رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

مثلثات

چگونه هر مثلثی را حالت به حالت حل کنیم

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

حل کردن مثلث یعنی یافتن هر سه ضلع و هر سه زاویه از روی اجزای داده‌شده. اینکه از کدام ابزار استفاده کنید به این بستگی دارد که کدام سه جزء را می‌دانید، پس گام نخست همیشه تشخیص حالت است.

حل کردن مثلث یعنی چه

هر مثلث شش جزء دارد: سه ضلع و سه زاویه. به طور کلی، دانستن سه جزء از آن‌ها، که دست‌کم یکی ضلع باشد، مثلث را مشخص می‌کند و سه جزء دیگر را می‌توان محاسبه کرد. دانستن تنها سه زاویه کافی نیست، چون مثلث‌های متشابه در هر اندازه‌ای زاویه‌های یکسان دارند؛ این حالت گاهی زاویه-زاویه-زاویه نامیده می‌شود و جواب یکتا ندارد.

اجزای معلوم را با ترتیب قرار گرفتنشان دور مثلث توصیف می‌کنند. زاویه-ضلع-زاویه یعنی دو زاویه و ضلع میان آن‌ها؛ ضلع-زاویه-ضلع یعنی دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها. شش الگوی ممکن و ابزار هر کدام این‌هاست:

  • مثلث قائم‌الزاویه با هر دو جزء دیگر: نسبت‌های پایه و قضیهٔ فیثاغورس.
  • زاویه-زاویه-ضلع یا زاویه-ضلع-زاویه: مجموع زاویه‌ها، سپس قانون سینوس‌ها.
  • ضلع-زاویه-ضلع: قانون کسینوس‌ها برای ضلع سوم، سپس زاویه‌های باقی‌مانده.
  • ضلع-ضلع-ضلع: قانون کسینوس‌ها برای زاویه‌ها.
  • ضلع-ضلع-زاویه: قانون سینوس‌ها همراه با وارسی برای صفر، یک یا دو مثلث.
  • زاویه-زاویه-زاویه: فقط شکل، بدون اندازهٔ یکتا.

همیشه پیش از انتخاب روش، مثلث را رسم کنید و اجزای داده‌شده را برچسب بزنید. بیشتر خطاها از جفت کردن یک ضلع با زاویهٔ نادرست می‌آیند.

مثلث‌های قائم‌الزاویه: سینوس، کسینوس و تانژانت

در مثلث قائم‌الزاویه، برای زاویهٔ حادهٔ θ\theta، سه نسبت پایه زاویه را به ضلع‌ها مربوط می‌کنند: ضلع مقابل، ضلع مجاور و وتر.

sin⁡θ=مقابلوتر,cos⁡θ=مجاوروتر,tan⁡θ=مقابلمجاور\sin\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}

مثال 1: وتر 10، یک زاویه 35∘35^\circ

  1. ضلع مقابل: 10sin⁡35∘≈5.73610\sin 35^\circ \approx 5.736.
  2. ضلع مجاور: 10cos⁡35∘≈8.19210\cos 35^\circ \approx 8.192.
  3. زاویهٔ حادهٔ دیگر: 90∘−35∘=55∘90^\circ - 35^\circ = 55^\circ.
  4. وارسی: 5.7362+8.1922≈32.90+67.10=100=1025.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2.

مثال 2: ارتفاع یک درخت از روی سایه‌اش

  1. درختی وقتی خورشید 40∘40^\circ بالای افق است، سایه‌ای به طول 18 متر می‌اندازد.
  2. ارتفاع مقابل زاویه و سایه مجاور آن است، پس از تانژانت استفاده کنید: h=18tan⁡40∘≈15.10h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10 متر.

برای یافتن زاویه از نسبت وارون استفاده کنید. در مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های 3، 4 و 5، زاویهٔ حادهٔ کوچک‌تر برابر tan⁡−134≈36.87∘\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ است.

دو زاویه و یک ضلع (زاویه-زاویه-ضلع، زاویه-ضلع-زاویه)

زاویهٔ سوم را با کم کردن از 180∘180^\circ پیدا کنید. آنگاه همهٔ زاویه‌ها و یک ضلع را دارید که جفتی کامل برای قانون سینوس‌ها است:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

مثال 3 (زاویه-ضلع-زاویه): A=50∘A = 50^\circ، B=65∘B = 65^\circ، c=12c = 12

  1. C=180∘−50∘−65∘=65∘C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ.
  2. a=12sin⁡50∘sin⁡65∘≈10.14a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14.
  3. B=CB = C، پس مثلث متساوی‌الساقین است و بدون محاسبهٔ بیشتر b=c=12b = c = 12.

این حالت‌ها همیشه دقیقاً یک جواب دارند، به شرط آنکه مجموع دو زاویهٔ داده‌شده کمتر از 180∘180^\circ باشد.

دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها (ضلع-زاویه-ضلع)

با قانون کسینوس‌ها ضلع مقابل زاویهٔ معلوم را پیدا کنید. سپس زاویهٔ دوم را بیابید. مطمئن‌ترین انتخاب، زاویهٔ مقابل کوتاه‌تر از دو ضلع اولیه است، چون حتماً حاده است و سینوس وارون آن را بدون ابهام می‌دهد.

مثال 4: b=10b = 10، c=14c = 14، A=110∘A = 110^\circ

  1. a2=102+142−2(10)(14)cos⁡110∘≈296+95.77=391.77a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77، پس a≈19.79a \approx 19.79.
  2. چون AA منفرجه است، BB و CC هر دو حاده‌اند. sin⁡B=10sin⁡110∘19.79\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79} نتیجه می‌دهد B≈28.34∘B \approx 28.34^\circ.
  3. C=180∘−110∘−28.34∘≈41.66∘C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ.
  4. وارسی: بلندترین ضلع، 19.79، روبه‌روی بزرگ‌ترین زاویه، 110∘110^\circ، قرار دارد.

سه ضلع (ضلع-ضلع-ضلع)

نخست مطمئن شوید ضلع‌ها در نابرابری مثلث صدق می‌کنند: هر ضلع باید از مجموع دو ضلع دیگر کوتاه‌تر باشد. سپس از صورت کسینوسی قانون کسینوس‌ها استفاده کنید و از زاویهٔ مقابل بلندترین ضلع شروع کنید:

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

مثال 5: ضلع‌های 6، 8 و 9

  1. زاویهٔ مقابل 9: cos⁡C=36+64−8196=1996\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}، پس C≈78.58∘C \approx 78.58^\circ.
  2. زاویهٔ مقابل 6: cos⁡A=64+81−36144=109144\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}، پس A≈40.80∘A \approx 40.80^\circ.
  3. زاویهٔ مقابل 8: 180∘−78.58∘−40.80∘≈60.61∘180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ.
  4. هر سه زاویه حاده‌اند، همان‌طور که 81<36+6481 < 36 + 64 پیش‌بینی می‌کرد.

دو ضلع و زاویه‌ای که بین آن‌ها نیست (ضلع-ضلع-زاویه)

این حالت مبهم است. زاویهٔ مجهول را با قانون سینوس‌ها، sin⁡B=bsin⁡Aa\sin B = \frac{b\sin A}{a}، پیدا کنید و سپس نتیجه را بررسی کنید:

  • اگر sin⁡B>1\sin B > 1، هیچ مثلثی وجود ندارد.
  • اگر sin⁡B=1\sin B = 1، یک مثلث قائم‌الزاویه وجود دارد.
  • اگر sin⁡B<1\sin B < 1، هر دو مقدار BB و 180∘−B180^\circ - B را بیازمایید. هر کدام که زاویهٔ سوم مثبتی باقی بگذارد، مثلثی معتبر می‌دهد.

برای نمونه، A=30∘A = 30^\circ، a=6a = 6 و b=10b = 10 نتیجه می‌دهند sin⁡B=56\sin B = \frac{5}{6}، پس B≈56.44∘B \approx 56.44^\circ یا 123.56∘123.56^\circ. هر دو جا برای زاویهٔ سوم باقی می‌گذارند، پس دو مثلث وجود دارد. مقالهٔ قانون سینوس‌ها هر دو را به‌طور کامل حل می‌کند و حالت‌های بدون مثلث و یک مثلث را هم شرح می‌دهد.

زاویه‌های فراز و فرود

بسیاری از مسئله‌های کاربردی زاویه‌هایی را توصیف می‌کنند که از خط افقی اندازه گرفته می‌شوند. زاویهٔ فراز رو به بالا به سوی یک جسم اندازه گرفته می‌شود و زاویهٔ فرود رو به پایین. چون خط‌های افقی در محل ناظر و در محل جسم موازی‌اند، زاویهٔ فرود از A به B با زاویهٔ فراز از B به A برابر است.

مثال 6: شیب یک جاده

  1. جاده‌ای مستقیم با زاویهٔ 3∘3^\circ در طول 200 متر افقی بالا می‌رود. چه مقدار ارتفاع می‌گیرد؟
  2. افزایش ارتفاع =200tan⁡3∘≈10.48= 200\tan 3^\circ \approx 10.48 متر.
  3. به صورت درصد شیب، این حدود 5.2 درصد است، چون tan⁡3∘≈0.0524\tan 3^\circ \approx 0.0524.

مسئله‌هایی با دو مشاهده، مانند دیدن بالای یک ساختمان از دو نقطه روی زمین، با ترکیب یک مثلث قائم‌الزاویه و یک مثلث غیرقائم حل می‌شوند و اغلب در بخش غیرقائم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌شود.

فهرست وارسی برای هر پاسخ

  • مجموع سه زاویه 180∘180^\circ است.
  • بلندترین ضلع روبه‌روی بزرگ‌ترین زاویه و کوتاه‌ترین ضلع روبه‌روی کوچک‌ترین زاویه است.
  • هر ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کوتاه‌تر است.
  • محاسبهٔ دوبارهٔ یک ضلع با قانون دیگر، با تقریب گرد کردن، همان مقدار را می‌دهد.
  • پاسخ‌ها فقط در پایان و با دقتی که سؤال می‌خواهد گرد می‌شوند.

وقتی مثلثی حل شد، مساحت آن از 12absin⁡C\frac{1}{2}ab\sin C با هر دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها به دست می‌آید. ماشین‌حساب قانون کسینوس‌ها همهٔ حالت‌های مثلث غیرقائم را گام به گام حل می‌کند و ماشین‌حساب فرمول فاصله مثلث‌هایی را که با مختصات داده شده‌اند بررسی می‌کند.

گرد کردن و دقت

مسئله‌های مثلث چند محاسبه را پشت سر هم زنجیر می‌کنند، پس خطاهای کوچک گرد کردن در آغاز کار ممکن است در پایان به تفاوت‌های آشکار تبدیل شوند. برای هر مقدار میانی دقت کامل ماشین‌حساب را نگه دارید، یا با ذخیرهٔ نتیجه‌ها در حافظه یا با نوشتن دست‌کم چهار رقم بامعنا. فقط پاسخ‌های نهایی را گرد کنید، آن هم با دقتی که سؤال می‌خواهد؛ معمولاً یک یا دو رقم اعشار برای زاویه‌ها بر حسب درجه و تعداد معقولی رقم بامعنا برای طول‌ها.

به سبب گرد کردن، مجموع سه زاویه‌ای که گزارش می‌کنید ممکن است 179.9∘179.9^\circ یا 180.1∘180.1^\circ شود. این خطای روش نیست. اما اگر مجموع یک درجهٔ کامل یا بیشتر اختلاف داشته باشد، جایی اشتباه شده است؛ بیشتر وقت‌ها ضلعی با زاویهٔ نادرست جفت شده یا جوابی منفرجه از قلم افتاده است. یک محاسبهٔ مستقل دوم، مانند یافتن ضلع آخر با هر دو قانون، مطمئن‌ترین راه برای تأیید درستی پاسخ است.

پرسش‌های متداول

برای حل مثلث به چند جزء نیاز دارم؟

سه جزء، که دست‌کم یکی از آن‌ها ضلع باشد. سه زاویه به تنهایی فقط شکل را تعیین می‌کنند. آرایش ضلع-ضلع-زاویه ممکن است صفر، یک یا دو مثلث بدهد، پس به وارسی بیشتری نیاز دارد.

برای مثلث غیرقائم از کدام قانون شروع کنم؟

اگر یک ضلع و زاویهٔ مقابلش را دارید، با قانون سینوس‌ها شروع کنید. اگر حالت ضلع-زاویه-ضلع یا ضلع-ضلع-ضلع را دارید، چنین جفتی وجود ندارد، پس با قانون کسینوس‌ها شروع کنید.

چرا در مسئله‌های ضلع-ضلع-ضلع نخست بزرگ‌ترین زاویه را پیدا می‌کنیم؟

فقط بزرگ‌ترین زاویه می‌تواند منفرجه باشد. یافتن آن با کسینوس وارون آن را درست مشخص می‌کند و آنگاه دو زاویهٔ دیگر حتماً حاده‌اند، پس ابهامی باقی نمی‌ماند.

آیا می‌توان مثلث را از روی سه زاویه حل کرد؟

نه به‌طور یکتا. هر بزرگ‌نمایی مثلث همان زاویه‌ها را دارد، پس می‌توانید نسبت ضلع‌ها را پیدا کنید ولی نه طول آن‌ها را. برای تعیین اندازه به طول یک ضلع نیاز است.

یادیار انگلیسی «سوکاتوا» به چه معناست؟

یادیاری انگلیسی برای نسبت‌های مثلث قائم‌الزاویه است: سینوس برابر ضلع مقابل بر وتر، کسینوس برابر ضلع مجاور بر وتر و تانژانت برابر ضلع مقابل بر ضلع مجاور. هجاهای آن از حرف‌های آغازین نام انگلیسی این نسبت‌ها و ضلع‌ها ساخته شده‌اند.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.