رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

مثلثات

قانون سینوس‌ها، همراه با حالت مبهم

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

قانون سینوس‌ها می‌گوید در هر مثلث، هر ضلع تقسیم بر سینوس زاویهٔ روبه‌رویش عدد یکسانی می‌دهد. این قانون مثلث را وقتی دو زاویه و یک ضلع معلوم است حل می‌کند و با دقت، وقتی دو ضلع و زاویهٔ روبه‌روی یکی از آن‌ها معلوم است.

فرمول و قرارداد نام‌گذاری

زاویه‌های مثلث را AA، BB و CC بنامید و ضلع روبه‌روی هر زاویه را به ترتیب aa، bb و cc. ضلع روبه‌روی یک زاویه ضلعی است که به آن زاویه نمی‌چسبد. با این قرارداد، قانون سینوس‌ها می‌گوید:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

در اینجا RR شعاع دایره‌ای است که از هر سه رأس می‌گذرد و دایرهٔ محیطی نام دارد. همیشه فقط دو کسر از سه کسر را هم‌زمان به کار می‌برید، پس این قانون در واقع تناسبی میان یک ضلع، زاویهٔ روبه‌رویش، ضلعی دیگر و زاویهٔ روبه‌روی آن است. می‌توان آن را وارونه هم نوشت، sin⁡Aa=sin⁡Bb\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}، که وقتی مجهول یک زاویه است راحت‌تر است.

این قانون برای هر مثلثی کار می‌کند، نه فقط مثلث قائم‌الزاویه، و به همین دلیل بخشی از چیزی است که اغلب مثلثات مثلث‌های غیرقائم نامیده می‌شود. در مثلث قائم‌الزاویه با C=90∘C = 90^\circ، به رابطهٔ آشنای sin⁡A=ac\sin A = \frac{a}{c} تبدیل می‌شود، چون sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1.

چرا قانون سینوس‌ها درست است

از رأس CC عمودی بر ضلع cc رسم کنید و طولش را hh بنامید. این عمود مثلث را به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم می‌کند. در مثلثی که زاویهٔ AA را دارد، وتر bb است، پس h=bsin⁡Ah = b\sin A. در مثلثی که زاویهٔ BB را دارد، وتر aa است، پس h=asin⁡Bh = a\sin B.

هر دو عبارت برابر یک ارتفاع‌اند، پس bsin⁡A=asin⁡Bb\sin A = a\sin B. تقسیم دو طرف بر sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B می‌دهد asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}. تکرار همین استدلال با ارتفاعی از رأسی دیگر، ضلع cc را وارد می‌کند. اگر زاویهٔ AA منفرجه باشد، پای ارتفاع بیرون مثلث می‌افتد، اما همان معادله‌ها برقرارند، چون sin⁡(180∘−A)=sin⁡A\sin(180^\circ - A) = \sin A.

همین ارتفاع فرمول مساحت را هم می‌دهد. مساحت نصف قاعده ضرب در ارتفاع است، پس با قاعدهٔ cc و ارتفاع bsin⁡Ab\sin A:

مساحت=12bcsin⁡A=12acsin⁡B=12absin⁡C\text{مساحت} = \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}ac\sin B = \tfrac{1}{2}ab\sin C

برای مثال، مثلثی با دو ضلع 8 و 11 که با زاویهٔ 50∘50^\circ به هم می‌رسند، مساحتی برابر 12(8)(11)sin⁡50∘≈33.71\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71 واحد مربع دارد.

کی از آن استفاده کنیم: زاویه-زاویه-ضلع و زاویه-ضلع-زاویه

قانون سینوس‌ها دست‌کم به یک جفت کامل نیاز دارد: یک ضلع همراه با زاویهٔ روبه‌رویش. اگر دو زاویه را بدانید، سومی را هم می‌دانید، چون مجموع زاویه‌های مثلث 180∘180^\circ است. پس هر مسئله‌ای که دو زاویه و یک ضلع می‌دهد با قانون سینوس‌ها کامل می‌شود. این حالت‌ها زاویه-زاویه-ضلع و زاویه-ضلع-زاویه نامیده می‌شوند.

مثال 1 (زاویه-زاویه-ضلع): A=40∘A = 40^\circ، B=60∘B = 60^\circ، a=10a = 10

  1. زاویهٔ سوم: C=180∘−40∘−60∘=80∘C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ.
  2. یافتن bb: bsin⁡60∘=10sin⁡40∘\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}، پس b=10sin⁡60∘sin⁡40∘≈13.47b = \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13.47.
  3. یافتن cc: c=10sin⁡80∘sin⁡40∘≈15.32c = \frac{10\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.32.
  4. وارسی عقلانی: بزرگ‌ترین زاویه، 80∘80^\circ، روبه‌روی بلندترین ضلع، 15.32، قرار دارد.

مثال 2 (زاویه-ضلع-زاویه): A=35∘A = 35^\circ، C=75∘C = 75^\circ، b=20b = 20

  1. ضلع معلوم میان دو زاویهٔ معلوم است. ابتدا B=180∘−35∘−75∘=70∘B = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ را پیدا کنید که جفت bb و BB را کامل می‌کند.
  2. a=20sin⁡35∘sin⁡70∘≈12.21a = \frac{20\sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 12.21.
  3. c=20sin⁡75∘sin⁡70∘≈20.56c = \frac{20\sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 20.56.

در هر محاسبه از ضلع داده‌شده استفاده کنید، نه ضلعی که خودتان حساب و گرد کرده‌اید. این کار جلوی انباشته شدن خطای گرد کردن را می‌گیرد.

حالت مبهم (ضلع-ضلع-زاویه)

وقتی دو ضلع و زاویهٔ روبه‌روی یکی از آن‌ها را می‌دانید، این اطلاعات ممکن است هیچ مثلثی، دقیقاً یک مثلث یا دو مثلث متفاوت را توصیف کند. دلیلش این است که سینوس یک زاویهٔ حاده با سینوس مکملش برابر است، پس حل sin⁡B=k\sin B = k دو زاویهٔ احتمالی BB و 180∘−B180^\circ - B می‌دهد و ممکن است هر دو جور دربیایند.

فرض کنید زاویهٔ AA حاده باشد، aa ضلع روبه‌روی آن و bb ضلع معلوم دیگر. ارتفاع h=bsin⁡Ah = b\sin A را حساب کنید. آنگاه:

  • اگر a<ha < h، ضلع کوتاه‌تر از آن است که به قاعده برسد: هیچ مثلثی.
  • اگر a=ha = h، درست به قاعده می‌رسد: یک مثلث قائم‌الزاویه.
  • اگر h<a<bh < a < b، می‌تواند در دو وضعیت قرار گیرد: دو مثلث.
  • اگر a≥ba \ge b، فقط یک وضعیت ممکن است: یک مثلث.

اگر AA منفرجه باشد، وقتی a>ba > b یک مثلث وجود دارد و در غیر این صورت هیچ، چون ضلع روبه‌روی زاویهٔ منفرجه باید بلندترین ضلع باشد.

مثال 3: دو مثلث از A=30∘A = 30^\circ، a=6a = 6، b=10b = 10

  1. ارتفاع: h=10sin⁡30∘=5h = 10\sin 30^\circ = 5. چون 5<6<105 < 6 < 10، انتظار دو مثلث را داریم.
  2. sin⁡B=10sin⁡30∘6=56≈0.8333\sin B = \frac{10\sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333، پس B≈56.44∘B \approx 56.44^\circ یا B≈123.56∘B \approx 123.56^\circ.
  3. مثلث اول: C≈93.56∘C \approx 93.56^\circ و c=6sin⁡Csin⁡30∘≈11.98c = \frac{6\sin C}{\sin 30^\circ} \approx 11.98.
  4. مثلث دوم: C≈26.44∘C \approx 26.44^\circ و c≈5.34c \approx 5.34.

مثال 4: هیچ مثلث و یک مثلث

  1. با A=30∘A = 30^\circ، a=4a = 4، b=10b = 10: sin⁡B=10(0.5)4=1.25\sin B = \frac{10(0.5)}{4} = 1.25. سینوس نمی‌تواند از 1 بیشتر شود، پس هیچ مثلثی وجود ندارد.
  2. با A=30∘A = 30^\circ، a=12a = 12، b=10b = 10: sin⁡B=512\sin B = \frac{5}{12}، پس B≈24.62∘B \approx 24.62^\circ یا 155.38∘155.38^\circ.
  3. گزینهٔ دوم رد می‌شود، چون 30∘+155.38∘>180∘30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ. یک مثلث: C≈125.38∘C \approx 125.38^\circ، c≈19.57c \approx 19.57.

یک مسئلهٔ نقشه‌برداری

نقشه‌برداران با قانون سینوس‌ها فاصله‌هایی را می‌سنجند که نمی‌توانند پیاده طی کنند. دو نقطهٔ PP و QQ روی یک کرانهٔ رودخانه 100 متر از هم فاصله دارند. درخت TT در کرانهٔ مقابل است. زاویهٔ میان کرانه و خط دید به درخت در PP برابر 52∘52^\circ و در QQ برابر 71∘71^\circ است.

مثال 5: پهنای رودخانه

  1. زاویه در درخت: 180∘−52∘−71∘=57∘180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ که روبه‌روی خط پایهٔ معلوم 100 متری است.
  2. فاصلهٔ QQ تا درخت، روبه‌روی زاویهٔ 52∘52^\circ: QT=100sin⁡52∘sin⁡57∘≈93.96QT = \frac{100\sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 93.96 متر.
  3. فاصلهٔ PP تا درخت: PT=100sin⁡71∘sin⁡57∘≈112.74PT = \frac{100\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 112.74 متر.
  4. پهنا، یعنی فاصلهٔ عمودی درخت تا کرانه: QTsin⁡71∘≈88.84QT\sin 71^\circ \approx 88.84 متر. استفاده از PTsin⁡52∘PT\sin 52^\circ همین مقدار را می‌دهد که وارسی سودمندی است.

همین ایدهٔ مثلث‌بندی، با تکرار در شبکه‌های بزرگی از مثلث‌ها، پیش از وجود موقعیت‌یابی ماهواره‌ای برای نقشه‌برداری از کل کشورها به کار می‌رفت و هنوز پایهٔ روشی است که گیرنده‌های موقعیت‌یابی و شبکه‌های تلفن همراه با آن از روی زاویه‌ها و فاصله‌ها موقعیت را برآورد می‌کنند.

قانون سینوس‌ها یا قانون کسینوس‌ها؟

ببینید چه چیزی داده شده است. اگر یک ضلع و زاویهٔ روبه‌رویش به‌علاوهٔ یک جزء دیگر را دارید، از قانون سینوس‌ها استفاده کنید. اگر دو ضلع و زاویهٔ میانشان (ضلع-زاویه-ضلع) یا هر سه ضلع (ضلع-ضلع-ضلع) را دارید، هیچ جفت کاملی در دسترس نیست، پس با قانون کسینوس‌ها شروع کنید. پس از یک بار به کار بردن قانون کسینوس‌ها معمولاً یک جفت خواهید داشت و قانون سینوس‌ها می‌تواند کار را تمام کند، هرچند مطمئن‌تر است که بزرگ‌ترین زاویه را ابتدا با قانون کسینوس‌ها پیدا کنید تا از ابهام وارون سینوس پرهیز شود.

فرایند کامل تصمیم‌گیری، حالت به حالت، در راهنمای حل مثلث آمده است. برای خود مقدارهای زاویه، دایرهٔ واحد توضیح می‌دهد چرا sin⁡θ=sin⁡(180∘−θ)\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta) که سرچشمهٔ حالت مبهم است.

اشتباه‌های رایج

  • جفت کردن یک ضلع با زاویه‌ای که روبه‌رویش نیست. ابتدا مثلث را بکشید و نام‌گذاری کنید.
  • فراموش کردن جواب دوم 180∘−B180^\circ - B در حالت ضلع-ضلع-زاویه.
  • پذیرفتن جواب دومی که مجموع زاویه‌ها را بیش از 180∘180^\circ می‌کند.
  • استفاده از ماشین‌حساب در حالت رادیان با زاویه‌های درجه‌ای.
  • گرد کردن زیاد زاویه‌های میانی، که می‌تواند ضلع‌های نهایی را به‌طور محسوسی جابه‌جا کند.

یک آزمون سریع باورپذیری بیشتر خطاها را می‌گیرد: بلندترین ضلع باید روبه‌روی بزرگ‌ترین زاویه و کوتاه‌ترین ضلع روبه‌روی کوچک‌ترین زاویه باشد. ماشین‌حساب قانون کسینوس‌ها هر مثلثی را از سه جزء معلوم حل می‌کند و در حالت مبهم هر دو جواب را گزارش می‌دهد، پس می‌توانید کارتان را وارسی کنید.

پرسش‌های متداول

آیا قانون سینوس‌ها برای مثلث قائم‌الزاویه هم کار می‌کند؟

بله. با C=90∘C = 90^\circ، sin⁡C=1\sin C = 1 است، پس asin⁡A=c\frac{a}{\sin A} = c که با بازآرایی به تعریف معمول sin⁡A=ac\sin A = \frac{a}{c} می‌رسد. برای مثلث قائم‌الزاویه نسبت‌های پایه معمولاً سریع‌ترند، اما قانون سینوس‌ها همان جواب‌ها را می‌دهد.

چرا حالت ضلع-ضلع-زاویه گاهی دو مثلث می‌دهد؟

حل sin⁡B=k\sin B = k برای 0<k<10 < k < 1 یک زاویهٔ حاده و مکمل منفرجهٔ آن را می‌دهد که هر دو سینوس یکسانی دارند. اگر زاویهٔ معلوم به‌علاوهٔ گزینهٔ منفرجه هنوز کمتر از 180∘180^\circ باشد، هر دو مثلث وجود دارند.

2R در قانون سینوس‌ها یعنی چه؟

هر نسبت asin⁡A\frac{a}{\sin A} برابر قطر دایره‌ای است که از سه رأس می‌گذرد. برای مثال، مثلثی با a=10a = 10 و A=30∘A = 30^\circ نسبت 100.5=20\frac{10}{0.5} = 20 را دارد، پس دایرهٔ محیطی‌اش شعاع 10 دارد.

آیا قانون سینوس‌ها می‌تواند زاویه را پیدا کند؟

بله، با حل sin⁡B=bsin⁡Aa\sin B = \frac{b\sin A}{a} و گرفتن وارون سینوس. به یاد داشته باشید که وارون سینوس فقط زاویه‌های حاده برمی‌گرداند، پس بررسی کنید که آیا مکمل منفرجه هم جور درمی‌آید.

از کجا بفهمم مسئلهٔ مثلثم کدام حالت است؟

سه جزء معلوم را به ترتیب دور مثلث فهرست کنید. دو زاویه با هر ضلعی، زاویه-زاویه-ضلع یا زاویه-ضلع-زاویه است و قانون سینوس‌ها آن را مستقیم حل می‌کند. دو ضلع با زاویهٔ میانشان ضلع-زاویه-ضلع است و سه ضلع ضلع-ضلع-ضلع؛ هر دو ابتدا به قانون کسینوس‌ها نیاز دارند. دو ضلع با زاویه‌ای که میانشان نیست ضلع-ضلع-زاویه، یعنی حالت مبهم، است که در آن باید وجود صفر، یک یا دو مثلث را بیازمایید.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.