • نتیجه گرفتن اینکه ب.م.م وجود ندارد وقتی عددها نسبت به هم اول‌اند؛ در این حالت ب.م.م برابر 1 است.
  • متوقف کردن الگوریتم اقلیدس یک گام زودتر و گزارش آخرین خارج‌قسمت به جای آخرین باقی‌ماندهٔ غیرصفر.

نکته‌ها

  • اگر یکی از عددها همهٔ عددهای دیگر را بشمارد، همان ب.م.م است.
  • ب.م.م دو عدد صحیح متوالی همیشه 1 است.
  • از ب.م.م صورت و مخرج استفاده کنید تا کسر را در یک گام ساده کنید.
  • پاسخ را با تقسیم هر عدد بر آن بررسی کنید؛ خارج‌قسمت‌ها نباید عامل مشترکی جز 1 داشته باشند.
  • برای سه عدد یا بیشتر، اول ب.م.م هر دو عدد را پیدا کنید و سپس نتیجه را با عدد بعدی ترکیب کنید.

پرسش‌های متداول

ب.م.م چیست؟

بزرگ‌ترین عدد صحیح مثبتی است که هر عدد مجموعه را بدون باقی‌مانده می‌شمارد. برای 48 و 180 برابر 12 است.

آیا بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک همان بزرگ‌ترین عامل مشترک است؟

بله. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک، بزرگ‌ترین عامل مشترک و ب.م.م نام‌های مختلفی برای یک عدد هستند.

الگوریتم اقلیدس چگونه کار می‌کند؟

عدد بزرگ‌تر را بر کوچک‌تر تقسیم کنید و باقی‌مانده را نگه دارید. زوج را با (کوچک‌تر، باقی‌مانده) جایگزین کنید و تکرار کنید تا باقی‌مانده 0 شود؛ آخرین مقسوم‌علیه غیرصفر همان ب.م.م است.

ب.م.م عددهایی که عامل مشترکی ندارند چیست؟

برابر 1 است. چنین عددهایی را نسبت به هم اول می‌نامند، مانند 8 و 15.

آیا می‌توانم ب.م.م عددهای منفی را پیدا کنم؟

بله. بخش‌پذیری به علامت بستگی ندارد، پس ب.م.م از روی قدرمطلق‌ها حساب می‌شود و همیشه مثبت است.

ب.م.م یک عدد و 0 چیست؟

هر عدد صحیح 0 را می‌شمارد، پس gcd⁡(a,0)=∣a∣\gcd(a, 0) = |a|. اما ب.م.م دو عدد 0 و 0 تعریف نشده است.

ب.م.م سه عدد را چگونه پیدا کنم؟

ب.م.م دو تا از آن‌ها را پیدا کنید، سپس ب.م.م آن نتیجه و عدد سوم را. برای 24، 36 و 60: gcd⁡(24,36)=12\gcd(24, 36) = 12 و gcd⁡(12,60)=12\gcd(12, 60) = 12.

ب.م.م چگونه به ساده کردن کسرها کمک می‌کند؟

صورت و مخرج را بر ب.م.م آن‌ها تقسیم کنید تا کسر مستقیماً به ساده‌ترین شکل برسد. چون gcd⁡(48,180)=12\gcd(48, 180) = 12، پس 48180=415\frac{48}{180} = \frac{4}{15}.

ب.م.م عددهای خود را پیدا کنید

دو تا ده عدد صحیح را در بالا وارد کنید تا تجزیهٔ آن‌ها به عامل‌های اول، گام‌های الگوریتم اقلیدس و بررسی پاسخ را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب کسرریاضی عمومیماشین‌حساب درصدریاضی عمومیماشین‌حساب ک.م.مریاضی عمومیماشین‌حساب پیدا کردن xجبرحل‌کنندهٔ معادلهجبرماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دومجبر