ماشین‌حساب شیب: شیب و معادلهٔ خط از روی دو نقطه

Q: شیب منفی یعنی چه؟

با افزایش x خط پایین میآید. شیب -3/2 به ازای هر 2 واحد به راست 3 واحد پایین میآید.

Q: معادلهٔ خط را چطور به دست بیاورم؟

شیب را حساب کنید، سپس با b = y_1 - m x_1 عرض از مبدأ را پیدا کنید و y = mx + b را بنویسید.

Q: آیا ترتیب نقطهها مهم است؟

نه. جابهجا کردن نقطهها علامت هر دو تفاضل را عوض میکند، پس خارجقسمت همان میماند.

Q: آیا میتوانم مختصات اعشاری وارد کنم؟

بله. عددهای اعشاری به کسرهای دقیق تبدیل میشوند تا شیب و عرض از مبدأ دقیق بمانند.

Q: شیب خط افقی چقدر است؟

صفر. دو نقطه مقدار y یکسانی دارند، پس تغییر عمودی 0 است و 0/(تغییر افقی) = 0. خط به صورت y = c نوشته میشود.

Q: شیب عمود را چطور پیدا کنم؟

قرینهٔ معکوس شیب اصلی را بگیرید. اگر m = -3/2 باشد، خط عمود شیب 2/3 دارد و حاصلضرب دو شیب -1 است.

Q: از کجا بفهمم دو خط موازیاند؟

شیبهایشان را مقایسه کنید. دو خط غیرعمودی دقیقاً وقتی موازیاند که شیبهایشان برابر و عرض از مبدأهایشان متفاوت باشد؛ خطهای y = 2x - 1 و y = 2x + 4 هرگز به هم نمیرسند.

دربارهٔ ماشین‌حساب شیب

شیب خط نشان می‌دهد که خط با چه تندی بالا یا پایین می‌رود: تغییر $y$ تقسیم بر تغییر $x$ میان هر دو نقطه. شیب مثبت به سمت راست بالا می‌رود، شیب منفی پایین می‌آید، شیب صفر افقی است و شیب خط عمودی تعریف‌نشده است.

همین که شیب $m$ معلوم شود، عرض از مبدأ $b$ از روی هر یک از دو نقطه به دست می‌آید و خط $y = mx + b$ حاصل می‌شود.

شیب خط چیست؟

شیب عددی واحد است که تندی و جهت یک خط راست را توصیف می‌کند. آن را به صورت تغییر عمودی تقسیم بر تغییر افقی تعریف می‌کنند: خط به ازای هر واحد حرکت به راست چقدر بالا یا پایین می‌رود. شیب 2 یعنی خط با هر گام به راست 2 واحد بالا می‌رود، شیب $-\frac32$ یعنی به ازای هر 2 واحد به راست 3 واحد پایین می‌آید، و شیب 0 یعنی خط افقی است.

چون خط راست همه‌جا تندی یکسانی دارد، هر دو نقطه‌ای از آن همان شیب را می‌دهند. همین شیب را کلید معادلهٔ خط می‌کند: با دانستن $m$ و یک نقطه، کل خط مشخص می‌شود. در زندگی روزمره شیب یک آهنگ تغییر است، مانند کیلومتر بر ساعت در نمودار مسافت–زمان یا دلار برای هر قطعه در نمودار هزینه.

چگونه از ماشین‌حساب شیب استفاده کنیم

مختصات نقطهٔ اول (x₁, y₁) را وارد کنید.
مختصات نقطهٔ دوم (x₂, y₂) را وارد کنید.
دکمهٔ «شیب را پیدا کن» را بزنید تا تغییر عمودی، تغییر افقی، شیب ساده‌شده و معادلهٔ خط را ببینید.

فرمول‌ها

شیب

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

شکل شیب و عرض از مبدأ

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

شکل نقطه و شیب

y - y_1 = m(x - x_1)

مثال حل‌شده: (2, 3) و (6, 11)

مثال حل‌شده از نقطه‌های (2, 3) و (6, 11) استفاده می‌کند. تغییر عمودی $11 - 3 = 8$ و تغییر افقی $6 - 2 = 4$ است، پس شیب $\frac84 = 2$ است. با نقطهٔ اول، عرض از مبدأ $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ می‌شود و خط $y = 2x - 1$ به دست می‌آید. بررسی، نقطهٔ دوم را جایگذاری می‌کند: $2 \cdot 6 - 1 = 11$ ، همان‌طور که انتظار می‌رفت.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

m = 2,\quad y = 2x - 1

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

شیب خط (آهنگ تغییر) گذرنده از دو نقطه را پیدا کنید.

راه‌حل گام‌به‌گام

نقطه‌ها را نام‌گذاری کنید
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
تغییر y (خیز) را پیدا کنید
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
تغییر x (پیشروی افقی) را پیدا کنید
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
خیز را بر پیشروی افقی تقسیم کنید
$m = \frac{8}{4} = 2$
عرض از مبدأ را با نقطهٔ اول پیدا کنید
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
معادلهٔ خط را بنویسید
$y = 2x - 1$

فرمول‌های به‌کاررفته

شیب
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
شکل شیب و عرض از مبدأ
$y = mx + b$

شیب 2 است: به ازای هر 1 واحد افزایش در x, y به اندازهٔ 2 تغییر می‌کند. خط از چپ به راست بالا می‌رود.

بررسی‌ها

نقطهٔ دوم: 2·(6) + -1 = 11 (مقدار مورد انتظار 11)

توضیح کامل

شیب منفی، کسری و تعریف‌نشده

برای نقطه‌های (1, 2) و (5, −4) تغییر عمودی $-6$ و تغییر افقی 4 است، پس ماشین‌حساب $m = -\frac32$ و خط $y = -\frac32 x + \frac72$ را می‌دهد و هر دو مقدار را به جای −1.5 و 3.5 به صورت کسر دقیق نگه می‌دارد. برای نقطه‌های (3, 1) و (3, 7) تغییر افقی صفر است؛ تقسیم بر صفر مجاز نیست، پس شیب تعریف‌نشده است و ماشین‌حساب به جای معادله‌ای به شکل $y = mx + b$ خط عمودی $x = 3$ را می‌دهد.

سه راه نوشتن یک خط

شکل شیب و عرض از مبدأ $y = mx + b$ شیب و عرض از مبدأ را با یک نگاه نشان می‌دهد و همان شکلی است که بیشتر ابزارهای رسم انتظار دارند. شکل نقطه و شیب $y - y_1 = m(x - x_1)$ وقتی یک نقطه و شیب را می‌دانید و هنوز عرض از مبدأ را حساب نکرده‌اید سریع‌تر نوشته می‌شود. شکل کلی $Ax + By = C$ با ضریب‌های صحیح در برخی برنامه‌های درسی ترجیح داده می‌شود؛ $y = 2x - 1$ به $2x - y = 1$ تبدیل می‌شود. هر سه شکل همان مجموعهٔ نقطه‌ها را توصیف می‌کنند.

شیب به عنوان آهنگ تغییر

در مسئله‌های کاربردی شیب یکا دارد: یکای y تقسیم بر یکای x. اگر تاکسی برای سفری 6 کیلومتری 11 دلار و برای سفری 2 کیلومتری 3 دلار بگیرد، شیب از (2, 3) تا (6, 11) برابر 2 دلار برای هر کیلومتر است و عرض از مبدأ −1 مقدار خط در مسافت صفر است. با این خوانش، شیب به این پرسش پاسخ می‌دهد: وقتی x یک واحد زیاد شود، y چقدر تغییر می‌کند؟ این همان ایده‌ای است که مشتق آن را به منحنی‌ها گسترش می‌دهد.

اشتباه‌های رایج

تفریق با ترتیب متفاوت در صورت و مخرج، مثلاً $y_2 - y_1$ بر $x_1 - x_2$ .
نوشتن تغییر افقی بر تغییر عمودی به جای تغییر عمودی بر تغییر افقی.
گفتن اینکه شیب خط عمودی 0 است؛ در واقع تعریف‌نشده است.
استفاده از مختصات یک نقطه به عنوان تغییر عمودی و تغییر افقی.
ساده کردن نادرست $\frac{8}{4}$ یا جا انداختن علامت منفی تغییر افقی وقتی مقدارهای x کاهش می‌یابند.

نکته‌ها

خط‌های موازی شیب برابر دارند؛ حاصل‌ضرب شیب‌های خط‌های عمود بر هم −1 است.
شیب را به صورت کسر نگه دارید تا هنگام پیدا کردن عرض از مبدأ گرد کردن پیش نیاید.
برای اطمینان از علامت، دو نقطه را در ماشین‌حساب نمودار رسم کنید.
پیش از حساب، دو نقطه را تصور کنید: اگر نقطهٔ دوم بالاتر و سمت راست باشد، شیب باید مثبت باشد.
شیب خط عمود، قرینهٔ معکوس است: خط عمود بر $y = 2x - 1$ شیب $-\frac12$ دارد.

پرسش‌های متداول

شیب میان دو نقطه را چطور پیدا کنم؟

مقدارهای y را از هم کم کنید، سپس مقدارهای x را با همان ترتیب از هم کم کنید و تقسیم کنید. برای (2, 3) و (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

شیب منفی یعنی چه؟

با افزایش x خط پایین می‌آید. شیب $-\frac32$ به ازای هر 2 واحد به راست 3 واحد پایین می‌آید.

چرا شیب خط عمودی تعریف‌نشده است؟

دو نقطه مقدار x یکسانی دارند، پس تغییر افقی 0 است و فرمول بر صفر تقسیم می‌کند. به همین دلیل خط به صورت $x = c$ نوشته می‌شود.

معادلهٔ خط را چطور به دست بیاورم؟

شیب را حساب کنید، سپس با $b = y_1 - m x_1$ عرض از مبدأ را پیدا کنید و $y = mx + b$ را بنویسید.

آیا ترتیب نقطه‌ها مهم است؟

نه. جابه‌جا کردن نقطه‌ها علامت هر دو تفاضل را عوض می‌کند، پس خارج‌قسمت همان می‌ماند.

آیا می‌توانم مختصات اعشاری وارد کنم؟

بله. عددهای اعشاری به کسرهای دقیق تبدیل می‌شوند تا شیب و عرض از مبدأ دقیق بمانند.

شیب خط افقی چقدر است؟

صفر. دو نقطه مقدار y یکسانی دارند، پس تغییر عمودی 0 است و $\frac{0}{\text{تغییر افقی}} = 0$ . خط به صورت $y = c$ نوشته می‌شود.

شیب عمود را چطور پیدا کنم؟

قرینهٔ معکوس شیب اصلی را بگیرید. اگر $m = -\frac32$ باشد، خط عمود شیب $\frac23$ دارد و حاصل‌ضرب دو شیب $-1$ است.

از کجا بفهمم دو خط موازی‌اند؟

شیب‌هایشان را مقایسه کنید. دو خط غیرعمودی دقیقاً وقتی موازی‌اند که شیب‌هایشان برابر و عرض از مبدأهایشان متفاوت باشد؛ خط‌های $y = 2x - 1$ و $y = 2x + 4$ هرگز به هم نمی‌رسند.

شیب خط خود را پیدا کنید

دو نقطه در بالا وارد کنید تا شیب دقیق و معادلهٔ خط را همراه با هر گام بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید