ماشین‌حساب دترمینان: ماتریس‌های 2×2، 3×3 و بزرگ‌تر با گام‌ها

Q: دترمینان ماتریس 2×2 را چگونه پیدا کنم؟

درایههای قطر اصلی را در هم ضرب کنید و حاصلضرب درایههای قطر دیگر را از آن کم کنید: برای سطرهای (a, b) و (c, d)، دترمینان ad − bc است.

Q: برای ماتریسهای 4×4 و بزرگتر از چه روشی استفاده میشود؟

ابتدا با تحویل سطری به شکل بالامثلثی میرسیم و سپس درایههای قطری را در هم ضرب میکنیم. برای ماتریسهای بزرگ این روش بسیار سریعتر از بسط همسازهای است.

Q: دترمینان صفر چه معنایی دارد؟

ماتریس منفرد است: سطرهایش وابستهٔ خطیاند، وارون ندارد و دستگاه خطی متناظر جواب یکتا ندارد.

Q: آیا دترمینان میتواند منفی باشد؟

بله. دترمینان منفی یعنی تبدیل جهت را وارونه میکند. قدرمطلق آن همچنان ضریب بزرگنمایی مساحت یا حجم است.

Q: آیا میتوان دترمینان ماتریس غیرمربعی را پیدا کرد؟

نه. دترمینان فقط برای ماتریسهای مربعی تعریف میشود و ماشینحساب برای ورودی غیرمربعی اندازهٔ آن را گزارش میدهد.

Q: آیا کسرها پشتیبانی میشوند؟

بله. کسرها و اعشارها به کسرهای دقیق تبدیل میشوند، پس دترمینان دقیق است.

دربارهٔ ماشین‌حساب دترمینان

دترمینان یک ماتریس مربعی را به یک عدد فشرده می‌کند و این عدد هم‌زمان به چند پرسش مهم پاسخ می‌دهد. آیا ماتریس وارون‌پذیر است؟ آیا دستگاه خطی‌ای که نمایش می‌دهد جواب یکتا دارد؟ این تبدیل مساحت یا حجم را چند برابر می‌کند و آیا جهت را وارونه می‌کند؟ همهٔ این پاسخ‌ها را می‌توان از دترمینان خواند.

این ماشین‌حساب دترمینان ماتریس مربعی با هر اندازهٔ کاربردی را پیدا می‌کند. همان روشی را برمی‌گزیند که کتاب‌های درسی به کار می‌برند: قاعدهٔ ضرب ضربدری برای ماتریس $2 \times 2$ ، بسط در امتداد سطر اول برای ماتریس $3 \times 3$ و حذف تا شکل بالامثلثی برای ماتریس‌های $4 \times 4$ و بزرگ‌تر. کسرها و اعشارها به کسرهای دقیق تبدیل می‌شوند، پس پاسخ دقیق است.

دترمینان چیست؟

دترمینان عددی مانند $\det(A)$ است که برای هر ماتریس مربعی تعریف می‌شود و با $|A|$ هم نوشته می‌شود. برای ماتریس $2 \times 2$ برابر $ad - bc$ است. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر به‌طور بازگشتی با بسط همسازه‌ای تعریف می‌شود، یا به‌طور هم‌ارز به صورت مجموعی علامت‌دار روی همهٔ جایگشت‌های ستون‌ها.

از دید هندسی، $|\det(A)|$ ضریبی است که نگاشت خطی $A$ با آن مساحت را در دو بعد و حجم را در سه بعد بزرگ می‌کند. دترمینان منفی یعنی نگاشت مانند یک بازتاب جهت را وارونه می‌کند و دترمینان صفر یعنی نگاشت فضا را به بعدی پایین‌تر فشرده می‌کند.

روش استفاده از ماشین‌حساب دترمینان

یک ماتریس مربعی وارد کنید، با فاصله میان درایه‌ها و نقطه‌ویرگول میان سطرها، مثلاً 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
روی «دترمینان را پیدا کن» بزنید.
روش به‌کاررفته برای اندازهٔ ماتریستان و هر مقدار میانی را مرور کنید.
بررسی کنید که دترمینان صفر است یا نه تا بفهمید ماتریس وارون‌پذیر است یا نه.

فرمول‌ها

دترمینان 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

بسط همسازه‌ای (سطر اول)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

قاعدهٔ ضرب

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

ماتریس مثلثی

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

مثال حل‌شده: ماتریس 3×3

مثال، دترمینان ماتریس $3 \times 3$ با سطرهای $(2, -3, 1)$ ، $(2, 0, -1)$ و $(1, 4, 5)$ را با بسط در امتداد سطر اول پیدا می‌کند. هر درایهٔ سطر اول در کهاد $2 \times 2$ ای ضرب می‌شود که پس از حذف سطر و ستون آن درایه باقی می‌ماند، با علامت‌های به‌ترتیب $+$ ، $-$ ، $+$ .

این کهادها برابر 4، 11 و 8 هستند، پس دترمینان $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ است. مقدار ناصفر نشان می‌دهد که این ماتریس وارون‌پذیر است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\det A = 49

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

دترمینان یک ماتریس 3×3 را پیدا کن.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

راه‌حل گام‌به‌گام

ماتریس 3×3 را بخوانید
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
بسط در امتداد سطر اول (بسط همسازه‌ای)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
هر کهاد 2×2 را محاسبه کنید
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
با علامت‌های متناوب + − + ترکیب کنید
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

فرمول‌های به‌کاررفته

دترمینان 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
بسط همسازه‌ای
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

دترمینان 49 است که ناصفر است، پس ماتریس وارون‌پذیر است و سطرهایش مستقل خطی‌اند.

بررسی‌ها

به‌طور دقیق با کسرها محاسبه شد؛ تحویل سطری هم همان مقدار 49 را می‌دهد.

توضیح کامل

بسط همسازه‌ای

کهاد $M_{ij}$ دترمینان ماتریسی است که پس از حذف سطر $i$ و ستون $j$ باقی می‌ماند. همسازه علامت $(-1)^{i+j}$ را به آن می‌افزاید و این علامت‌ها الگویی شطرنجی می‌سازند که از $+$ در گوشهٔ بالا سمت چپ آغاز می‌شود. بسط در امتداد هر سطر یا ستونی نتیجهٔ یکسان می‌دهد، پس در محاسبهٔ دستی بهتر است سطر یا ستونی را برگزینید که صفر دارد.

بسط همسازه‌ای برای ماتریس $3 \times 3$ عالی است، اما حجم کار به‌سرعت رشد می‌کند: بسط $4 \times 4$ به چهار دترمینان $3 \times 3$ نیاز دارد و بسط $10 \times 10$ به میلیون‌ها جمله. به همین دلیل ماشین‌حساب برای ماتریس‌های بزرگ‌تر روش دیگری به کار می‌برد.

تحویل سطری به شکل مثلثی

افزودن مضربی از یک سطر به سطر دیگر دترمینان را تغییر نمی‌دهد، جابه‌جا کردن دو سطر علامت آن را عوض می‌کند و ضرب یک سطر در یک عدد، دترمینان را هم در همان عدد ضرب می‌کند. ماشین‌حساب با این قاعده‌ها درایه‌های زیر هر محور را حذف می‌کند تا ماتریس بالامثلثی شود و سپس درایه‌های قطری را در هم ضرب می‌کند. برای ماتریس $4 \times 4$ با سطرهای $(1, 0, 2, 0)$ ، $(0, 3, 0, 1)$ ، $(2, 0, 1, 0)$ و $(0, 1, 0, 2)$ این روش $-15$ را می‌دهد.

دترمینان صفر چه معنایی دارد

دترمینان صفر یعنی سطرها وابستهٔ خطی‌اند: دست‌کم یک سطر ترکیبی از سطرهای دیگر است. چنین ماتریسی وارون ندارد و دستگاه $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ یا جواب ندارد یا بی‌شمار جواب دارد. ماتریس با سطرهای $(1, 2, 3)$ ، $(4, 5, 6)$ و $(7, 8, 9)$ نمونهٔ کلاسیک است؛ دترمینانش 0 است، چون سطر میانی میانگین دو سطر دیگر است.

دترمینان در قاعدهٔ کرامر برای حل دستگاه‌های کوچک، در چندجمله‌ای مشخصهٔ $\det(A - \lambda I) = 0$ (که ریشه‌هایش مقدارهای ویژه‌اند) و در فرمول تغییر متغیر انتگرال‌های چندگانه هم ظاهر می‌شود.

اشتباه‌های رایج

محاسبهٔ $ad + bc$ یا $ab - cd$ به جای $ad - bc$ .
فراموش کردن علامت‌های متناوب در بسط همسازه‌ای.
حذف سطر یا ستون نادرست و استفاده از کهاد اشتباه.
نادیده گرفتن تغییر علامت پس از جابه‌جا کردن دو سطر در تحویل سطری.
تلاش برای یافتن دترمینان ماتریس غیرمربعی.

نکته‌ها

در امتداد سطر یا ستونی بسط دهید که بیشترین صفر را دارد.
ابتدا عامل مشترک یک سطر را بیرون بکشید؛ دترمینان در همان عدد ضرب می‌شود.
اگر دو سطر برابر یا متناسب‌اند، دیگر حساب نکنید؛ دترمینان 0 است.
از $\det(A^{T}) = \det(A)$ استفاده کنید تا هر وقت راحت‌تر است در امتداد یک ستون بسط دهید.
وقتی دترمینان ناصفر است و به $A^{-1}$ نیاز دارید، از ماشین‌حساب ماتریس وارون استفاده کنید.
از ماشین‌حساب مقدار ویژه استفاده کنید که بر پایهٔ $\det(A - \lambda I)$ است.

پرسش‌های متداول

دترمینان ماتریس 2×2 را چگونه پیدا کنم؟

درایه‌های قطر اصلی را در هم ضرب کنید و حاصل‌ضرب درایه‌های قطر دیگر را از آن کم کنید: برای سطرهای (a, b) و (c, d)، دترمینان ad − bc است.

دترمینان ماتریس 3×3 را چگونه پیدا کنم؟

در امتداد یک سطر بسط دهید: هر درایه را در کهاد 2×2 آن ضرب کنید، علامت‌های +، −، + را به کار ببرید و نتیجه‌ها را جمع کنید. ماشین‌حساب هر کهاد و مجموع نهایی را نشان می‌دهد.

برای ماتریس‌های 4×4 و بزرگ‌تر از چه روشی استفاده می‌شود؟

ابتدا با تحویل سطری به شکل بالامثلثی می‌رسیم و سپس درایه‌های قطری را در هم ضرب می‌کنیم. برای ماتریس‌های بزرگ این روش بسیار سریع‌تر از بسط همسازه‌ای است.

دترمینان صفر چه معنایی دارد؟

ماتریس منفرد است: سطرهایش وابستهٔ خطی‌اند، وارون ندارد و دستگاه خطی متناظر جواب یکتا ندارد.

آیا دترمینان می‌تواند منفی باشد؟

بله. دترمینان منفی یعنی تبدیل جهت را وارونه می‌کند. قدرمطلق آن همچنان ضریب بزرگ‌نمایی مساحت یا حجم است.

آیا می‌توان دترمینان ماتریس غیرمربعی را پیدا کرد؟

نه. دترمینان فقط برای ماتریس‌های مربعی تعریف می‌شود و ماشین‌حساب برای ورودی غیرمربعی اندازهٔ آن را گزارش می‌دهد.

آیا کسرها پشتیبانی می‌شوند؟

بله. کسرها و اعشارها به کسرهای دقیق تبدیل می‌شوند، پس دترمینان دقیق است.

دترمینان خود را پیدا کنید

یک ماتریس مربعی را در بالا وارد کنید تا دترمینان و هر گام از روش به‌کاررفته را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب دترمینان