رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب فرمول فاصله

طول پاره‌خط بین دو نقطه را به صورت رادیکال دقیق و مقدار اعشاری پیدا کنید.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب فرمول فاصله

فرمول فاصله همان قضیهٔ فیثاغورس است که روی مختصات به کار رفته است. اختلاف افقی و عمودی دو نقطه ضلع‌های قائمِ یک مثلث قائم‌الزاویه‌اند و فاصله وتر آن است.

این ماشین‌حساب ریشهٔ دوم را دقیق ساده می‌کند؛ فاصلهٔ (−2,1)(−2, 1) تا (3,−3)(3, −3) برابر 41\sqrt{41} و فاصلهٔ (0,0)(0,0) تا (1,3)(1, 3) برابر 10\sqrt{10} است، نه فقط یک عدد اعشاری گردشده.

فرمول فاصله چیست؟

فرمول فاصله طول پاره‌خطی را می‌دهد که دو نقطه را در صفحهٔ مختصات به هم وصل می‌کند. اگر نقطه‌ها (x1,y1)(x_1, y_1) و (x2,y2)(x_2, y_2) باشند، اختلاف افقی آن‌ها x2−x1x_2 - x_1 و اختلاف عمودی‌شان y2−y1y_2 - y_1 است. این دو اختلاف را رسم کنید؛ می‌بینید که ضلع‌های قائم مثلثی قائم‌الزاویه‌اند که وترش همان پاره‌خطی است که می‌خواهید اندازه بگیرید.

قضیهٔ فیثاغورس می‌گوید مربع وتر برابر مجموع مربع‌های دو ضلع قائم است و گرفتن ریشهٔ دوم فاصله را می‌دهد. نتیجه همیشه صفر یا عددی مثبت است، به اینکه از کدام نقطه شروع کنید بستگی ندارد و با همان یکای مختصات اندازه‌گیری می‌شود.

کاربردهای رایج آن پیدا کردن طول ضلع‌های مثلثی است که روی شبکه کشیده شده، شعاع دایره از روی مرکز و نقطه‌ای روی آن، و فاصلهٔ مستقیم بین دو مکان روی نقشه.

چگونه از ماشین‌حساب فرمول فاصله استفاده کنیم

  1. نقطهٔ اول (x₁, y₁) را وارد کنید.
  2. نقطهٔ دوم (x₂, y₂) را وارد کنید.
  3. دکمهٔ «فاصله را پیدا کن» را بزنید تا اختلاف‌ها، مربع‌هایشان، مجموع و رادیکال ساده‌شده را ببینید.

فرمول‌ها

فرمول فاصله

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

قضیهٔ فیثاغورس

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

نقطهٔ وسط

M=(x1+x22, y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

مثال حل‌شده: (1, 2) و (4, 6)

مثال حل‌شده فاصلهٔ (1, 2) تا (4, 6) را اندازه می‌گیرد. اختلاف‌ها Δx=3\Delta x = 3 و Δy=4\Delta y = 4 هستند، مربع‌هایشان 9 و 16 و مجموعشان 25، پس d=25=5d = \sqrt{25} = 5؛ همان مثلث قائم‌الزاویهٔ آشنای 3-4-5. ماشین‌حساب نقطهٔ وسط (2.5, 4) را هم گزارش می‌کند و بررسی می‌کند که d2d^2 برابر Δx2+Δy2\Delta x^2 + \Delta y^2 باشد.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

d=5d = 5

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

فاصلهٔ مستقیم (اقلیدسی) میان دو نقطه در صفحه را پیدا کنید.

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. نقطه‌ها را نام‌گذاری کنید

    (x1,y1)=(1,2),(x2,y2)=(4,6)(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)

  2. اختلاف‌های افقی و عمودی را پیدا کنید

    Δx=3,Δy=4\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4

  3. اختلاف‌ها را مربع و با هم جمع کنید

    (3)2+(4)2=9+16=25(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25

  4. جذر بگیرید

    d=25=5d = \sqrt{25} = 5

  5. نقطهٔ وسط (میانگین مختصات)

    M=(1+42,2+62)=(2.5,4)M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)

فرمول‌های به‌کاررفته

  • فرمول فاصله

    d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

  • فرمول نقطهٔ وسط

    M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

فرمول فاصله همان قضیهٔ فیثاغورس است که روی مثلث قائم‌الزاویه‌ای به کار رفته که ضلع‌های قائمش اختلاف‌های افقی و عمودی دو نقطه‌اند.

بررسی‌ها

  • d² = 25 با Δx² + Δy² = 25 جور است

توضیح کامل

رادیکال‌های دقیق

بیشتر جفت‌نقطه‌ها فاصلهٔ صحیح نمی‌دهند. از (−2, 1) تا (3, −3) اختلاف‌ها 5 و −4 هستند، مجموع مربع‌ها 41 است و چون 41 عامل مربع ندارد، پاسخ دقیق 41≈6.4031242\sqrt{41} \approx 6.4031242 است. از (1, 1) تا (7, 7) مجموع مربع‌ها 72 است و چون 72=36×272 = 36 \times 2، ماشین‌حساب رادیکال را به 62≈8.48528146\sqrt2 \approx 8.4852814 ساده می‌کند. دقیق نگه داشتن رادیکال وقتی اهمیت دارد که فاصله در محاسبهٔ بعدی، مثل محیط یا مساحت، به کار برود.

فاصله، نقطهٔ وسط و دایره‌ها

نقطهٔ وسط میانگین مختصات است و دقیقاً در وسط پاره‌خط قرار دارد، پس فاصله‌اش تا هر سر d2\frac{d}{2} است. فرمول فاصله شکل دیگری از معادلهٔ دایره هم هست: نقطه‌هایی که به فاصلهٔ rr از مرکز (h,k)(h, k) قرار دارند در (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 صدق می‌کنند. برای فهمیدن اینکه نقطه‌ای درون دایره، روی آن یا بیرون آن است، فاصله‌اش تا مرکز را با شعاع مقایسه کنید.

چرا مربع کردن علامت را از بین می‌برد

اختلافی مثل Δy=−4\Delta y = -4 بسته به ترتیب نقطه‌ها ممکن است منفی باشد، اما طول نمی‌تواند منفی باشد. مربع کردن هر اختلاف را نامنفی می‌کند؛ هم (−4)2(-4)^2 و هم 424^2 برابر 16 می‌شوند و ریشهٔ دوم پایانی عددی مثبت برمی‌گرداند. به همین دلیل جابه‌جا کردن دو نقطه هرگز پاسخ را تغییر نمی‌دهد. با همین استدلال نمی‌توانید فقط ∣Δx∣+∣Δy∣|\Delta x| + |\Delta y| را جمع کنید: آن فاصلهٔ پیمودن یک شبکهٔ خیابانی است و جز وقتی یکی از اختلاف‌ها صفر باشد، از خط مستقیم بلندتر است.

اشتباه‌های رایج

  • فراموش کردن اینکه مربع اختلاف منفی مثبت است.
  • گرفتن ریشهٔ دوم هر جمله به‌تنهایی: a2+b2≠a+b\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b.
  • قاطی کردن طول و عرض نقطه‌ها هنگام تفریق.
  • تفریق مختصات و فراموش کردن مربع کردن آن‌ها پیش از جمع.
  • گرد کردن زودهنگام ریشهٔ دوم و استفاده از مقدار گردشده در گام‌های بعدی.

نکته‌ها

  • به دنبال سه‌تایی‌های فیثاغورسی مثل 3-4-5 و 5-12-13 باشید تا فاصله‌های صحیح را تشخیص دهید.
  • فاصله هرگز منفی نیست و فقط وقتی صفر است که دو نقطه بر هم منطبق باشند.
  • n\sqrt{n} را با بیرون کشیدن بزرگ‌ترین عامل مربع ساده کنید: 72=62\sqrt{72} = 6\sqrt2.
  • پاره‌خط‌های افقی یا عمودی به فرمول نیاز ندارند: فاصله همان اختلاف مختصه‌ای است که تغییر می‌کند.
  • وقتی فقط می‌خواهید دو طول را مقایسه کنید، به جای ریشه گرفتن مربع فاصله را مقایسه کنید.
  • شکل دقیق، مثل 41\sqrt{41}، را تا گام آخر نگه دارید و فقط پاسخ نهایی را گرد کنید.

پرسش‌های متداول

فرمول فاصله چیست؟

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. این فرمول طول پاره‌خطی را می‌دهد که دو نقطه را به هم وصل می‌کند.

چه ارتباطی با قضیهٔ فیثاغورس دارد؟

اختلاف‌ها در x و y ضلع‌های قائم یک مثلث قائم‌الزاویه را می‌سازند؛ فاصله وتر است، پس d2=Δx2+Δy2d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2.

چرا پاسخ یک ریشهٔ دوم است؟

وقتی Δx2+Δy2\Delta x^2 + \Delta y^2 مربع کامل نباشد، فاصلهٔ دقیق عددی گنگ است. ماشین‌حساب رادیکال را ساده می‌کند و مقدار اعشاری را هم می‌دهد.

آیا مهم است کدام نقطه را اول وارد کنم؟

نه. هر اختلاف به توان دو می‌رسد، پس جابه‌جا کردن نقطه‌ها همان فاصله را می‌دهد.

آیا می‌توانم از مختصات منفی یا اعشاری استفاده کنم؟

بله. مقدارهای منفی و اعشاری پیش از گرفتن ریشهٔ دوم پایانی به‌طور دقیق پردازش می‌شوند.

نقطهٔ وسط را هم چطور پیدا کنم؟

میانگین طول‌ها و میانگین عرض‌ها را بگیرید. ماشین‌حساب نقطهٔ وسط را همراه با فاصله گزارش می‌کند.

ریشهٔ دوم در فاصله را چطور ساده کنم؟

بزرگ‌ترین عامل مربع کامل عدد زیر رادیکال را بیرون بکشید. فاصلهٔ (1, 1) تا (7, 7) برابر 72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2 است.

آیا فرمول فاصله در سه بعد کار می‌کند؟

بله، با یک جملهٔ سوم: d=Δx2+Δy2+Δz2d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}. این ماشین‌حساب با نقطه‌های صفحه کار می‌کند، پس فقط مختصه‌های x و y را وارد کنید.

چطور بررسی کنم که سه نقطه مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند؟

طول هر سه ضلع را با فرمول فاصله پیدا کنید، سپس بررسی کنید که آیا مجموع مربع‌های دو ضلع کوتاه‌تر برابر مربع ضلع بلندتر است. اگر چنین باشد، مثلث یک زاویهٔ قائمه دارد.

فاصلهٔ بین نقطه‌هایتان را اندازه بگیرید

دو نقطه در بالا وارد کنید تا فاصله را به صورت رادیکال دقیق ساده‌شده، مقدار اعشاری آن و نقطهٔ وسط بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب پیدا کردن xجبرحل‌کنندهٔ معادلهجبرماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دومجبرماشین‌حساب تجزیهٔ چندجمله‌ایجبرماشین‌حساب دستگاه معادلاتجبرماشین‌حساب نامعادلهجبر