رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب قانون کسینوس‌ها

مثلثی را که دو ضلع و زاویهٔ بینشان یا هر سه ضلعش معلوم است حل کنید و ضلع مجهول، هر زاویه و مساحت را همراه با نمایش هر گام قانون کسینوس‌ها بگیرید.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب قانون کسینوس‌ها

مثلث‌های قائم‌الزاویه را می‌توان با قضیهٔ فیثاغورس و مثلثات پایه حل کرد، اما بیشتر مثلث‌ها در نقشه‌برداری، ناوبری، مهندسی و فیزیک زاویهٔ قائمه ندارند. قانون کسینوس‌ها قضیهٔ فیثاغورس را به هر مثلثی گسترش می‌دهد و ابزار مناسب است وقتی دو ضلع و زاویهٔ بینشان، یا هر سه ضلع بدون هیچ زاویه‌ای، را می‌دانید.

این ماشین‌حساب هر دو حالت را پوشش می‌دهد. در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین، ضلع سوم را پیدا می‌کند و هر جا رادیکال دقیقی مانند 39\sqrt{39} وجود داشته باشد آن را نگه می‌دارد، سپس دو زاویهٔ باقی‌مانده را پیدا می‌کند. در حالت سه ضلع بررسی می‌کند که ضلع‌ها بتوانند مثلث بسازند و هر سه زاویه را پیدا می‌کند. در هر دو حالت با محاسبهٔ مساحت تمام می‌کند.

قانون کسینوس‌ها چیست؟

در مثلثی با ضلع‌های aa و bb و cc که به ترتیب روبه‌روی زاویه‌های AA و BB و CC هستند، قانون کسینوس‌ها می‌گوید c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. همین رابطه برای هر ضلع با زاویهٔ روبه‌رویش برقرار است.

وقتی C=90°C = 90° باشد، cos⁡C=0\cos C = 0 است و فرمول به c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2، یعنی قضیهٔ فیثاغورس، تبدیل می‌شود. جملهٔ اضافی −2abcos⁡C-2ab\cos C اثر زاویه را اصلاح می‌کند: وقتی CC حاده باشد cc را کوتاه‌تر و وقتی CC منفرجه باشد بلندتر می‌کند، چون کسینوس زاویهٔ منفرجه منفی است.

چگونه از ماشین‌حساب قانون کسینوس‌ها استفاده کنیم

  1. «دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها (ض ز ض)» یا «سه ضلع (ض ض ض)» را انتخاب کنید.
  2. ضلع‌های aa و bb را وارد کنید.
  3. در حالت ض ز ض زاویهٔ بین CC را بر حسب درجه وارد کنید؛ در حالت ض ض ض ضلع سوم cc را وارد کنید.
  4. دکمهٔ «مثلث را حل کن» را بزنید تا ضلع یا زاویه‌های مجهول و سپس مساحت را ببینید.
  5. نتیجه را بررسی کنید: مجموع زاویه‌ها باید 180° باشد و بزرگ‌ترین زاویه باید روبه‌روی بلندترین ضلع باشد.

فرمول‌ها

قانون کسینوس‌ها

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

فرمول حل‌شده برای یک زاویه

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

مجموع زاویه‌ها

A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ

مساحت (ض ز ض)

K=12absin⁡CK = \tfrac12 ab\sin C

مثال حل‌شده: a = 5, b = 7, C = 60°

در مثال a=5a = 5 و b=7b = 7 و زاویهٔ بین C=60°C = 60° است. چون cos⁡60°=12\cos 60° = \frac12، فرمول c2=25+49−35=39c^2 = 25 + 49 - 35 = 39 را می‌دهد، پس c=39≈6.245c = \sqrt{39} \approx 6.245.

سپس موتور زاویهٔ AA را با قانون کسینوس‌ها پس از بازآرایی، حدود 43.898°43.898°، و زاویهٔ BB را از مجموع زاویه‌ها، حدود 76.102°76.102°، پیدا می‌کند. مساحت 12⋅5⋅7⋅sin⁡60°=3534≈15.155\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155 است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

دو ضلع و زاویهٔ بینشان: ضلع سوم و زاویه‌های باقی‌مانده را پیدا کنید

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. در c² = a² + b² − 2ab·cos C جایگذاری کنید

    c2=52+72−2(5)(7)cos⁡60∘=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39

  2. جذر بگیرید

    c=39=39≈6.244997998c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998

  3. زاویهٔ A را با قانون کسینوس‌ها پس از بازآرایی پیدا کنید

    cos⁡A=b2+c2−a22bc≈0.72057669⇒A≈43.897886∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ

  4. مجموع زاویه‌های مثلث 180° است

    B=180∘−A−C≈76.102114∘B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ

  5. مساحت از روی دو ضلع و زاویهٔ بینشان

    مساحت=12absin⁡C≈15.155445\text{مساحت} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445

فرمول‌های به‌کاررفته

  • قانون کسینوس‌ها

    c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

  • حل بر حسب یک زاویه

    cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

  • مساحت

    مساحت=12absin⁡C\text{مساحت} = \tfrac12 ab\sin C

ضلع‌های مثلث a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 و زاویه‌هایش A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60° است. این مثلث حاده‌الزاویه و مختلف‌الاضلاع است، با مساحت ≈ 15.155445 و محیط ≈ 18.244998.

بررسی‌ها

  • A + B + C = 180°.
  • دستور هرون همان مساحت را می‌دهد: 15.155445.
  • نسبت‌های قانون سینوس‌ها: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

توضیح کامل

حل مثلث با دو ضلع و زاویهٔ بین

اگر دو ضلع و زاویهٔ بینشان معلوم باشد، قانون کسینوس‌ها ضلع سوم را مستقیماً می‌دهد. فقط یک مثلث ممکن است، پس ابهامی وجود ندارد. پس از دانستن هر سه ضلع، فرمول بازآرایی‌شده هر زاویه را به نوبت می‌دهد. ماشین‌حساب برای پیدا کردن زاویهٔ دوم از قانون کسینوس‌ها استفاده می‌کند نه قانون سینوس‌ها، چون فرمول کسینوس نمی‌تواند زاویهٔ حاده را با مکمل منفرجه‌اش اشتباه بگیرد.

زاویه‌های بین منفرجه هم به همین روش پردازش می‌شوند. اگر a=4a = 4 و b=6b = 6 و C=120°C = 120° باشد، cos⁡120°=−12\cos 120° = -\frac12 است، پس c2=16+36+24=76c^2 = 16 + 36 + 24 = 76 و c=219≈8.718c = 2\sqrt{19} \approx 8.718 که همان‌طور که انتظار می‌رود از هر دو ضلع معلوم بلندتر است.

حل مثلث با سه ضلع

سه طول فقط وقتی مثلث می‌سازند که مجموع هر دو تا از سومی بزرگ‌تر باشد؛ این نامساوی مثلث است. ماشین‌حساب ابتدا این را بررسی می‌کند: ضلع‌های 1 و 2 و 5 رد می‌شوند چون 1+2<51 + 2 < 5. برای ضلع‌های معتبر زاویهٔ CC و سپس زاویهٔ AA را، هر دو از فرمول بازآرایی‌شده، حساب می‌کند و BB را از مجموع زاویه‌ها پیدا می‌کند. بلندترین ضلع را به عنوان cc وارد کنید تا اولین زاویهٔ محاسبه‌شده بگوید مثلث حاده‌الزاویه، قائم‌الزاویه یا منفرجه‌الزاویه است: ضلع‌های 3 و 4 و 5 زاویهٔ C=90°C = 90° را می‌دهند.

قانون کسینوس‌ها یا قانون سینوس‌ها؟

قانون کسینوس‌ها را برای حالت‌های ض ز ض و ض ض ض به کار ببرید، که در آن‌ها هیچ ضلعی همراه با زاویهٔ روبه‌رویش معلوم نیست. قانون سینوس‌ها را برای حالت‌های ز ض ز، ز ز ض و ض ض ز به کار ببرید، که در آن‌ها دست‌کم یک ضلع همراه با زاویهٔ روبه‌رویش معلوم است. حالت ض ض ز ممکن است دو جواب داشته باشد؛ حالت‌های قانون کسینوس‌ها هرگز چنین نیستند و به همین دلیل وقتی حق انتخاب دارید نقطهٔ شروع مطمئن‌تری‌اند.

اشتباه‌های رایج

  • استفاده از زاویه‌ای که در حالت ض ز ض بین دو ضلع معلوم نیست.
  • فراموش کردن ضریب 2 در 2abcos⁡C2ab\cos C.
  • رها کردن ماشین‌حساب در حالت رادیان در حالی که زاویه بر حسب درجه است.
  • کم کردن 2ab2ab پیش از ضرب آن در cos⁡C\cos C، که ترتیب عملیات را به هم می‌زند.
  • بررسی نکردن نامساوی مثلث و رسیدن به کسینوسی ناممکن بزرگ‌تر از 1.

نکته‌ها

  • اجزای مثلث را طوری نام‌گذاری کنید که ضلع مجهول cc و زاویهٔ معلوم CC باشد.
  • بزرگ‌ترین زاویه همیشه روبه‌روی بلندترین ضلع است؛ از این برای بررسی پاسخ استفاده کنید.
  • مقدارهای دقیقی مانند 39\sqrt{39} را تا گام آخر نگه دارید تا خطای گرد کردن انباشته نشود.
  • از ماشین‌حساب دایرهٔ واحد برای یادآوری مقدارهای دقیق کسینوس زاویه‌های خاص استفاده کنید.
  • برای مثلث‌های قائم‌الزاویه، فرمول فاصله و قضیهٔ فیثاغورس سریع‌ترند.

پرسش‌های متداول

چه زمانی از قانون کسینوس‌ها استفاده کنم؟

وقتی دو ضلع و زاویهٔ بینشان (ض ز ض) یا هر سه ضلع (ض ض ض) را می‌دانید. در این دو حالت هیچ ضلعی همراه با زاویهٔ روبه‌رویش معلوم نیست، پس نمی‌توان با قانون سینوس‌ها شروع کرد.

چطور با قانون کسینوس‌ها یک زاویه را پیدا کنم؟

آن را به شکل cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) بازآرایی کنید، سه ضلع را جایگذاری کنید و سپس وارون کسینوس را بگیرید.

قانون کسینوس‌ها چه ارتباطی با قضیهٔ فیثاغورس دارد؟

وقتی زاویهٔ C قائمه، یعنی 90°، باشد، cos C برابر 0 است و فرمول به c² = a² + b² تبدیل می‌شود. قانون کسینوس‌ها شکل کلی آن برای هر مثلثی است.

اگر سه ضلع من مثلث نسازند چه می‌شود؟

ماشین‌حساب نامساوی مثلث را بررسی می‌کند و اگر یک ضلع برابر مجموع دو ضلع دیگر یا بلندتر از آن باشد، مانند ضلع‌های 1 و 2 و 5، خطا نشان می‌دهد.

نتیجه‌های مثلث دقیق‌اند یا تقریبی؟

وقتی ضلع سوم یک ریشهٔ دوم باشد به‌طور دقیق نشان داده می‌شود، مانند √39 یا 2√19، همراه با مقدار اعشاری. زاویه‌ها بر حسب درجه و به صورت اعشاری داده می‌شوند.

مساحت چطور محاسبه می‌شود؟

با فرمول مساحت = ½ab sin C، با استفاده از دو ضلع و زاویهٔ بینشان. در حالت ض ض ض ابتدا زاویه حساب می‌شود.

آیا قانون کسینوس‌ها ممکن است دو مثلث بدهد؟

نه. داده‌های ض ز ض و ض ض ض همیشه یک مثلث را مشخص می‌کنند. حالت مبهم با دو مثلث ممکن فقط با داده‌های ض ض ز و قانون سینوس‌ها پیش می‌آید.

مثلثتان را حل کنید

دو ضلع و یک زاویه، یا سه ضلع، در بالا وارد کنید تا همهٔ اجزای مجهول و مساحت را پیدا کنید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتیمثلثاتماشین‌حساب دایرهٔ واحدمثلثاتماشین‌حساب کسرریاضی عمومیماشین‌حساب درصدریاضی عمومیماشین‌حساب ب.م.مریاضی عمومیماشین‌حساب ک.م.مریاضی عمومی