رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب دایرهٔ واحد

زاویه‌ای بر حسب درجه یا رادیان وارد کنید تا نقطهٔ آن روی دایرهٔ واحد، مقدارهای دقیق سینوس، کسینوس و تانژانت، زاویهٔ مرجع و ربع، و تابع‌های معکوس را بگیرید.

درجه مانند 150 یا -45؛ رادیان مانند 5pi/6، π/4 یا 1.2.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب دایرهٔ واحد

دایرهٔ واحد مثلثات را به مختصات تبدیل می‌کند. هر زاویه با نقطه‌ای روی دایره‌ای به شعاع 1 متناظر است و کسینوس و سینوس زاویه به سادگی مختصهٔ xx و مختصهٔ yy آن نقطه‌اند. به خاطر سپردن چند نقطهٔ خاص و سپس استفاده از تقارن، بدون ماشین‌حساب مقدارهای دقیق ده‌ها زاویه را به شما می‌دهد.

این ماشین‌حساب این استدلال را برایتان انجام می‌دهد. زاویه را بین درجه و رادیان تبدیل می‌کند، آن را به یک دور برمی‌گرداند، ربع و زاویهٔ مرجع را مشخص می‌کند و مقدارهای دقیقی مانند 32\frac{\sqrt3}{2} را برای زاویه‌های خاص می‌خواند. برای زاویه‌های دیگر مقدارهای اعشاری دقیق می‌دهد. تانژانت، سکانت، کسکانت و کتانژانت را هم نشان می‌دهد و وقتی یکی از آن‌ها تعریف نشده باشد هشدار می‌دهد.

دایرهٔ واحد چیست؟

دایرهٔ واحد دایرهٔ x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 است که مرکزش مبدأ و شعاعش 1 است. زاویهٔ θ\theta از جهت مثبت محور xx اندازه‌گیری می‌شود؛ برای زاویه‌های مثبت پادساعتگرد و برای زاویه‌های منفی ساعتگرد. نقطه‌ای که ضلع انتهایی دایره را قطع می‌کند (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) است.

چون این نقطه روی دایره است، به ازای هر زاویه cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 برقرار است که همان اتحاد فیثاغورسی است. تانژانت نسبت sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}، یعنی شیب ضلع انتهایی، است و تابع‌های معکوس sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} و csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} و cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} هستند.

چگونه از ماشین‌حساب دایرهٔ واحد استفاده کنیم

  1. زاویه را وارد کنید، مانند 150 یا -30 یا 5pi/4.
  2. درجه یا رادیان را انتخاب کنید.
  3. دکمهٔ «مقدارها را پیدا کن» را بزنید.
  4. ربع، زاویهٔ مرجع و مختصات دقیق را بخوانید.
  5. از مقدارهای تانژانت و تابع‌های معکوس که زیر مختصات نمایش داده می‌شوند استفاده کنید.

فرمول‌ها

نقطه روی دایره

P(θ)=(cos⁡θ, sin⁡θ)P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

درجه به رادیان

θرادیان=θدرجه⋅π180\theta_{\text{رادیان}} = \theta_{\text{درجه}} \cdot \frac{\pi}{180}

اتحاد فیثاغورسی

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

تانژانت

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

مثال حل‌شده: θ = 150°

مثال از θ=150°\theta = 150° استفاده می‌کند. زاویه در ربع دوم است، جایی که xx منفی و yy مثبت است، و زاویهٔ مرجعش 180°−150°=30°180° - 150° = 30° است.

نقطهٔ متناظر با 30°30° برابر (32,12)(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12) است. اعمال علامت‌های ربع دوم (−32,12)(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12) را می‌دهد و تقسیم سینوس بر کسینوس tan⁡150°=−33\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3} را می‌دهد.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

(cos⁡θ,sin⁡θ)=(−32, 12)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

مقدارهای دایرهٔ واحد برای 150°

θ=150∘\theta = 150^\circ

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. درجه را به رادیان تبدیل کنید (در π/180) ضرب کنید

    θ=150∘=5π6 رادیان\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{رادیان}

  2. محل ضلع انتهایی را پیدا کنید: در ربع دوم

    در ربع دوم سینوس مثبت و کسینوس منفی است (مثبت‌ها در ربع‌ها به ترتیب: همه، سینوس، تانژانت، کسینوس).

  3. زاویهٔ مرجع (زاویهٔ حاده با محور x)

    θمرجع=30∘\theta_{\text{مرجع}} = 30^\circ

  4. مختصات دقیق را از زاویهٔ مرجع بخوانید و علامت‌های ربع را اعمال کنید

    (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−32, 12)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

  5. تانژانت = سینوس ÷ کسینوس

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−33\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

  6. تابع‌های معکوس

    csc⁡θ=2,sec⁡θ=−233,cot⁡θ=−3\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}

فرمول‌های به‌کاررفته

  • نقطه روی دایرهٔ واحد

    (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

  • تانژانت و معکوس‌ها

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ, csc⁡θ=1sin⁡θ, sec⁡θ=1cos⁡θ, cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}

  • درجه و رادیان

    رادیان=درجه×π180\text{رادیان} = \text{درجه} \times \frac{\pi}{180}

150° (5π/6 rad) ضلع انتهایی‌اش در ربع دوم با زاویهٔ مرجع 30° قرار می‌گیرد. sin θ = 1/2، cos θ = −√3/2، tan θ = −√3/3، csc θ = 2، sec θ = −2√3/3، cot θ = −√3.

بررسی‌ها

  • cos²θ + sin²θ = 1 (باید برابر 1) باشد.

توضیح کامل

زاویه‌های خاص

سه زاویهٔ حاده مقدارهای دقیق ساده‌ای دارند. در 30°30° نقطه (32,12)(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)، در 45°45° نقطه (22,22)(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2}) و در 60°60° نقطه (12,32)(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}) است. این مقدارها از مثلث‌های 30-60-90 و 45-45-90 می‌آیند. همراه با زاویه‌های محوری 0°0° و 90°90° و 180°180° و 270°270°، شانزده نقطهٔ آشنای دایرهٔ واحد را می‌سازند.

زاویه‌های مرجع و علامت ربع‌ها

هر زاویه یک زاویهٔ مرجع دارد: زاویهٔ حاده بین ضلع انتهایی آن و محور xx. اندازهٔ مختصات زاویه با مختصات زاویهٔ مرجعش یکی است؛ با تغییر ربع فقط علامت‌ها عوض می‌شوند. در ربع اول هر دو مثبت‌اند، در ربع دوم فقط سینوس مثبت است، در ربع سوم فقط تانژانت مثبت است و در ربع چهارم فقط کسینوس مثبت است. پس 5π4\frac{5\pi}{4}، یعنی 225°225° در ربع سوم با زاویهٔ مرجع 45°45°، نقطهٔ (−22,−22)(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2}) را می‌دهد.

زاویه‌های بزرگ‌تر از یک دور کامل یا زاویه‌های منفی ابتدا با افزودن یا کم کردن 360°360° برگردانده می‌شوند. ماشین‌حساب 765°765° را به 45°45° برمی‌گرداند و −30°-30° را به صورت 330°330° در ربع چهارم در نظر می‌گیرد، جایی که نقطه (32,−12)(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12) است.

مقدارهای تعریف‌نشده و زاویه‌های غیرخاص

تانژانت و سکانت بر کسینوس تقسیم می‌کنند، پس جایی که ضلع انتهایی عمودی است، یعنی در 90°90° و 270°270°، تعریف نشده‌اند. کتانژانت و کسکانت بر سینوس تقسیم می‌کنند و در 0°0° و 180°180° تعریف نشده‌اند. ماشین‌حساب به جای چاپ عددی بی‌معنا، این حالت‌ها را صریحاً اعلام می‌کند.

بیشتر زاویه‌ها، مانند 20°20°، شکل رادیکالی ساده‌ای ندارند. برای آن‌ها ماشین‌حساب مقدارهای اعشاری می‌دهد و همچنان از ربع و زاویهٔ مرجع استفاده می‌کند تا ببینید چرا علامت‌ها همین‌طورند.

اشتباه‌های رایج

  • جابه‌جا کردن مختصات: کسینوس مختصهٔ xx و سینوس مختصهٔ yy است.
  • استفاده از حالت درجه برای زاویه‌ای که با π\pi نوشته شده، یا حالت رادیان برای زاویه‌ای بر حسب درجه.
  • اندازه‌گیری زاویهٔ مرجع از محور yy به جای محور xx.
  • اعمال علامت ربع نادرست؛ به یاد داشته باشید در هر ربع کدام تابع‌ها مثبت‌اند.
  • نوشتن tan⁡90°\tan 90° به صورت عددی بزرگ به جای تعریف‌نشده.

نکته‌ها

  • مقدارهای 30°30° و 45°45° و 60°60° را حفظ کنید؛ بقیه با تقارن به دست می‌آیند.
  • با مضرب‌های π6\frac{\pi}{6} و π4\frac{\pi}{4} بشمارید تا جای زاویه‌های رادیانی را سریع پیدا کنید.
  • در صورت نیاز مخرج را گویا کنید: 13=33\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}.
  • نتیجه‌ها را با cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 بررسی کنید.
  • از ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتی برای اثبات رابطه‌های بین این تابع‌ها استفاده کنید.

پرسش‌های متداول

مختصات یک نقطه روی دایرهٔ واحد چیست؟

برای زاویهٔ θ نقطه (cos θ, sin θ) است. مختصهٔ x کسینوس و مختصهٔ y سینوس است.

زاویهٔ مرجع را چطور پیدا کنم؟

زاویه را به بازهٔ 0° تا 360° برگردانید، سپس زاویهٔ حاده تا محور x را اندازه بگیرید: در ربع اول θ، در ربع دوم 180° − θ، در ربع سوم θ − 180° و در ربع چهارم 360° − θ است.

آیا می‌توانم زاویه‌ها را بر حسب رادیان وارد کنم؟

بله. رادیان را انتخاب کنید و عبارت‌هایی مانند pi/3 یا 5pi/4 بنویسید. ماشین‌حساب در گام‌ها بین رادیان و درجه تبدیل می‌کند.

چرا tan 90° تعریف نشده است؟

تانژانت سینوس تقسیم بر کسینوس است و cos 90° = 0. تقسیم بر صفر تعریف نشده است، پس نه tan 90° و نه sec 90° مقداری ندارند.

آیا ماشین‌حساب زاویه‌های منفی و بزرگ‌تر از 360° را پردازش می‌کند؟

بله. آن‌ها را به زاویه‌ای هم‌ارز در یک دور برمی‌گرداند. مثلاً 765° به 45° برمی‌گردد و −30° به صورت 330° در نظر گرفته می‌شود.

برای زاویه‌های غیرخاص چه اتفاقی می‌افتد؟

برای زاویه‌هایی مانند 20° شکل دقیق ساده‌ای وجود ندارد، پس ماشین‌حساب مقدارهای اعشاری را همراه با توضیح ربع و زاویهٔ مرجع نشان می‌دهد.

در هر ربع کدام تابع‌های مثلثاتی مثبت‌اند؟

در ربع اول همه مثبت‌اند، در ربع دوم سینوس و کسکانت، در ربع سوم تانژانت و کتانژانت و در ربع چهارم کسینوس و سکانت.

قاعدهٔ «همه، سینوس، تانژانت، کسینوس» یعنی چه؟

روشی برای به خاطر سپردن علامت ربع‌هاست که پادساعتگرد از ربع اول خوانده می‌شود: در ربع اول همهٔ تابع‌ها مثبت‌اند، در دوم سینوس، در سوم تانژانت و در چهارم کسینوس. ماشین‌حساب آن را در گام تعیین ربع ذکر می‌کند تا هر علامت را به ربعش پیوند دهد.

مقدارهای مثلثاتی دقیق را پیدا کنید

هر زاویه‌ای در بالا وارد کنید تا نقطه‌اش روی دایرهٔ واحد، زاویهٔ مرجعش و مقدار هر شش تابع مثلثاتی را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتیمثلثاتماشین‌حساب قانون کسینوس‌هامثلثاتماشین‌حساب کسرریاضی عمومیماشین‌حساب درصدریاضی عمومیماشین‌حساب ب.م.مریاضی عمومیماشین‌حساب ک.م.مریاضی عمومی