ضرب داخلی به زبان ساده

فرمول مؤلفه‌ای

ضرب داخلی که ضرب نرده‌ای (اسکالر) هم نامیده می‌شود، دو بردار با تعداد مؤلفهٔ یکسان را می‌گیرد و یک عدد برمی‌گرداند، نه یک بردار. برای محاسبه‌اش، مؤلفه‌های متناظر را در هم ضرب و حاصل‌ها را جمع کنید:

این فرمول در هر تعداد بُعد کار می‌کند و به همین دلیل ضرب داخلی در علم داده، که بردارها ممکن است هزاران مؤلفه داشته باشند، بسیار رایج است. ضرب داخلی همچنین آجر سازندهٔ ضرب ماتریس‌ها است: هر درایهٔ حاصل‌ضرب دو ماتریس، ضرب داخلی یک سطر در یک ستون است.

فرمول هندسی و زاویهٔ میان بردارها

ضرب داخلی توصیف دوم و هندسی‌ای هم دارد. اگر $\theta$ زاویهٔ میان دو بردار باشد وقتی از یک نقطه رسم شده‌اند، آن‌گاه:

در اینجا $|\mathbf{a}|$ طول یا اندازهٔ $\mathbf{a}$ است. این دو فرمول همیشه با هم سازگارند و این واقعیت از قانون کسینوس‌ها در مثلثی که $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ و $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ می‌سازند نتیجه می‌شود. ترکیب آن‌ها راهی عملی برای یافتن زاویهٔ میان هر دو بردار می‌دهد:

علامت چه می‌گوید

چون طول‌ها مثبت‌اند، علامت ضرب داخلی با علامت $\cos\theta$ یکی است. این بدون محاسبهٔ زاویه، برداشتی سریع از آن به دست می‌دهد:

• مثبت: زاویه حاده و کمتر از 90 درجه است و بردارها کمابیش به یک سو اشاره می‌کنند.
• صفر: بردارها بر هم عمودند که به آن متعامد هم می‌گویند.
• منفی: زاویه منفرجه و بیشتر از 90 درجه است و بردارها کمابیش در جهت‌های مخالف‌اند.

حالت صفر از همه مفیدتر است. برای مثال، $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$، پس این بردارها بر هم عمودند. در دو بعد، جابه‌جا کردن مؤلفه‌های یک بردار و قرینه کردن یکی از آن‌ها همیشه برداری عمود می‌سازد، که ترفندی کاربردی برای یافتن بردار نرمال خط‌هاست.

طول و بردار یکه

ضرب داخلی یک بردار در خودش مجذور طولش را می‌دهد، چون زاویه صفر است و $\cos 0 = 1$:

پس طول $(2, -1, 3)$ برابر $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$ است. تقسیم یک بردار بر طولش بردار یکه می‌سازد که طولش 1 است و در همان جهت قرار دارد. بردارهای یکه راحت‌اند، چون ضرب داخلی دو بردار یکه صرفاً کسینوس زاویهٔ میان آن‌هاست.

تصویر یک بردار روی بردار دیگر

تصویر $\mathbf{a}$ روی $\mathbf{b}$ سایه‌ای است که $\mathbf{a}$ روی خطِ گذرنده از $\mathbf{b}$ می‌اندازد، وقتی نور عمود بر آن خط بتابد. ضرب داخلی آن را مستقیماً می‌دهد:

عدد $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ که اینجا حدود 4.427 است، مؤلفهٔ نرده‌ای $\mathbf{a}$ در امتداد $\mathbf{b}$ است، یعنی طول علامت‌دار سایه. تصویرها یک بردار را به بخشی در امتداد یک جهت و بخشی عمود بر آن تجزیه می‌کنند؛ گامی که از فیزیک تا روش کمترین مربعات در آمار همه‌جا به کار می‌رود.

کار انجام‌شده توسط نیرو

در فیزیک فقط بخشی از نیرو که در امتداد جهت حرکت عمل می‌کند کار انجام می‌دهد. بنابراین کار نیروی ثابت $\mathbf{F}$ که جسمی را به اندازهٔ جابه‌جایی $\mathbf{d}$ حرکت می‌دهد یک ضرب داخلی است: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

ویژگی‌ها و کاربردها

• جابه‌جایی: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• توزیع‌پذیری: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• بیرون آمدن ضریب‌های نرده‌ای: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• نابرابری کوشی-شوارتس: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$ که تضمین می‌کند فرمول کسینوس همیشه مقداری میان $-1$ و 1 بدهد.

فراتر از هندسه، ضرب داخلی پایهٔ شباهت کسینوسی است که موتورهای جست‌وجو و سامانه‌های پیشنهاددهنده برای سنجیدن شباهت دو سند یا دو کاربر به کار می‌برند؛ پایهٔ نورپردازی در گرافیک سه‌بعدی (3D) است، که روشنایی به ضرب داخلی بردار نرمال سطح و جهت نور بستگی دارد؛ و پایهٔ شبکه‌های عصبی است که نورون‌هایشان ضرب داخلی ورودی‌ها و وزن‌ها را حساب می‌کنند. ماشین‌حساب ضرب داخلی حاصل‌ضرب، زاویه و تصویرها را گام‌به‌گام حساب می‌کند و ماشین‌حساب ضرب خارجی روش دیگر ضرب بردارها را انجام می‌دهد که در راهنمای ضرب خارجی آمده است.

یک مسئلهٔ کلاسیک هندسه

ضرب داخلی برخی پرسش‌های هندسی را به‌طرز شگفت‌انگیزی سریع حل می‌کند. قطر بلند مکعب با یکی از یال‌هایش چه زاویه‌ای می‌سازد؟ مکعب را طوری قرار دهید که یک رأسش در مبدأ باشد و یال‌هایی به طول 1 در امتداد محورها داشته باشد. قطر از مبدأ تا $(1, 1, 1)$ می‌رود و یکی از یال‌ها تا $(1, 0, 0)$.

ضرب داخلی آن‌ها 1 است، طول قطر $\sqrt{3}$ و طول یال 1 است، پس $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ و $\theta \approx 54.7^\circ$. انجام این کار با هندسهٔ کلاسیک نیازمند ساختن مثلثی قائم‌الزاویه درون مکعب و استدلال دقیق دربارهٔ ضلع‌هایش است؛ با بردارها سه خط طول می‌کشد. همین رویکرد زاویهٔ میان هر دو خط، صفحه یا پیوند شیمیایی را هم پیدا می‌کند، به شرط آنکه بتوانید جهتشان را با بردار توصیف کنید.

اشتباه‌های رایج

• نوشتن جواب به صورت بردار، مثلاً $(8, 0, -6)$ به جای مجموع 2.
• فراموش کردن جذر گرفتن هنگام محاسبهٔ طول‌ها برای فرمول زاویه.
• تقسیم بر $|\mathbf{b}|$ به جای $|\mathbf{b}|^2$ در فرمول تصویر برداری.
• استفادهٔ ناهماهنگ از درجه و رادیان هنگام محاسبهٔ $\cos\theta$ یا وارون آن با ماشین‌حساب.
• نتیجه گرفتن عمود بودن بردارها وقتی یکی از آن‌ها در واقع بردار صفر است.

علامت وارسی خوبی برای معقول بودن جواب است. اگر در طرح شما دو بردار آشکارا در جهت‌های مشابه باشند، ضرب داخلی باید مثبت باشد؛ اگر محاسبه‌تان عدد منفی داد، دنبال خطای علامت در یکی از مؤلفه‌ها بگردید.

تمرین‌ها

این‌ها را حل کنید و سپس با جواب‌های زیر مقایسه کنید. نخست، $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$ را پیدا کنید؛ حاصل‌ضرب‌ها 4، $-3$ و $-10$ هستند، پس جواب $-9$ است و مقدار منفی یعنی زاویه منفرجه است. دوم، $k$ را طوری بیابید که $(2, k)$ بر $(3, -6)$ عمود باشد: قرار دادن $6 - 6k = 0$ نتیجه می‌دهد $k = 1$. سوم، زاویهٔ میان $(1, 0)$ و $(1, 1)$ را پیدا کنید: ضرب داخلی 1 و طول‌ها 1 و $\sqrt{2}$ هستند، پس زاویه 45 درجه است، همان‌طور که یک طرح سریع تأیید می‌کند.

تاریخچه‌ای کوتاه

نمادگذاری برداری از بیشتر ریاضیات مدرسه جوان‌تر است. در دههٔ 1840، ویلیام روآن همیلتون کواترنیون‌ها را ابداع کرد، عددهایی با یک بخش حقیقی و سه بخش موهومی، و حاصل‌ضرب دو کواترنیون محض او هم بخشی نرده‌ای داشت و هم بخشی برداری. در دههٔ 1880، جوسایا ویلارد گیبز و الیور هویساید این دو بخش را به ضرب داخلی و ضرب خارجی جدا کردند و جبر برداری ساده‌تری به فیزیک‌دانان دادند که هنوز تدریس می‌شود. گیبز نقطهٔ وسط‌چین را به عنوان نماد برگزید و نام رایج انگلیسی این عمل («ضرب نقطه‌ای») از همین‌جا آمده است.

پرسش‌های متداول