رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتی

معادله‌ای وارد کنید تا به عنوان اتحاد مثلثاتی اثبات یا رد شود، یا عبارتی وارد کنید تا ساده شود، همراه با اثباتی روشمند بر حسب سینوس و کسینوس که گام‌به‌گام نوشته شده است.

عبارتی برای ساده‌سازی، یا اتحادی با = برای اثبات بنویسید. از sin، cos، tan، cot، sec و csc؛ توان‌هایی مانند sin^2(x) یا sin(x)^2؛ و زاویه‌هایی مانند 2x یا x + pi/2 استفاده کنید.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتی

اثبات اتحادهای مثلثاتی از ترسناک‌ترین مبحث‌های پیش‌حسابان است. ده‌ها فرمول برای به خاطر سپردن هست، هیچ گام اول بدیهی‌ای وجود ندارد و اثبات ممکن است نیم صفحه پیش برود و بعد کامل شود یا از هم بپاشد. دانش‌آموزان اغلب اتحادها را خوب می‌دانند و باز هم گیر می‌کنند، چون نمی‌بینند کدام را باید بعد از همه به کار ببرند.

این ماشین‌حساب با پیروی هر بار از یک راهبرد قابل اعتماد، حدس زدن را حذف می‌کند. هر دو طرف را فقط با sin⁡x\sin x و cos⁡x\cos x می‌نویسد، زاویه‌های چندبرابر مانند 2x2x و 3x3x را باز می‌کند، همه چیز را با مخرج مشترک به یک طرف می‌برد و سپس به جای هر cos⁡2x\cos^2 x عبارت 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x را می‌گذارد. اگر صورت صفر شود، اتحاد اثبات شده است؛ اگر نشود، معادله اتحاد نیست و ماشین‌حساب زاویهٔ مشخصی را نشان می‌دهد که دو طرف در آن با هم فرق دارند.

می‌توانید عبارتی بدون علامت مساوی هم وارد کنید. آنگاه ماشین‌حساب آن را با همان سازوکار ساده می‌کند و نتیجه‌های استاندارد را تشخیص می‌دهد، مثلاً tan⁡x+cot⁡x\tan x + \cot x را به sec⁡xcsc⁡x\sec x \csc x تبدیل می‌کند. روش مکانیکی است و هدف دقیقاً همین است: وقتی ببینید چطور کار می‌کند، می‌توانید آن را با دست روی هر اتحادی در تمرین‌های کتاب درسی اجرا کنید.

اتحاد مثلثاتی چیست؟

اتحاد مثلثاتی معادله‌ای شامل تابع‌های مثلثاتی است که به ازای هر مقدار متغیر که هر دو طرف در آن تعریف شده باشند درست است. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 یک اتحاد است؛ اما sin⁡x=12\sin x = \frac12 معادله‌ای است که فقط در زاویه‌های خاصی درست است، پس اتحاد نیست.

عبارت «جایی که هر دو طرف تعریف شده باشند» مهم است. 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x اتحاد است، هرچند هیچ‌کدام از دو طرف در x=90°x = 90° وجود ندارد، چون معادله در هر زاویه‌ای که دو عبارت معنا دارند برقرار است. پس اثبات نشان می‌دهد که دو طرف هر جا تعریف شده باشند برابرند، نه اینکه به ازای هر عدد حقیقی برابرند.

اتحادها ابزارند، نه هدف. از آن‌ها برای ساده کردن عبارت‌ها پیش از انتگرال‌گیری، حل معادله‌های مثلثاتی، بازنویسی موج‌ها در فیزیک و مهندسی و تبدیل حاصل‌ضرب سینوس‌ها و کسینوس‌ها به مجموع استفاده می‌شود. تشخیص اینکه دو عبارت با ظاهر متفاوت در واقع برابرند مهارتی است که در سراسر حسابان به کار می‌آید.

چگونه از ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتی استفاده کنیم

  1. برای اثبات اتحاد، معادله‌ای با یک علامت مساوی بنویسید، مانند 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2.
  2. برای ساده‌سازی، عبارتی بدون علامت مساوی بنویسید، مانند tan(x) + cot(x).
  3. از یک متغیر استفاده کنید که معمولاً xx است. توان‌ها را می‌توان به شکل sin(x)^2 یا sin^2(x) نوشت.
  4. زاویه‌های چندبرابر مانند 2x و 3x و انتقال‌ها به اندازهٔ مضرب‌های pi/2 مانند x + pi/2 پشتیبانی می‌شوند.
  5. دکمهٔ «ساده کن / ثابت کن» را بزنید و گام‌ها را بخوانید؛ اگر اتحاد نادرست باشد، به زاویهٔ مثال نقض توجه کنید.

فرمول‌ها

اتحاد فیثاغورسی

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

اتحادهای خارج‌قسمتی

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

اتحادهای معکوس

sec⁡x=1cos⁡x,csc⁡x=1sin⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

زاویهٔ دوبرابر

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\sin 2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

انتقال ربع دور

sin⁡(x+π2)=cos⁡x,cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x,\quad \cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x

مثال حل‌شده: اثبات 1 + tan²x = sec²x

مثال حل‌شده 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x را اثبات می‌کند. طرف چپ به 1+sin⁡2xcos⁡2x1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} و طرف راست به 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} تبدیل می‌شود، پس هر تابع سینوس یا کسینوس می‌شود.

تفریق دو طرف روی مخرج مشترک cos⁡2x\cos^2 x صورت cos⁡2x+sin⁡2x−1\cos^2 x + \sin^2 x - 1 را باقی می‌گذارد. گذاشتن 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x به جای cos⁡2x\cos^2 x باعث می‌شود همهٔ جمله‌ها حذف شوند، پس صورت به طور یکسان صفر است و اتحاد هر جا که cos⁡x≠0\cos x \neq 0 باشد برقرار است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

1+tan⁡(x)2≡sec⁡(x)21+{\tan\left( x\right)}^{2} \equiv {\sec\left( x\right)}^{2}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

اثبات یک اتحاد مثلثاتی

1+tan⁡(x)2=sec⁡(x)21+{\tan\left( x\right)}^{2} = {\sec\left( x\right)}^{2}

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. همه چیز را بر حسب sin x و cos x بنویسید

    اتحادهای به‌کاررفته:

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

  2. طرف چپ بر حسب سینوس و کسینوس

    −1sin⁡2x−1\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}

  3. طرف راست بر حسب سینوس و کسینوس

    −1sin⁡2x−1\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}

  4. دو طرف را از هم کم کنید و تفاضل را روی مخرج مشترک بنویسید

    اتحاد دقیقاً وقتی درست است که این صورت به ازای هر مقدار متغیر صفر باشد.

    طرف چپ−طرف راست=ND,N=cos⁡2x+sin⁡2x−1\text{طرف چپ} - \text{طرف راست} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1

  5. به جای هر cos²x مقدار 1 − sin²x را بگذارید و جمله‌ها را جمع کنید

    N=0N = 0

  6. صورت به طور یکسان صفر است

    پس از استفاده از sin² + cos² = 1 همهٔ جمله‌ها حذف شدند، پس دو طرف هر جا تعریف شده باشند برابرند.

فرمول‌های به‌کاررفته

  • اتحاد فیثاغورسی

    sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

  • اتحادهای خارج‌قسمتی و معکوس

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ, sec⁡θ=1cos⁡θ, csc⁡θ=1sin⁡θ\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta}

  • زاویهٔ دوبرابر

    sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,\ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta

پس از نوشتن هر دو طرف بر حسب سینوس و کسینوس و گذاشتن 1 − sin² به جای cos²، تفاضل دو طرف دقیقاً 0 است، پس 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2 به ازای هر x که هر دو طرف در آن تعریف شده‌اند برقرار است.

بررسی‌ها

  • بررسی عددی در 10 مقدار نمونه: دو طرف با هم برابرند.

توضیح کامل

راهبرد سینوس و کسینوس

هر تابع مثلثاتی را می‌توان بر حسب سینوس و کسینوس نوشت، پس تبدیل همه چیز به این دو تابع دو طرف اتحاد را به زبانی مشترک می‌برد. تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت در کسرها ناپدید می‌شوند و مسئله به پرسشی دربارهٔ عبارت‌های کسری بر حسب sin⁡x\sin x و cos⁡x\cos x تبدیل می‌شود.

وقتی هر دو طرف کسر شدند، تفریق آن‌ها و جمع کردنشان روی مخرج مشترک اتحاد را به یک عبارت واحد تبدیل می‌کند: صورتی مشخص که باید صفر باشد. نیازی به بررسی بیشتر مخرج‌ها نیست، چون آن‌ها فقط جاهایی را ثبت می‌کنند که عبارت‌های اصلی تعریف نشده بودند.

مانع آخر این است که sin⁡x\sin x و cos⁡x\cos x مستقل نیستند؛ با sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 به هم مربوط‌اند. گذاشتن توان‌های 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x به جای هر توان زوج کسینوس این وابستگی را از توان‌های زوج حذف می‌کند. پس از جمع کردن جمله‌های متشابه، اتحاد درست چیزی باقی نمی‌گذارد. به همین دلیل روش برای عبارت‌هایی که می‌پذیرد همیشه به پاسخی روشن می‌رسد، برخلاف روش آزمون و خطا که یک طرف را انتخاب می‌کند و گام‌به‌گام تغییرش می‌دهد.

زاویه‌های چندبرابر و انتقال‌ها

زاویه‌هایی مانند 2x2x و 3x3x ابتدا به تابع‌هایی از خود xx باز می‌شوند. فرمول‌های زاویهٔ دوبرابر sin⁡2x\sin 2x و cos⁡2x\cos 2x را می‌دهند و استفادهٔ مکرر از فرمول‌های جمع sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x را می‌دهد. ماشین‌حساب این اتحاد و همچنین cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x را دقیقاً از همان مسیری بررسی می‌کند که هر ورودی دیگر را.

انتقال‌ها به اندازهٔ مضرب‌های π2\frac{\pi}{2} با قاعده‌های تابع‌های متمم و ربع دور پردازش می‌شوند. به طور کلی ماشین‌حساب هر زاویه به شکل kx+m⋅π2kx + m\cdot\frac{\pi}{2} را که در آن kk و mm عدد صحیح‌اند می‌پذیرد. اما نیم‌زاویه‌هایی مانند x2\frac{x}{2} و انتقال‌های دلخواه مانند x+1x + 1 را نمی‌توان به چندجمله‌ای‌هایی بر حسب sin⁡x\sin x و cos⁡x\cos x برگرداند، پس ماشین‌حساب به جای ارائهٔ اثباتی غیرقابل اعتماد، آن‌ها را با توضیح رد می‌کند.

ماشین‌حساب با یک متغیر کار می‌کند. فرمول جمعی مانند sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y دو زاویهٔ مستقل دارد و خارج از محدودهٔ آن است؛ ماشین‌حساب به جای تلاش برای اثباتش همین را می‌گوید.

رد کردن یک معادله

اگر صورت به صفر نرسد، معادله اتحاد نیست. برای روشن کردن این موضوع، ماشین‌حساب دو طرف را در یک زاویهٔ نمونه حساب می‌کند و نشان می‌دهد که با هم فرق دارند. برای خطای رایج sin⁡2x=2sin⁡x\sin 2x = 2\sin x گزارش می‌دهد که در x=30°x = 30° طرف چپ حدود 0.8660.866 و طرف راست 11 است.

یک مثال نقض برای رد اتحاد کافی است، اما هیچ تعداد مثال سازگار برای اثبات آن کافی نیست. دو عبارت ممکن است به‌طور اتفاقی در زاویه‌های زیادی بر هم منطبق باشند. به همین دلیل اثبات ماشین‌حساب جبری است و به همین دلیل بررسی چند مقدار روی نمودار آزمون اولیهٔ خوبی است اما جای اثبات را نمی‌گیرد.

ساده کردن عبارت‌ها

بدون علامت مساوی، ماشین‌حساب عبارت را بر حسب سینوس و کسینوس می‌نویسد، در یک کسر واحد جمع می‌کند، از اتحاد فیثاغورسی استفاده می‌کند و عامل‌های مشترک را حذف می‌کند. سپس نتیجه را با شکل‌های استاندارد مقایسه می‌کند. در tan⁡x+cot⁡x\tan x + \cot x کسر واحد sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} به 1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x} ساده می‌شود و ماشین‌حساب آن را sec⁡xcsc⁡x\sec x\csc x تشخیص می‌دهد.

در مثلثات به‌ندرت فقط یک شکل سادهٔ درست وجود دارد. sec⁡xcsc⁡x\sec x\csc x و 1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x} و 2sin⁡2x\frac{2}{\sin 2x} همه هم‌ارزند. ماشین‌حساب یک شکل استاندارد فشرده را انتخاب می‌کند و گام‌ها کسرهای میانی را نشان می‌دهند تا بتوانید در شکلی که درس شما انتظار دارد توقف کنید.

نوشتن اثبات با دست

معلم‌ها اغلب می‌خواهند یک طرف را به طرف دیگر تبدیل کنید، نه اینکه دو طرف را از هم کم کنید، چون کار روی هر دو طرف با هم ممکن است گام‌های نادرستی مانند مربع کردن را پنهان کند. گام‌های ماشین‌حساب مستقیماً به این سبک ترجمه می‌شوند. از طرف پیچیده‌تر شروع کنید، آن را بر حسب سینوس و کسینوس بنویسید، کسرها را جمع کنید، sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 را در جهت مفید به کار ببرید و ساده کنید تا با طرف دیگر یکی شود.

حرکت‌های مفید عبارت‌اند از ضرب در مزدوج، مانند اثبات 1−cos⁡xsin⁡x=sin⁡x1+cos⁡x\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}، تجزیهٔ تفاضل دو مربع، مانند sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)، و شکستن کسر به جمله‌های جدا. ماشین‌حساب تأیید می‌کند که هر دو اتحاد درست‌اند تا شما روی ارائهٔ مرتب استدلال تمرکز کنید.

اشتباه‌های رایج

  • در نظر گرفتن sin⁡2x\sin 2x به جای 2sin⁡x2\sin x؛ فرمول زاویهٔ دوبرابر 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x است.
  • نوشتن sin⁡(a+b)=sin⁡a+sin⁡b\sin(a + b) = \sin a + \sin b؛ تابع‌های مثلثاتی جمع‌پذیر نیستند.
  • حذف کردن از میان یک مجموع، مثلاً ساده کردن sin⁡x+cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x + \cos x}{\sin x} به 1+cos⁡x1 + \cos x.
  • مربع کردن دو طرف در حین اثبات، که ممکن است گزاره‌ای نادرست را درست جلوه دهد.
  • بررسی چند زاویه و نتیجه گرفتن اینکه اتحاد اثبات شده است.

نکته‌ها

  • از طرف پیچیده‌تر شروع کنید؛ چیزهای بیشتری برای ساده کردن دارد.
  • وقتی گام دیگری به چشم نمی‌آید، همه چیز را به سینوس و کسینوس تبدیل کنید.
  • پس از جمع کردن کسرها، دنبال sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x پنهان در صورت باشید.
  • وقتی 1±sin⁡x1 \pm \sin x یا 1±cos⁡x1 \pm \cos x را در مخرج می‌بینید، در مزدوج ضرب کنید.
  • پیش از صرف وقت برای اثبات، اتحاد را در یک زاویه، مثلاً 30°30°، آزمایش کنید.
  • از ماشین‌حساب دایرهٔ واحد برای محاسبهٔ سریع دو طرف در زاویه‌های خاص استفاده کنید.

پرسش‌های متداول

ماشین‌حساب اتحاد را چطور اثبات می‌کند؟

دو طرف را بر حسب سینوس و کسینوس می‌نویسد، روی مخرج مشترک از هم کم می‌کند و به جای cos²x عبارت 1 − sin²x را می‌گذارد. اگر صورت صفر شود، اتحاد هر جا که دو طرف تعریف شده باشند درست است.

اگر معادلهٔ من اتحاد نباشد چه می‌شود؟

ماشین‌حساب همین را می‌گوید و یک مثال نقض می‌دهد، یعنی زاویه‌ای که مقدار دو طرف در آن فرق دارد، مانند x = 30° برای sin 2x = 2 sin x.

آیا می‌تواند عبارت مثلثاتی بدون علامت مساوی را ساده کند؟

بله. فقط عبارت را وارد کنید. در یک کسر جمع می‌شود، با sin²x + cos²x = 1 ساده می‌شود و با یک شکل استاندارد تطبیق داده می‌شود؛ مثلاً tan x + cot x به sec x csc x تبدیل می‌شود.

چه زاویه‌هایی پشتیبانی می‌شوند؟

زاویه‌هایی به شکل kx به‌علاوهٔ مضربی از π/2، که k عدد صحیح است، مانند 2x یا 3x یا x + π/2. نیم‌زاویه‌هایی مانند x/2 و عبارت‌های دومتغیره پشتیبانی نمی‌شوند و ماشین‌حساب دلیلش را توضیح می‌دهد.

چرا پاسخ می‌گوید «جایی که هر دو طرف تعریف شده باشند»؟

برخی اتحادها شامل تابع‌هایی‌اند که در زاویه‌های خاصی تعریف نشده‌اند، مانند tan x در 90°. اتحاد فقط باید جایی برقرار باشد که هر دو طرف وجود دارند.

آیا می‌تواند sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y را اثبات کند؟

نه. این فرمول دو متغیر مستقل دارد و ماشین‌حساب با یک متغیر کار می‌کند. به جای تلاش برای اثبات، همین را اعلام می‌کند.

مربع تابع‌های مثلثاتی را چطور بنویسم؟

هم sin(x)^2 و هم نگارش کتاب درسی sin^2(x) کار می‌کنند؛ ماشین‌حساب هر دو را مربع sin x می‌خواند. همین برای پنج تابع دیگر هم صدق می‌کند.

آیا بررسی نمودار برای اثبات اتحاد کافی است؟

نه. منطبق بودن منحنی‌ها به‌شدت نشان می‌دهد که اتحادی در کار است اما آن را اثبات نمی‌کند. اثباتی جبری مانند آنچه ماشین‌حساب نشان می‌دهد لازم است؛ اما یک بار منطبق نبودن برای رد آن کافی است.

اتحادتان را اثبات یا ساده کنید

اتحاد یا عبارتی در بالا وارد کنید تا اثباتی کامل بر حسب سینوس و کسینوس، یا اگر درست نباشد یک مثال نقض، ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب دایرهٔ واحدمثلثاتماشین‌حساب قانون کسینوس‌هامثلثاتماشین‌حساب کسرریاضی عمومیماشین‌حساب درصدریاضی عمومیماشین‌حساب ب.م.مریاضی عمومیماشین‌حساب ک.م.مریاضی عمومی