رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب ضرب خارجی

دو بردار سه‌بعدی وارد کنید تا ضرب خارجی آنها را با روش دترمینان بگیرید، اندازهٔ آن را به‌عنوان مساحت متوازی‌الاضلاعی که می‌سازند ببینید و بررسی کنید که بر هر دو عمود است.

مؤلفه‌هایی که با ویرگول یا فاصله جدا شده‌اند، مثلاً 1, -2, 3/4.

مؤلفه‌هایی که با ویرگول یا فاصله جدا شده‌اند، مثلاً 1, -2, 3/4.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب ضرب خارجی

ضرب خارجی دو بردار در فضا را می‌گیرد و بردار سومی می‌سازد که بر هر دو عمود است. روش استاندارد برای یافتن بردار نرمال یک صفحه و محاسبهٔ مساحت متوازی‌الاضلاع یا مثلث در 3D است و در فیزیک کمیت‌های چرخشی مانند گشتاور و تکانهٔ زاویه‌ای را توصیف می‌کند.

این ماشین‌حساب u×v\mathbf{u} \times \mathbf{v} را برای بردارهای سه‌بعدی با نمادگذاری آشنای دترمینان حساب می‌کند که سطر اولش i\mathbf{i}، j\mathbf{j} و k\mathbf{k} است. هر مؤلفه را جداگانه نشان می‌دهد، از جمله تغییر علامت جملهٔ میانی که بیشترین خطا در آن رخ می‌دهد، سپس اندازه را می‌دهد و تأیید می‌کند که نتیجه بر هر دو بردار ورودی عمود است.

ضرب خارجی چیست؟

برای بردارهای u=⟨u1,u2,u3⟩\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle و v=⟨v1,v2,v3⟩\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle، ضرب خارجی بردار ⟨u2v3−u3v2,  u3v1−u1v3,  u1v2−u2v1⟩\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle است. برای بردارهای سه‌بعدی تعریف می‌شود و نتیجه‌اش هم برداری سه‌بعدی است.

جهت آن بر u\mathbf{u} و v\mathbf{v} هر دو عمود است و با قاعدهٔ دست راست تعیین می‌شود: اگر انگشتان دست راست از u\mathbf{u} به سوی v\mathbf{v} خم شوند، شست جهت u×v\mathbf{u} \times \mathbf{v} را نشان می‌دهد. طول آن ∣u∣ ∣v∣sin⁡θ|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta است، یعنی مساحت متوازی‌الاضلاعی که دو بردار می‌سازند.

روش استفاده از ماشین‌حساب ضرب خارجی

  1. سه مؤلفهٔ بردار اول u را با ویرگول جدا کنید، مثلاً 1, 2, 3.
  2. سه مؤلفهٔ بردار دوم v را وارد کنید.
  3. روی «محاسبه کن» بزنید.
  4. مؤلفه‌های i، j و k و بردار حاصل را بخوانید.
  5. از گام اندازه برای مساحت‌ها و از بررسی تعامد برای تأیید نتیجه استفاده کنید.

فرمول‌ها

شکل دترمینانی

u×v=∣ijku1u2u3v1v2v3∣\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

اندازه

∣u×v∣=∣u∣ ∣v∣sin⁡θ|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

پادجابه‌جایی

v×u=−(u×v)\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

مساحت مثلث

A=12 ∣u×v∣A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

مثال حل‌شده: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

مثال، ضرب خارجی u=⟨1,2,3⟩\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle و v=⟨4,5,6⟩\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle را پیدا می‌کند. مؤلفهٔ i\mathbf{i} برابر 2⋅6−3⋅5=−32 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3، مؤلفهٔ j\mathbf{j} برابر −(1⋅6−3⋅4)=6-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6 و مؤلفهٔ k\mathbf{k} برابر 1⋅5−2⋅4=−31 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3 است.

پس u×v=⟨−3,6,−3⟩\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle و اندازهٔ آن 54=36≈7.348\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348 است، یعنی مساحت متوازی‌الاضلاعی که دو بردار می‌سازند. ضرب داخلی آن با هر یک از بردارهای ورودی 0 است و این تأیید می‌کند که بر هر دو عمود است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

u×v=⟨−3,6,−3⟩u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

ضرب خارجی دو بردار 3D.

⟨1,2,3⟩×⟨4,5,6⟩\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. دترمینان را با بردارهای یکهٔ i, j, k در سطر اول بنویسید

    u×v=∣ijk123456∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}

  2. مؤلفهٔ i

    (2)(6)−(3)(5)=−3(2)(6) - (3)(5) = -3

  3. مؤلفهٔ j (به علامت منفی در بسط دقت کنید)

    −((1)(6)−(3)(4))=6-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6

  4. مؤلفهٔ k

    (1)(5)−(2)(4)=−3(1)(5) - (2)(4) = -3

  5. اندازه = مساحت متوازی‌الاضلاعی که u و v می‌سازند

    ∣u×v∣=54=36≈7.348469228|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228

  6. تعامد را بررسی کنید

    (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0

فرمول‌های به‌کاررفته

  • ضرب خارجی

    u×v=⟨u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1⟩u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle

  • اندازه

    ∣u×v∣=∣u∣∣v∣sin⁡θ|u \times v| = |u||v|\sin\theta

نتیجه بر هر دو بردار u و v عمود است؛ طول آن 3√6 ≈ 7.348469228 مساحت متوازی‌الاضلاعی است که این دو می‌سازند (مساحت مثلث نصف آن است).

بررسی‌ها

  • نتیجه بر هر دو بردار ورودی عمود است (هر دو ضرب داخلی 0)).

توضیح کامل

روش دترمینان

نوشتن بردارهای یکه در سطر اول یک دترمینان 3×33 \times 3 و بسط در امتداد همان سطر ساده‌ترین راه به خاطر سپردن فرمول است. هر مؤلفه یک دترمینان 2×22 \times 2 است که از ستون‌هایی ساخته می‌شود که به آن بردار یکه تعلق ندارند. جملهٔ میانی به سبب الگوی علامت همسازه‌ها، +,−,++, -, +، منفی می‌گیرد و به همین دلیل ماشین‌حساب آن را جداگانه نشان می‌دهد.

ضرب خارجی نسبت به جمع پخشی است، u×(v+w)=u×v+u×w\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}، و ضرب هر یک از ورودی‌ها در یک عدد، نتیجه را هم در همان عدد ضرب می‌کند. اما شرکت‌پذیر نیست: (u×v)×w(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} و u×(v×w)\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) معمولاً بردارهای متفاوتی‌اند. برای بردارهای صفحه‌ای مانند ⟨1,2,0⟩\langle 1, 2, 0 \rangle و ⟨3,4,0⟩\langle 3, 4, 0 \rangle، نتیجهٔ ⟨0,0,−2⟩\langle 0, 0, -2 \rangle در امتداد محور zz رو به پایین است و طول آن، 2، مساحت متوازی‌الاضلاع در صفحه است.

معنای هندسی

اندازهٔ ضرب خارجی برابر مساحت متوازی‌الاضلاعی با ضلع‌های u\mathbf{u} و v\mathbf{v} است، پس نصف آن مساحت مثلثی است که دو بردار می‌سازند. برای مثلثی با رأس‌های PP، QQ و RR، ضرب خارجی PQ→\overrightarrow{PQ} و PR→\overrightarrow{PR} را بگیرید و طول آن را نصف کنید.

اگر دو بردار موازی باشند، متوازی‌الاضلاع تخت می‌شود و ضرب خارجی بردار صفر است. برای ⟨1,2,3⟩\langle 1, 2, 3 \rangle و ⟨2,4,6⟩\langle 2, 4, 6 \rangle ماشین‌حساب ⟨0,0,0⟩\langle 0, 0, 0 \rangle را برمی‌گرداند که راهی سریع برای آزمودن موازی بودن بردارهاست.

بردار نرمال، صفحه‌ها و فیزیک

ضرب خارجی دو بردار جهت که در یک صفحه قرار دارند، بردار نرمال آن صفحه را می‌دهد؛ با یک نقطه از صفحه می‌توان معادلهٔ آن را به صورت a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 نوشت. در گرافیک رایانه‌ای همین محاسبه بردارهای نرمال سطح را برای نورپردازی تولید می‌کند.

در فیزیک، گشتاور τ=r×F\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} است و نیروی مغناطیسی وارد بر بار متحرک q v×Bq\,\mathbf{v} \times \mathbf{B} است. در هر حالت، نتیجه بر صفحهٔ دو ورودی عمود است، همان‌طور که قاعدهٔ دست راست پیش‌بینی می‌کند.

اشتباه‌های رایج

  • فراموش کردن علامت منفی مؤلفهٔ j\mathbf{j}.
  • فرض اینکه u×v=v×u\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}؛ جابه‌جا کردن ترتیب جهت را وارونه می‌کند.
  • گرفتن ضرب خارجی بردارهای دوبعدی بدون افزودن مؤلفهٔ سوم صفر.
  • اشتباه گرفتن ضرب خارجی با ضرب داخلی که عدد برمی‌گرداند.
  • فراموش کردن نصف کردن اندازه هنگام محاسبهٔ مساحت مثلث.

نکته‌ها

  • پاسخ خود را با گرفتن ضرب داخلی آن با هر ورودی بررسی کنید؛ هر دو نتیجه باید 0 باشند.
  • از i×j=k\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}، j×k=i\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} و k×i=j\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} برای به خاطر سپردن کمک بگیرید.
  • برای بردارهای 2D مؤلفهٔ سوم را 0 وارد کنید؛ پاسخ در امتداد محور zz خواهد بود.
  • برای زاویهٔ میان دو بردار از ماشین‌حساب ضرب داخلی استفاده کنید.
  • با ماشین‌حساب دترمینان، ضرب سه‌گانهٔ اسکالر u⋅(v×w)\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) را به صورت دترمینان 3×33 \times 3 حساب کنید.
  • پیش از محاسبه دو بردار را رسم کنید و با قاعدهٔ دست راست علامت هر مؤلفه را پیش‌بینی کنید.

پرسش‌های متداول

ضرب خارجی را چگونه حساب کنم؟

i، j و k را در سطر اول یک دترمینان 3×3 و دو بردار را در دو سطر بعدی بنویسید، سپس در امتداد سطر اول بسط دهید. علامت منفی مؤلفهٔ j را به خاطر داشته باشید.

اندازهٔ ضرب خارجی چه چیزی را نشان می‌دهد؟

مساحت متوازی‌الاضلاعی را که دو بردار می‌سازند. نصف آن مساحت مثلثی است که آن دو بردار می‌سازند.

آیا ضرب خارجی جابه‌جایی است؟

نه. جابه‌جا کردن ترتیب جهت را وارونه می‌کند: v × u = −(u × v).

آیا می‌توانم ضرب خارجی بردارهای 2D را بگیرم؟

نه به‌طور مستقیم؛ ضرب خارجی برای سه مؤلفه تعریف شده است. به هر بردار 0 را به‌عنوان مؤلفهٔ سوم بیفزایید تا نتیجه در امتداد محور z باشد.

ضرب خارجی صفر چه معنایی دارد؟

دو بردار موازی‌اند (یا یکی از آنها بردار صفر است)، پس مساحتی که می‌سازند صفر است.

ضرب خارجی را چگونه بررسی کنم؟

ضرب داخلی آن را با هر یک از دو بردار اصلی بگیرید. هر دو نتیجه باید صفر باشند، چون ضرب خارجی بر هر دو ورودی عمود است. ماشین‌حساب این بررسی را برایتان انجام می‌دهد.

بردار نرمال یک صفحه را چگونه پیدا کنم؟

دو بردار ناموازی در صفحه بگیرید و ضرب خارجی آنها را حساب کنید. نتیجه بر صفحه عمود است.

ضرب خارجی خود را حساب کنید

دو بردار سه‌بعدی را در بالا وارد کنید تا ضرب خارجی، اندازه و بررسی تعامد آن را بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب ماتریسجبر خطیماشین‌حساب دترمینانجبر خطیماشین‌حساب ماتریس وارونجبر خطیماشین‌حساب مقدار ویژهجبر خطیماشین‌حساب ضرب داخلیجبر خطیماشین‌حساب کسرریاضی عمومی