دایرهٔ واحد: رادیان، زاویهٔ مرجع و مقدارهای دقیق مثلثاتی

دایرهٔ واحد چیست

دایرهٔ واحد دایره‌ای به شعاع 1 و به مرکز مبدأ است، با معادلهٔ $x^2 + y^2 = 1$. زاویه‌ها از جهت مثبت محور x اندازه گرفته می‌شوند؛ زاویه‌های مثبت در جهت پادساعتگرد و زاویه‌های منفی در جهت ساعتگرد. ضلعی که زاویه از آن شروع می‌شود ضلع آغازین و ضلعی که در آن پایان می‌یابد ضلع پایانی نام دارد.

برای هر زاویهٔ $\theta$، ضلع پایانی دایره را دقیقاً در یک نقطه قطع می‌کند. تعریفی که دایرهٔ واحد را این‌قدر سودمند می‌کند این است که مختصات این نقطه $(\cos\theta, \sin\theta)$ است. تانژانت نسبت این دو است:

برای زاویه‌های حاده این با تعریف‌های مثلث قائم‌الزاویه که احتمالاً می‌شناسید سازگار است. از نقطه عمودی بر محور x رسم کنید تا مثلثی قائم‌الزاویه با وتر 1، ضلع مجاور $x$ و ضلع مقابل $y$ به دست آید. پس $\cos\theta = \frac{x}{1}$ و $\sin\theta = \frac{y}{1}$. دایرهٔ واحد این تعریف‌ها را به همهٔ زاویه‌ها، از جمله زاویه‌های منفرجه، منفی و بسیار بزرگ، گسترش می‌دهد.

درجه و رادیان

یک دور کامل $360^\circ$ یا $2\pi$ رادیان است. یک رادیان زاویه‌ای است که کمانی برابر با طول شعاع جدا می‌کند. روی دایرهٔ واحد که شعاعش 1 است، اندازهٔ رادیانی زاویه دقیقاً طول کمانی است که جدا می‌کند، و به همین دلیل رادیان یکای طبیعی حسابان است.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$، $45^\circ = \frac{\pi}{4}$، $60^\circ = \frac{\pi}{3}$، $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• $\frac{7\pi}{4}$ رادیان $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• یک رادیان حدود $57.3^\circ$ است.

زاویه‌های خاص در ربع اول

سه زاویه مقدارهای دقیقی دارند که از دو مثلث آشنا به دست می‌آیند. زاویهٔ $45^\circ$ از مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقینی با وتر 1 می‌آید که هر دو ضلع قائمش $\frac{\sqrt{2}}{2}$ است. زاویه‌های $30^\circ$ و $60^\circ$ از نیمهٔ یک مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع 1 می‌آیند که ضلع‌های قائمش $\frac{1}{2}$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ هستند.

• $0$: نقطهٔ $(1, 0)$، پس $\cos 0 = 1$، $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: نقطهٔ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$، پس $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: نقطهٔ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$، پس $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: نقطهٔ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$، پس $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: نقطهٔ $(0, 1)$، پس $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ و $\tan\frac{\pi}{2}$ تعریف‌نشده است.

یک الگوی حافظه کمک می‌کند: سینوس‌های $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ برابر $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ هستند و کسینوس‌ها همین فهرست به ترتیب وارون‌اند. هر نقطه در $x^2 + y^2 = 1$ هم صدق می‌کند؛ برای مثال، $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

زاویهٔ مرجع و ربع‌های دیگر

لازم نیست همهٔ شانزده نقطهٔ استاندارد را جداگانه حفظ کنید. هر زاویه یک زاویهٔ مرجع دارد: زاویهٔ حاده میان ضلع پایانی‌اش و محور x. مختصات زاویه هم‌اندازهٔ مختصات زاویهٔ مرجعش است و فقط علامت‌ها بسته به ربع تغییر می‌کنند.

• ربع اول ($0$ تا $\frac{\pi}{2}$): $x$ و $y$ مثبت‌اند، پس هر سه تابع مثبت‌اند.
• ربع دوم ($\frac{\pi}{2}$ تا $\pi$): $x$ منفی و $y$ مثبت است، پس فقط سینوس مثبت است.
• ربع سوم ($\pi$ تا $\frac{3\pi}{2}$): هر دو منفی‌اند، پس فقط تانژانت مثبت است.
• ربع چهارم ($\frac{3\pi}{2}$ تا $2\pi$): $x$ مثبت و $y$ منفی است، پس فقط کسینوس مثبت است.

به همین ترتیب، $\frac{3\pi}{4}$ در ربع دوم زاویهٔ مرجع $\frac{\pi}{4}$ دارد که نقطهٔ $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ و $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$ را می‌دهد.

زاویه‌های منفی و زاویه‌های بیش از یک دور

افزودن یا کم کردن یک دور کامل، یعنی $2\pi$، به همان نقطه می‌رسد، پس سینوس و کسینوس هر $2\pi$ تکرار می‌شوند. زاویه‌هایی که ضلع پایانی مشترک دارند هم‌انتها نامیده می‌شوند. برای محاسبهٔ زاویهٔ بزرگ، مضرب‌های $2\pi$ را کم کنید تا میان 0 و $2\pi$ قرار گیرد؛ برای زاویهٔ منفی، مضرب‌های $2\pi$ را اضافه کنید.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$، پس همان نقطهٔ $\frac{\pi}{4}$ را دارد: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ با $\frac{11\pi}{6}$ هم‌انتهاست، پس $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$، پس $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

قرینه‌سازی نسبت به محور x دو قاعدهٔ تقارن را هم نشان می‌دهد: $\cos(-\theta) = \cos\theta$، پس کسینوس زوج است، و $\sin(-\theta) = -\sin\theta$، پس سینوس فرد است. تانژانت دورهٔ تناوب کوتاه‌تری برابر $\pi$ دارد، چون نقطه‌های متناظر با $\theta$ و $\theta + \pi$ روبه‌روی هم‌اند و نسبت یکسان $\frac{y}{x}$ را می‌دهند.

اتحاد فیثاغورسی و یافتن نسبت‌های دیگر

چون هر نقطهٔ روی دایره در $x^2 + y^2 = 1$ صدق می‌کند، هر زاویه در مهم‌ترین اتحاد مثلثات صدق می‌کند:

ربع است که علامت را تعیین می‌کند؛ اتحاد به‌تنهایی فقط اندازه را می‌دهد. راهنمای اتحادهای مثلثاتی اتحادهای بسیار بیشتری را از همین یکی می‌سازد.

حل معادله‌های مثلثاتی پایه با دایره

برای حل معادله‌ای مانند $\sin\theta = \frac{1}{2}$ در بازهٔ $0 \le \theta < 2\pi$، همهٔ نقطه‌های روی دایره با عرض $\frac{1}{2}$ را پیدا کنید. دو نقطه وجود دارد: یکی در ربع اول در $\frac{\pi}{6}$ و یکی در ربع دوم در $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

به همین ترتیب، $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ به نقطه‌هایی با طول $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ نیاز دارد که در $\frac{3\pi}{4}$ در ربع دوم و $\frac{5\pi}{4}$ در ربع سوم قرار دارند. اگر پرسش همهٔ جواب‌ها را بخواهد، برای هر عدد صحیح $k$ مقدار $2\pi k$ را اضافه کنید: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ یا $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

تابع وارون سینوس یا کسینوس در ماشین‌حساب فقط یک جواب برمی‌گرداند. دایرهٔ واحد نشان می‌دهد جواب دوم کجاست، کاری که ماشین‌حساب‌ها هرگز نمی‌کنند.

چطور آن را کارآمد یاد بگیریم

حفظ کردن شانزده نقطه به صورت واقعیت‌های جدا کند و شکننده است. راه بهتر این است که سه چیز را خوب یاد بگیرید: سه نقطهٔ ربع اول برای $\frac{\pi}{6}$، $\frac{\pi}{4}$ و $\frac{\pi}{3}$؛ روش یافتن زاویهٔ مرجع؛ و علامت‌های هر ربع. با این‌ها، هر زاویهٔ استاندارد چند ثانیه وقت می‌گیرد.

تمرین کنید: یک هفته، روزی یک بار دایره را از حفظ بکشید و زاویه‌ها را هم به درجه و هم به رادیان برچسب بزنید. سپس خودتان را با زاویه‌های تصادفی، از جمله زاویه‌های منفی و بزرگ‌تر از $2\pi$، بیازمایید. ماشین‌حساب دایرهٔ واحد برای هر ورودی مقدارهای دقیق و زاویهٔ مرجع را می‌دهد، پس می‌توانید جواب‌هایتان را فوراً وارسی کنید. مبحث‌های بعدی، مانند قانون سینوس‌ها و حسابان تابع‌های مثلثاتی، این روانی را پیش‌فرض می‌گیرند.

اشتباه‌های رایج

• جابه‌جا کردن مختصات: طول نقطه کسینوس و عرض آن سینوس است.
• استفاده از حالت درجهٔ ماشین‌حساب برای پرسشی بر حسب رادیان، یا برعکس.
• اندازه گرفتن زاویهٔ مرجع از محور y به جای محور x.
• دادن فقط یک جواب برای معادله‌ای مانند $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
• فراموش کردن اینکه تانژانت در جاهایی که کسینوس صفر است، یعنی در $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$، تعریف‌نشده است.

از دایره تا نمودارهای سینوس و کسینوس

نقطه‌ای را تصور کنید که با سرعتی ثابت و پادساعتگرد دور دایرهٔ واحد می‌چرخد. ارتفاعش از محور x در ربع دور اول از 0 به 1 می‌رسد، در نیم‌دور به 0 برمی‌گردد، در سه‌ربع دور به $-1$ می‌رسد و پس از یک دور کامل به 0 بازمی‌گردد. رسم این ارتفاع بر حسب زاویه موج آشنای $y = \sin x$ را می‌سازد. رسم موقعیت افقی به جای آن $y = \cos x$ را می‌سازد، همان موج که به اندازهٔ ربع دور به چپ منتقل شده است.

همه‌چیز دربارهٔ این نمودارها را می‌توان از دایره خواند. برد آن‌ها $[-1, 1]$ است، چون اندازهٔ مختصات نقطه‌ای روی دایره‌ای به شعاع 1 هرگز از 1 بیشتر نمی‌شود. دورهٔ تناوبشان $2\pi$ است، چون یک دور کامل نقطه را به جای اولش برمی‌گرداند. صفرهای سینوس در مضرب‌های $\pi$ اند، جایی که نقطه از محور x می‌گذرد، و صفرهای کسینوس در مضرب‌های فرد $\frac{\pi}{2}$ اند، جایی که از محور y می‌گذرد. دیدن این نمودارها به عنوان ثبت یک حرکت دایره‌ای همچنین توضیح می‌دهد چرا تابع‌های مثلثاتی جزر و مد، موج‌های صوتی، جریان متناوب و هر چیز دیگری را که در چرخه‌ها تکرار می‌شود مدل می‌کنند.

پرسش‌های متداول