مثلثات

قانون کسینوس‌ها با مثال‌هایی روشن

Q: آیا قانون کسینوسها همان قضیهٔ فیثاغورس است؟

تعمیمی از آن است. برای زاویهٔ قائمه، cos 90^circ = 0 است، پس جملهٔ اضافی حذف میشود و قانون به c^2 = a^2 + b^2 تبدیل میشود. برای زاویههای دیگر، جملهٔ -2abcos C میزان فاصلهٔ زاویه از قائمه را جبران میکند.

Q: وقتی زاویه منفرجه است چه بر سر فرمول میآید؟

کسینوس زاویهٔ منفرجه منفی است، پس -2abcos C مثبت میشود و ضلع روبهرو از مقدار فیثاغورسی بلندتر میشود. این با شهود میخواند: بازتر کردن زاویه دو سر را از هم دورتر میکند.

Q: در مسئلهٔ ضلع-ضلع-ضلع کدام زاویه را اول پیدا کنم؟

اول زاویهٔ روبهروی بلندترین ضلع را پیدا کنید. تنها زاویهای است که ممکن است منفرجه باشد و وارون کسینوس آن را درست تشخیص میدهد. آنگاه دو زاویهٔ باقیمانده حتماً حادهاند.

Q: آیا قانون کسینوسها مثلثهای ناممکن را تشخیص میدهد؟

بله. اگر سه طول نابرابری مثلث را نقض کنند، فرمول کسینوس مقداری کمتر از -1 یا بیشتر از 1 میدهد که هیچ زاویهای ندارد. برای مثال، ضلعهای 3، 4 و 8 مقدار -1.625 را میدهند.

Q: برای قانون کسینوسها درجه لازم است یا رادیان؟

هر دو کار میکند، به شرط آنکه ماشینحساب روی همان واحدی باشد که زاویه را با آن وارد میکنید. بیشتر مسئلههای مثلث زاویه را به درجه میدهند، پس پیش از محاسبهٔ cos C مطمئن شوید ماشینحساب در حالت درجه است.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

قانون کسینوس‌ها قضیهٔ فیثاغورس را به همهٔ مثلث‌ها گسترش می‌دهد. وقتی دو ضلع و زاویهٔ میانشان را می‌دانید ضلع سوم را می‌دهد و وقتی هر سه ضلع را می‌دانید هر زاویه‌ای را پیدا می‌کند.

فرمول

مثلث را به روش معمول نام‌گذاری کنید: زاویه‌های $A$ ، $B$ ، $C$ و ضلع‌های $a$ ، $b$ ، $c$ روبه‌روی آن‌ها. قانون کسینوس‌ها سه صورت دارد، یکی برای هر ضلع، و همه از یک الگو پیروی می‌کنند:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

آن را این‌طور بخوانید: مربع یک ضلع برابر مجموع مربع‌های دو ضلع دیگر است، منهای یک جملهٔ اصلاحی. زاویهٔ جملهٔ اصلاحی همان زاویهٔ روبه‌روی ضلع سمت چپ است که زاویهٔ میان دو ضلع سمت راست هم هست. وقتی $C = 90^\circ$ ، $\cos C = 0$ است و جملهٔ اصلاحی حذف می‌شود و $c^2 = a^2 + b^2$ باقی می‌ماند. پس قضیهٔ فیثاغورس حالت خاصی از آن است.

حل کردن بر حسب کسینوس صورتی را می‌دهد که برای یافتن زاویه‌ها به کار می‌رود:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

اثباتی کوتاه با مختصات

رأس $C$ را در مبدأ و ضلع $a$ را روی جهت مثبت محور x قرار دهید، پس رأس $B$ در $(a, 0)$ است. رأس $A$ به فاصلهٔ $b$ از مبدأ در جهت زاویهٔ $C$ قرار دارد، پس مختصاتش $(b\cos C, b\sin C)$ است.

ضلع $c$ فاصلهٔ $A$ تا $B$ است. طبق فرمول فاصله، $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$ . بسط دادن آن $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ را می‌دهد و چون $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$ ، حاصل $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ است. این اثبات چه $C$ حاده باشد چه منفرجه کار می‌کند، چون مختصات علامت‌ها را خودبه‌خود درست نگه می‌دارند.

همین اتحاد به شکل برداری $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ ظاهر می‌شود و به همین دلیل می‌توان از ضرب داخلی برای یافتن زاویهٔ میان بردارها استفاده کرد.

یافتن ضلع: دو ضلع و زاویهٔ میانشان

وقتی دو ضلع و زاویهٔ میانشان (ضلع-زاویه-ضلع) را می‌دانید، قانون سینوس‌ها نمی‌تواند شروع کند، چون هیچ ضلعی با زاویهٔ روبه‌رویش جفت نشده است. قانون کسینوس‌ها ضلع سوم را مستقیم می‌دهد.

مثال 1: $a = 7$ ، $b = 9$ ، $C = 48^\circ$

جای‌گذاری: $c^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9)\cos 48^\circ = 130 - 126\cos 48^\circ$ .
$\cos 48^\circ \approx 0.6691$ ، پس $c^2 \approx 130 - 84.31 = 45.69$ و $c \approx 6.76$ .
زاویهٔ روبه‌روی بلندترین ضلع داده‌شده، $b = 9$ ، را دوباره با قانون کسینوس‌ها پیدا کنید: $\cos B = \frac{7^2 + 6.76^2 - 9^2}{2(7)(6.76)}$ که $B \approx 81.68^\circ$ را می‌دهد.
زاویهٔ آخر: $A = 180^\circ - 48^\circ - 81.68^\circ \approx 50.32^\circ$ .

مثال 2: دو کوهنورد

دو کوهنورد در امتداد دو مسیر مستقیم که $60^\circ$ با هم زاویه دارند از اردوگاه راه می‌افتند. یکی 5 کیلومتر و دیگری 8 کیلومتر راه می‌رود. چقدر از هم فاصله دارند؟
$d^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^\circ = 25 + 64 - 40 = 49$ .
$d = 7$ کیلومتر، دقیقاً، چون $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

یافتن زاویه‌ها: سه ضلع

وقتی هر سه ضلع معلوم است (ضلع-ضلع-ضلع)، برای هر زاویه از صورت کسینوسی استفاده کنید. با بزرگ‌ترین زاویه شروع کنید، یعنی زاویهٔ روبه‌روی بلندترین ضلع. اگر منفرجه باشد، کسینوسش منفی است و وارون کسینوس این را درست تشخیص می‌دهد، چون زاویه‌هایی از $0^\circ$ تا $180^\circ$ برمی‌گرداند. وقتی بزرگ‌ترین زاویه معلوم شد، دو زاویهٔ دیگر حتماً حاده‌اند، پس حتی قانون سینوس‌ها هم می‌تواند بی‌هیچ ابهامی کار را تمام کند.

مثال 3: $a = 5$ ، $b = 7$ ، $c = 10$

بزرگ‌ترین زاویه $C$ : $\cos C = \frac{25 + 49 - 100}{2(5)(7)} = \frac{-26}{70} \approx -0.3714$ ، پس $C \approx 111.80^\circ$ که زاویه‌ای منفرجه است.
زاویهٔ $A$ : $\cos A = \frac{49 + 100 - 25}{2(7)(10)} = \frac{124}{140} \approx 0.8857$ ، پس $A \approx 27.66^\circ$ .
زاویهٔ $B$ : $180^\circ - 111.80^\circ - 27.66^\circ \approx 40.54^\circ$ . محاسبهٔ مستقیم آن، $\cos B = \frac{25 + 100 - 49}{100} = 0.76$ ، همین مقدار را می‌دهد.

اگر سه طول نتوانند مثلث بسازند، فرمول خودش این را نشان می‌دهد: کسینوس بیرون از $[-1, 1]$ درمی‌آید. برای ضلع‌های 3، 4 و 8، زاویهٔ روبه‌روی 8 دارای $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$ است که ناممکن است و با نابرابری مثلث $3 + 4 < 8$ می‌خواند.

حاده، قائمه یا منفرجه بدون ماشین‌حساب

علامت $a^2 + b^2 - c^2$ با علامت $\cos C$ یکی است. اگر $c$ بلندترین ضلع باشد، این یک دسته‌بندی سریع می‌دهد:

$c^2 < a^2 + b^2$ : بزرگ‌ترین زاویه حاده است، پس مثلث حاده‌الزاویه است.
$c^2 = a^2 + b^2$ : مثلث قائم‌الزاویه است.
$c^2 > a^2 + b^2$ : مثلث منفرجه‌الزاویه است.

برای ضلع‌های 5، 7 و 10، $100 > 74$ ، پس مثلث منفرجه‌الزاویه است، همان‌طور که مثال 3 تأیید کرد. برای 6، 8 و 9، $81 < 100$ ، پس حاده‌الزاویه است.

مساحت از روی سه ضلع: فرمول هرون

ترکیب قانون کسینوس‌ها با فرمول مساحت $\frac{1}{2}ab\sin C$ به فرمول هرون می‌رسد که فقط به طول ضلع‌ها نیاز دارد. فرض کنید $s = \frac{a + b + c}{2}$ نصف محیط باشد. آنگاه:

\text{مساحت} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

برای ضلع‌های 5، 7 و 10، $s = 11$ و مساحت $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$ است. برای وارسی، $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ همان 16.25 را می‌دهد.

انتخاب میان دو قانون

قانون کسینوس‌ها را برای ضلع-زاویه-ضلع و ضلع-ضلع-ضلع به کار ببرید، یعنی دو حالتی که هیچ جفت ضلع و زاویهٔ روبه‌رو ندارند. وقتی ضلعی همراه با زاویهٔ روبه‌رویش دارید، از قانون سینوس‌ها استفاده کنید. در مسئله‌های ترکیبی، اغلب قانون کسینوس‌ها اول می‌آید و قانون سینوس‌ها کار را تمام می‌کند. راهنمای حل مثلث همهٔ حالت‌ها را یک‌جا آورده است.

یک برتری عملی قانون کسینوس‌ها این است که هرگز برای زاویه جواب مبهم نمی‌دهد، چون هر کسینوس میان $-1$ و 1 دقیقاً با یک زاویه میان $0^\circ$ و $180^\circ$ متناظر است. در مقابل، قانون سینوس‌ها نمی‌تواند زاویهٔ حاده را از مکمل منفرجه‌اش تشخیص دهد. به همین دلیل بسیاری از کتاب‌های درسی توصیه می‌کنند هر جا زاویهٔ منفرجه ممکن است، بزرگ‌ترین زاویه را با کسینوس‌ها پیدا کنید.

اشتباه‌های رایج

اول حساب کردن $a^2 + b^2 - 2ab$ و بعد ضرب آن در $\cos C$ . ضرب $2ab\cos C$ باید پیش از تفریق انجام شود.
استفاده از زاویه‌ای که میان دو ضلع داده‌شده نیست.
فراموش کردن جذر گرفتن در پایان، وقتی دنبال یک ضلع هستید.
قاطی کردن درجه و رادیان در ماشین‌حساب.
گرد کردن زودهنگام $c$ و سپس استفاده از مقدار گردشده برای یافتن زاویه‌ها.

ماشین‌حساب قانون کسینوس‌ها حالت‌های ضلع-زاویه-ضلع، ضلع-ضلع-ضلع و حالت‌های دیگر را با نمایش هر جای‌گذاری حل می‌کند. برای مرور مقدارهای دقیق کسینوس در زاویه‌های خاص، ماشین‌حساب دایرهٔ واحد را ببینید.

قانون کسینوس‌ها کجا به کار می‌رود

هر موقعیتی که دو فاصلهٔ معلوم و زاویهٔ میانشان را دارد، یک مسئلهٔ قانون کسینوس‌هاست. دریانوردان با آن می‌فهمند کشتی پس از دو مرحله سفر در دو جهت متفاوت چقدر از بندر فاصله دارد. مهندسان با آن طول بست یا کابلی را پیدا می‌کنند که دو سر دو تیر را که با زاویه‌ای معلوم به هم می‌رسند وصل می‌کند. در رباتیک، زاویه‌ای که هر مفصل یک بازوی دو‌بندی باید بگیرد تا به نقطه‌ای برسد، با حل قانون کسینوس‌ها بر حسب زاویه به دست می‌آید، چون طول دو بند و فاصله تا هدف همه معلوم‌اند.

همین فرمول در علم داده میزان شباهت دو فهرست عدد را می‌سنجد. اگر هر فهرست را برداری بگیریم، کسینوس زاویهٔ میان آن‌ها که از ضرب داخلی محاسبه می‌شود شباهت کسینوسی نام دارد و در موتورهای جست‌وجو و سامانه‌های توصیه‌گر به کار می‌رود. هندسهٔ آن با نسخهٔ مثلثی یکسان است؛ فقط تعداد بعدها تغییر می‌کند.

تمرین‌ها با پاسخ

دو ضلع 4 و 6 با زاویهٔ $120^\circ$ به هم می‌رسند. ضلع سوم را پیدا کنید. پاسخ: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$ ، چون $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ .
بزرگ‌ترین زاویهٔ مثلثی با ضلع‌های 7، 8 و 13 را پیدا کنید. پاسخ: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$ ، پس زاویه دقیقاً $120^\circ$ است.
مثلثی با ضلع‌های 9، 12 و 15 حاده‌الزاویه است، قائم‌الزاویه یا منفرجه‌الزاویه؟ پاسخ: $81 + 144 = 225 = 15^2$ ، پس قائم‌الزاویه است.
مساحت مثلثی با ضلع‌های 13، 14 و 15 را پیدا کنید. پاسخ: $s = 21$ ، مساحت $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ .

پرسش‌های متداول

آیا قانون کسینوس‌ها همان قضیهٔ فیثاغورس است؟

تعمیمی از آن است. برای زاویهٔ قائمه، $\cos 90^\circ = 0$ است، پس جملهٔ اضافی حذف می‌شود و قانون به $c^2 = a^2 + b^2$ تبدیل می‌شود. برای زاویه‌های دیگر، جملهٔ $-2ab\cos C$ میزان فاصلهٔ زاویه از قائمه را جبران می‌کند.

وقتی زاویه منفرجه است چه بر سر فرمول می‌آید؟

کسینوس زاویهٔ منفرجه منفی است، پس $-2ab\cos C$ مثبت می‌شود و ضلع روبه‌رو از مقدار فیثاغورسی بلندتر می‌شود. این با شهود می‌خواند: بازتر کردن زاویه دو سر را از هم دورتر می‌کند.

در مسئلهٔ ضلع-ضلع-ضلع کدام زاویه را اول پیدا کنم؟

اول زاویهٔ روبه‌روی بلندترین ضلع را پیدا کنید. تنها زاویه‌ای است که ممکن است منفرجه باشد و وارون کسینوس آن را درست تشخیص می‌دهد. آنگاه دو زاویهٔ باقی‌مانده حتماً حاده‌اند.

آیا قانون کسینوس‌ها مثلث‌های ناممکن را تشخیص می‌دهد؟

بله. اگر سه طول نابرابری مثلث را نقض کنند، فرمول کسینوس مقداری کمتر از $-1$ یا بیشتر از 1 می‌دهد که هیچ زاویه‌ای ندارد. برای مثال، ضلع‌های 3، 4 و 8 مقدار $-1.625$ را می‌دهند.

برای قانون کسینوس‌ها درجه لازم است یا رادیان؟

هر دو کار می‌کند، به شرط آنکه ماشین‌حساب روی همان واحدی باشد که زاویه را با آن وارد می‌کنید. بیشتر مسئله‌های مثلث زاویه را به درجه می‌دهند، پس پیش از محاسبهٔ $\cos C$ مطمئن شوید ماشین‌حساب در حالت درجه است.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.