جبر

چگونه دستگاه معادله‌ها را حل کنیم: رسم نمودار، جای‌گذاری و حذف

Q: آیا جایگذاری و حذف همیشه پاسخ یکسانی میدهند؟

بله. آنها مسیرهای متفاوتی به یک مجموعهٔ جواباند. اگر با هم نخوانند، در یکی از آنها خطای حسابی هست و وارسی در معادلههای اصلی آن را پیدا میکند.

Q: دستگاه خطی چند جواب میتواند داشته باشد؟

دقیقاً یک جواب، هیچ جواب یا بینهایت جواب. دستگاه خطی هرگز نمیتواند دقیقاً دو جواب داشته باشد، چون دو خط متمایز حداکثر یک بار یکدیگر را قطع میکنند.

Q: از کجا بفهمم دستگاهی بینهایت جواب دارد؟

اگر حذف یا جایگذاری دستگاه را به گزارهای همیشه درست مانند 0 = 0 برساند، معادلهها یک خط را توصیف میکنند و هر نقطهٔ آن جواب است. اگر به گزارهای نادرست مانند 0 = 7 برسید، خطها موازیاند و جوابی وجود ندارد.

Q: آیا دستگاهی میتواند دقیقاً دو جواب داشته باشد؟

دستگاه دو معادلهٔ خطی نمیتواند: صفر، یک یا بینهایت جواب دارد. دستگاههای غیرخطی میتوانند، همانطور که مثال خط و سهمی در این راهنما با دو نقطهٔ برخوردش نشان میدهد.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

دستگاه معادله‌ها مقدارهایی را می‌خواهد که هم‌زمان در همهٔ معادله‌ها صدق کنند. جای‌گذاری و حذف هر دو برای هر دستگاه خطی کار می‌کنند؛ هنر کار انتخاب روشی است که محاسبهٔ کمتری لازم دارد.

جواب یک دستگاه یعنی چه

دستگاه معادله‌های خطی مجموعه‌ای از دو یا چند معادلهٔ خطی است که مجهول‌های یکسانی دارند. جواب، نسبت دادن مقدارهایی مانند $x = 2$ و $y = 3$ است که همهٔ معادله‌ها را هم‌زمان درست کند. وارسی تنها یک معادله کافی نیست.

با دو مجهول، هر معادله یک خط راست در صفحه است و جواب نقطه‌ای است که روی هر دو خط قرار دارد. این تصویر سه پیامد ممکن را توضیح می‌دهد:

خط‌ها یک بار یکدیگر را قطع می‌کنند: دقیقاً یک جواب.
خط‌ها موازی‌اند: بدون جواب. چنین دستگاهی ناسازگار نامیده می‌شود.
خط‌ها یک خط‌اند: بی‌نهایت جواب. معادله‌ها وابسته‌اند.

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

روش 1: رسم نمودار

هر معادله را به شکل شیب‌عرض از مبدأ $y = mx + b$ بازنویسی کنید، هر دو خط را رسم کنید و نقطهٔ برخورد را بخوانید. رسم نمودار بهترین راه برای دیدن معنای یک دستگاه است و خط‌های موازی یا یکسان را بی‌درنگ نشان می‌دهد. اما دقیق نیست: خواندن نقطهٔ برخوردی در $x = \frac{7}{3}$ از روی یک طرح دستی دشوار است. از آن برای تخمین استفاده کنید و سپس به‌صورت جبری تأیید کنید. می‌توانید هر دو خط را با هم در ماشین‌حساب نمودار رسم کنید.

روش 2: جای‌گذاری

یک معادله را بر حسب یک متغیر حل کنید، آن عبارت را در معادلهٔ دیگر جای‌گذاری کنید و معادلهٔ یک‌متغیرهٔ حاصل را حل کنید. وقتی ضریب یک متغیر از قبل 1 یا $-1$ است، جای‌گذاری انتخاب طبیعی است.

مثال: $y = 2x - 1$ و $3x + y = 9$

معادلهٔ نخست از قبل $y$ را می‌دهد. آن را در معادلهٔ دوم جای‌گذاری کنید: $3x + (2x - 1) = 9$ .
ساده کنید: $5x - 1 = 9$ ، پس $5x = 10$ و $x = 2$ .
در $y = 2x - 1$ جای‌گذاری برگشتی کنید: $y = 3$ .
هر دو معادله را وارسی کنید: $3 = 2(2) - 1$ و $3(2) + 3 = 9$ . جواب $(2, 3)$ است.

همیشه عبارتی را که جای‌گذاری می‌کنید درون پرانتز بگذارید. نوشتن $3x + 2x - 1$ اینجا از قضا درست درمی‌آید، اما جای‌گذاری $y = 2x - 1$ در $3x - y = 9$ نیاز به $3x - (2x - 1)$ دارد و پرانتز علامت $-1$ را عوض می‌کند.

روش 3: حذف

مضرب‌هایی از معادله‌ها را با هم جمع یا از هم کم کنید تا یکی از متغیرها حذف شود. وقتی هر دو معادله به شکل استاندارد $ax + by = c$ هستند، حذف معمولاً سریع‌ترین روش است.

مثال: $2x + 3y = 12$ و $5x - 3y = 9$

ضریب‌های $y$ از قبل قرینهٔ یکدیگرند، پس معادله‌ها را جمع کنید: $7x = 21$ که $x = 3$ را می‌دهد.
در معادلهٔ نخست جای‌گذاری کنید: $6 + 3y = 12$ ، پس $y = 2$ .
معادلهٔ دوم را وارسی کنید: $5(3) - 3(2) = 15 - 6 = 9$ . جواب $(3, 2)$ است.

وقتی هیچ ضریبی با هم نمی‌خواند، اول یک یا هر دو معادله را در عددی ضرب کنید تا بخوانند.

مثال: $3x + 2y = 16$ و $4x - 5y = -17$

برای حذف $y$ ، معادلهٔ نخست را در 5 و دومی را در 2 ضرب کنید: $15x + 10y = 80$ و $8x - 10y = -34$ .
جمع کنید: $23x = 46$ ، پس $x = 2$ .
جای‌گذاری کنید: $3(2) + 2y = 16$ ، پس $2y = 10$ و $y = 5$ .
وارسی: $4(2) - 5(5) = 8 - 25 = -17$ . جواب $(2, 5)$ است.

تشخیص بدون جواب یا بی‌نهایت جواب

اگر در حین حذف هر دو متغیر حذف شدند، به آنچه باقی مانده نگاه کنید.

$x + y = 4$ و $2x + 2y = 10$ . دو برابر کردن معادلهٔ نخست $2x + 2y = 8$ را می‌دهد؛ تفریق $0 = 2$ را باقی می‌گذارد که نادرست است. خط‌ها موازی‌اند: بدون جواب.
$x + y = 4$ و $3x + 3y = 12$ . سه برابر کردن معادلهٔ نخست دقیقاً معادلهٔ دوم را می‌دهد؛ تفریق $0 = 0$ را باقی می‌گذارد. هر نقطه روی خط $x + y = 4$ یک جواب است.

پیش از شروع می‌توانید این را از روی ضریب‌ها پیش‌بینی کنید: اگر $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ، خط‌ها شیب برابر دارند و دستگاه یا جواب ندارد یا بی‌نهایت جواب دارد.

قاعدهٔ کرامر با دترمینان‌ها

برای دستگاه دو‌در‌دو، دترمینان‌ها هر مجهول را مستقیم می‌دهند:

x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix},\ D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix},\ D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}

برای $2x + 3y = 12$ و $5x - 3y = 9$ : $D = 2(-3) - 3(5) = -21$ ، $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ و $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$ . پس $x = 3$ و $y = 2$ که با روش حذف می‌خواند. اگر $D = 0$ این قاعده به کار نمی‌آید و این دقیقاً حالت خط‌های موازی یا یکسان است. راهنمای دترمینان‌ها توضیح می‌دهد چگونه آن‌ها را برای دستگاه‌های بزرگ‌تر محاسبه کنید.

سه معادله با سه مجهول

راهبرد همان است: یک متغیر را از دو جفت متفاوت معادله حذف کنید تا دستگاهی دو‌در‌دو به دست آید، آن را حل کنید و سپس جای‌گذاری برگشتی کنید.

مثال: $x + y + z = 6$ ، $x - y + z = 2$ ، $2x + y - z = 1$

معادلهٔ دوم را از نخست کم کنید: $2y = 4$ ، پس $y = 2$ .
$y = 2$ را در معادلهٔ نخست و سوم جای‌گذاری کنید: $x + z = 4$ و $2x - z = -1$ .
این دو را جمع کنید: $3x = 3$ ، پس $x = 1$ و سپس $z = 3$ .
هر سه را وارسی کنید: $1 + 2 + 3 = 6$ ، $1 - 2 + 3 = 2$ ، $2 + 2 - 3 = 1$ . جواب $(1, 2, 3)$ است.

دستگاه‌های بزرگ‌تر معمولاً با ماتریس‌ها و تحویل سطری حل می‌شوند؛ ماشین‌حساب ماتریس همین فرایند را نشان می‌دهد.

یک مسئلهٔ کلامی

تئاتری 40 بلیت به مبلغ 375 دلار فروخت. بلیت بزرگسال 12 دلار و بلیت کودک 7 دلار است. از هر کدام چند بلیت فروخته شد؟

فرض کنید $a$ تعداد بلیت‌های بزرگسال و $c$ تعداد بلیت‌های کودک باشد. تعداد: $a + c = 40$ . مبلغ: $12a + 7c = 375$ .
$c = 40 - a$ را جای‌گذاری کنید: $12a + 7(40 - a) = 375$ ، پس $5a + 280 = 375$ .
حل کنید: $5a = 95$ ، $a = 19$ و $c = 21$ .
وارسی: $19 + 21 = 40$ و $12(19) + 7(21) = 228 + 147 = 375$ .

دو مجهول به دو دادهٔ مستقل نیاز دارند. اگر مسئله‌ای فقط یکی بدهد، نمی‌تواند پاسخ یکتایی داشته باشد.

انتخاب روش و پرهیز از خطا

وقتی متغیری از قبل تنهاست یا ضریبش 1 است، از جای‌گذاری استفاده کنید.
وقتی معادله‌ها به شکل استاندارد هستند، به‌ویژه اگر ضریب‌ها از قبل برابر یا قرینه‌اند، از حذف استفاده کنید.
برای پاسخ سریع دستگاه دو‌در‌دو، یا وقتی برای هر مجهول به فرمولی نیاز دارید، از قاعدهٔ کرامر استفاده کنید.
همیشه جفت نهایی را در هر دو معادلهٔ اصلی وارسی کنید، چون یک لغزش حسابی ممکن است نقطه‌ای بدهد که فقط در یکی از آن‌ها صدق کند.

کار خود را با ماشین‌حساب دستگاه معادله‌ها مقایسه کنید که هر گام حذف یا جای‌گذاری را نشان می‌دهد. اگر به یادآوری گام‌های حل یک معادله، که درون هر روش به کار می‌روند، نیاز دارید، چگونه معادله‌های خطی را حل کنیم را ببینید.

از کدام روش استفاده کنیم؟

همهٔ روش‌ها جواب یکسانی می‌دهند، پس روشی را برگزینید که محاسبه را ساده‌تر نگه می‌دارد. جای‌گذاری وقتی بهترین است که در یک معادله متغیری از قبل تنها باشد، مانند $y = 2x - 1$ ، یا ضریب متغیری 1 یا $-1$ باشد. وقتی هر دو معادله به شکل استاندارد $ax + by = c$ هستند و هیچ متغیری تنها نیست، حذف معمولاً سریع‌تر است، چون تا آخر کار از کسرها پرهیز می‌کند.

رسم نمودار برای دیدن وضعیت سودمند است: دو خط متقاطع، دو خط موازی یا یک خط که دو بار رسم شده است. برای پاسخ‌های دقیق کمتر قابل‌اعتماد است، مگر آنکه نقطهٔ برخورد مختصات صحیح داشته باشد. قاعدهٔ کرامر و روش‌های ماتریسی برای دستگاه‌های سه‌متغیره یا بیشتر مناسب‌اند و همان چیزی‌اند که ماشین‌حساب‌ها و نرم‌افزارهای رایانه‌ای در درون خود به کار می‌برند.

در دستگاه‌های غیرخطی، مانند یک خط و یک سهمی، جای‌گذاری تقریباً همیشه انتخاب درست است. حل $y = x^2$ و $y = x + 2$ می‌دهد $x^2 = x + 2$ ، پس $x^2 - x - 2 = 0$ و $(x - 2)(x + 1) = 0$ . نقطه‌های برخورد $(2, 4)$ و $(-1, 1)$ هستند و هر دو در هر دو معادله صدق می‌کنند.

وارسی جواب

جواب دستگاه باید در همهٔ معادله‌ها صدق کند، نه فقط در آخرین معادله‌ای که به کار بردید. مقدارهای خود را در تک‌تک معادله‌های اصلی جای‌گذاری کنید. در مثال دوم روش حذف، $(2, 5)$ می‌دهد $3(2) + 2(5) = 16$ و $4(2) - 5(5) = -17$ ، پس هر دو معادله برقرارند. مقداری که در یک معادله صدق کند و در دیگری نه، نشانهٔ یک لغزش حسابی در حین حذف است.

وارسی را روی برگهٔ خود بنویسید. کمتر از یک دقیقه وقت می‌گیرد و مصححان اغلب برای پاسخ وارسی‌شده نمره می‌دهند.

ماشین‌حساب دستگاه معادله‌ها دستگاه‌های دو و سه‌متغیره را با نمایش همهٔ گام‌ها حل می‌کند که راهی راحت برای مقایسهٔ کار خودتان است.

پرسش‌های متداول

آیا جای‌گذاری و حذف همیشه پاسخ یکسانی می‌دهند؟

بله. آن‌ها مسیرهای متفاوتی به یک مجموعهٔ جواب‌اند. اگر با هم نخوانند، در یکی از آن‌ها خطای حسابی هست و وارسی در معادله‌های اصلی آن را پیدا می‌کند.

دستگاه خطی چند جواب می‌تواند داشته باشد؟

دقیقاً یک جواب، هیچ جواب یا بی‌نهایت جواب. دستگاه خطی هرگز نمی‌تواند دقیقاً دو جواب داشته باشد، چون دو خط متمایز حداکثر یک بار یکدیگر را قطع می‌کنند.

در روش حذف، 0 = 0 یعنی چه؟

یعنی یک معادله مضربی از دیگری است، پس هر دو یک خط را توصیف می‌کنند و بی‌نهایت جواب وجود دارد. پاسخ را به صورت مجموعهٔ نقطه‌هایی بنویسید که در هر یک از دو معادله صدق می‌کنند.

آیا می‌توانم با سه متغیر از روش حذف استفاده کنم؟

بله. یک متغیر را از دو جفت متفاوت معادله حذف کنید تا مسئله به دو معادله با دو مجهول برسد، سپس طبق معمول ادامه دهید.

از کجا بفهمم دستگاهی بی‌نهایت جواب دارد؟

اگر حذف یا جای‌گذاری دستگاه را به گزاره‌ای همیشه درست مانند $0 = 0$ برساند، معادله‌ها یک خط را توصیف می‌کنند و هر نقطهٔ آن جواب است. اگر به گزاره‌ای نادرست مانند $0 = 7$ برسید، خط‌ها موازی‌اند و جوابی وجود ندارد.

آیا دستگاهی می‌تواند دقیقاً دو جواب داشته باشد؟

دستگاه دو معادلهٔ خطی نمی‌تواند: صفر، یک یا بی‌نهایت جواب دارد. دستگاه‌های غیرخطی می‌توانند، همان‌طور که مثال خط و سهمی در این راهنما با دو نقطهٔ برخوردش نشان می‌دهد.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.