رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

مثلثات

اتحادهای مثلثاتی: فهرست ضروری و روش به کار بردن آن

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

اتحاد مثلثاتی تساوی‌ای است که برای هر زاویه‌ای که هر دو طرف در آن تعریف شده‌اند برقرار است. فهرستی کوتاه از اتحادها که همه از دایرهٔ واحد ساخته می‌شوند، امکان ساده‌سازی عبارت‌ها، یافتن مقدارهای دقیق، اثبات نتیجه‌ها و حل معادله‌ها را می‌دهد.

اتحاد در برابر معادله

معادلهٔ sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} فقط برای زاویه‌های خاصی درست است، پس چیزی است که باید حل شود. تساوی sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 برای هر زاویه‌ای درست است، پس یک اتحاد است، چیزی برای به کار بردن. اتحادها ابزارهایی برای بازنویسی یک عبارت به شکلی مناسب‌تر بدون تغییر مقدار آن‌اند.

همیشه می‌توانید اتحادی ادعاشده را به‌صورت عددی بیازمایید. اگر حتی در یک زاویه برقرار نباشد، اتحاد نیست. اگر در چند زاویهٔ نامرتبط برقرار باشد، احتمالاً درست است، اما برای اطمینان همچنان اثبات لازم است. این عادت عددی بسیاری از خطاهای علامت را می‌گیرد و در دوران یادگیری ارزش به کار بستن دارد.

اتحادهای پایه

اتحادهای معکوس و خارج‌قسمتی چهار تابع دیگر را بر حسب سینوس و کسینوس تعریف می‌کنند:

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,cot⁡x=cos⁡xsin⁡x,sec⁡x=1cos⁡x,csc⁡x=1sin⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},\quad \sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

اتحاد فیثاغورسی از معادلهٔ دایرهٔ واحد، x2+y2=1x^2 + y^2 = 1، با x=cos⁡θx = \cos\theta و y=sin⁡θy = \sin\theta می‌آید. تقسیم آن بر cos⁡2x\cos^2 x یا بر sin⁡2x\sin^2 x دو شکل دیگر می‌دهد:

sin⁡2x+cos⁡2x=1,1+tan⁡2x=sec⁡2x,1+cot⁡2x=csc⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

تقارن دایرهٔ واحد اتحادهای زوج و فرد، یعنی cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x، sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x و tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x، و اتحادهای هم‌تابع مانند sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x را می‌دهد. اتحادهای هم‌تابع نام‌ها را توضیح می‌دهند: کسینوس، سینوسِ زاویهٔ متمم است. راهنمای دایرهٔ واحد نشان می‌دهد هر کدام از این‌ها از کجا می‌آید.

فرمول‌های مجموع و تفاضل

این فرمول‌ها تابع‌های مثلثاتی مجموع یا تفاضل دو زاویه را بر حسب زاویه‌های جداگانه بیان می‌کنند. تقریباً همهٔ اتحادهای دیگر از آن‌ها سرچشمه می‌گیرند.

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B,tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B, \qquad \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}

به وارونه شدن علامت در فرمول کسینوس توجه کنید: کسینوس مجموع علامت منفی دارد. اشتباه رایج این است که فرض کنیم sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) = \sin A + \sin B. آزمودن با A=B=π2A = B = \frac{\pi}{2} نشان می‌دهد نادرست است: سمت چپ sin⁡π=0\sin\pi = 0 است اما سمت راست 2.

مثال 1: مقدار دقیق sin⁡75∘\sin 75^\circ

  1. بنویسید 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ، دو زاویه با مقدارهای معلوم.
  2. فرمول مجموع را به کار ببرید: sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12\sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}.
  3. ساده کنید: 6+24≈0.9659\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659 که با ماشین‌حساب می‌خواند.

به همین شیوه، tan⁡15∘=tan⁡(45∘−30∘)=1−331+33=2−3≈0.2679\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679.

زاویهٔ دوبرابر و کاهش توان

قرار دادن B=AB = A در فرمول‌های مجموع، اتحادهای زاویهٔ دوبرابر را می‌دهد. کسینوس سه شکل هم‌ارز دارد که با جایگزینی sin⁡2\sin^2 یا cos⁡2\cos^2 به کمک اتحاد فیثاغورسی به دست می‌آیند.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\sin 2x = 2\sin x\cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

حل دو شکل آخر بر حسب مربع‌ها، اتحادهای کاهش توان را می‌دهد که مربع‌ها را به توان اولِ زاویهٔ دوبرابر تبدیل می‌کنند. این اتحادها در حسابان ضروری‌اند، جایی که انتگرال‌گیری مستقیم از sin⁡2x\sin^2 x دشوار است.

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

برای مثال، ∫sin⁡2x dx=∫1−cos⁡2x2 dx=x2−sin⁡2x4+C\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C. جایگزین کردن xx با x2\frac{x}{2} در این اتحادها فرمول‌های نیم‌زاویه را می‌دهد، مانند cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}.

چطور یک اتحاد را اثبات کنیم

اثبات اتحاد یعنی تبدیل گام‌به‌گام یک طرف تا به طرف دیگر برسد. با آن مانند معادله رفتار نکنید و کاری یکسان روی هر دو طرف انجام ندهید، چون این کار همان چیزی را فرض می‌گیرد که می‌خواهید ثابت کنید. این راهبردها در بیشتر موارد جواب می‌دهند:

  1. از طرف پیچیده‌تر شروع کنید؛ چیز بیشتری برای ساده کردن دارد.
  2. همه‌چیز را بر حسب سینوس و کسینوس بازنویسی کنید.
  3. دنبال الگوهای فیثاغورسی مانند 1−cos⁡2x1 - \cos^2 x بگردید و آن‌ها را جایگزین کنید.
  4. کسرها را با مخرج مشترک ترکیب کنید یا یک کسر را به دو کسر بشکنید.
  5. وقتی مجموعی در مخرج ظاهر می‌شود، تجزیه کنید یا در مزدوجی مانند 1+sin⁡x1 + \sin x ضرب کنید.
  6. طرف هدف را در نظر داشته باشید تا هر گام شما را به آن نزدیک‌تر کند.

مثال 2: اثبات sec⁡x−cos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sec x - \cos x = \sin x\tan x

  1. از سمت چپ شروع کنید و sec⁡x\sec x را به صورت 1cos⁡x\frac{1}{\cos x} بنویسید: 1cos⁡x−cos⁡x\frac{1}{\cos x} - \cos x.
  2. مخرج مشترک: 1−cos⁡2xcos⁡x\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}.
  3. اتحاد فیثاغورسی: sin⁡2xcos⁡x\frac{\sin^2 x}{\cos x}.
  4. شکستن: sin⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x\tan x که همان سمت راست است.

مثال 3: اثبات tan⁡x+cot⁡x=sec⁡xcsc⁡x\tan x + \cot x = \sec x\csc x

  1. سمت چپ بر حسب سینوس و کسینوس: sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
  2. مخرج مشترک: sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}.
  3. شکستن: 1cos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xcsc⁡x\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \sec x\csc x.

اثباتی کوتاه‌تر دو خانواده را با هم ترکیب می‌کند: (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x.

استفاده از اتحادها برای حل معادله

اتحادها اغلب یک معادلهٔ مثلثاتی را به معادلهٔ درجهٔ دومی بر حسب یک تابع تبدیل می‌کنند. معادلهٔ درجهٔ دوم را حل کنید و سپس با دایرهٔ واحد همهٔ زاویه‌ها را پیدا کنید.

مثال 4: حل 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 در [0,2π)[0, 2\pi)

  1. آن را معادلهٔ درجهٔ دومی بر حسب sin⁡x\sin x در نظر بگیرید و تجزیه کنید: (2sin⁡x+1)(sin⁡x−1)=0(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0.
  2. sin⁡x=1\sin x = 1 می‌دهد x=π2x = \frac{\pi}{2}.
  3. sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} می‌دهد x=7π6x = \frac{7\pi}{6} و x=11π6x = \frac{11\pi}{6}.
  4. جواب‌ها: π2,7π6,11π6\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}.

مثال 5: حل cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x = \sin x در [0,2π)[0, 2\pi)

  1. شکلی از cos⁡2x\cos 2x را به کار ببرید که فقط سینوس دارد: 1−2sin⁡2x=sin⁡x1 - 2\sin^2 x = \sin x.
  2. بازآرایی: 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2 x + \sin x - 1 = 0، پس (2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0.
  3. sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} جواب‌های π6\frac{\pi}{6} و 5π6\frac{5\pi}{6} را می‌دهد؛ sin⁡x=−1\sin x = -1 جواب 3π2\frac{3\pi}{2} را.
  4. وارسی x=π6x = \frac{\pi}{6}: cos⁡π3=12=sin⁡π6\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}.

از تقسیم دو طرف بر یک تابع مثلثاتی مانند sin⁡x\sin x پرهیز کنید، چون ممکن است جواب‌هایی را که در آن‌ها این تابع صفر است از دست بدهید. به جای آن همه‌چیز را به یک طرف ببرید و تجزیه کنید.

گام‌های تجزیه در اینجا همان گام‌های معادله‌های درجهٔ دوم معمولی‌اند؛ برای مرور، چطور معادلهٔ درجهٔ دوم را حل کنیم را ببینید.

کدام اتحادها را حفظ کنیم

لازم نیست همهٔ فرمول‌ها را جداگانه حفظ کنید. اتحاد فیثاغورسی، فرمول‌های مجموع سینوس و کسینوس و تعریف چهار تابع دیگر را یاد بگیرید. بقیه را می‌توان در یکی دو سطر به دست آورد: فرمول‌های زاویهٔ دوبرابر از فرمول‌های مجموع با B=AB = A، شکل‌های دیگر فیثاغورسی با تقسیم، کاهش توان با حل فرمول زاویهٔ دوبرابر کسینوس، و فرمول‌های تفاضل از فرمول‌های مجموع به کمک اتحادهای زوج و فرد.

توانایی به دست آوردن یک فرمول زیر فشار امتحان از به یاد آوردن آن مطمئن‌تر است، چون می‌توانید در حین کار آن را وارسی کنید. بسیاری از امتحان‌ها به هر حال برگهٔ فرمول می‌دهند، پس مهارت واقعی‌ای که سنجیده می‌شود انتخاب اتحاد مناسب است و این فقط با تمرین روی مسئله‌های گوناگون به دست می‌آید.

اشتباه‌های رایج

  • نوشتن sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) = \sin A + \sin B یا sin⁡2x=2sin⁡x\sin 2x = 2\sin x.
  • اشتباه در علامت cos⁡(A+B)\cos(A + B) که علامت منفی دارد.
  • اشتباه گرفتن sin⁡2x\sin^2 x، یعنی (sin⁡x)2(\sin x)^2، با sin⁡(x2)\sin(x^2).
  • کار کردن هم‌زمان روی هر دو طرف اتحاد، گویی معادله است.
  • تقسیم معادله بر یک تابع مثلثاتی و از دست دادن جواب‌ها.

ماشین‌حساب اتحادهای مثلثاتی بررسی می‌کند که آیا دو عبارت با هم اتحادند و مسیر ساده‌سازی را نشان می‌دهد، که راه خوبی برای آزمودن اثبات‌های خودتان است.

اتحادها بعدها کجا ظاهر می‌شوند

اتحادها فقط تمرینی برای فصل مثلثات نیستند. در حسابان، مشتق سینوس با فرمول مجموع و دو حد به دست می‌آید، انتگرال توان‌های سینوس و کسینوس به کاهش توان تکیه دارد و جانشانی مثلثاتی از 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x برای حذف ریشه‌هایی مانند 1+x2\sqrt{1 + x^2} استفاده می‌کند.

در فیزیک و مهندسی، جمع دو موج با بسامد یکسان موج دیگری با همان بسامد می‌دهد و فرمول مجموع دقیقاً نشان می‌دهد چگونه. نوشتن asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x به صورت Rsin⁡(x+φ)R\sin(x + \varphi) با R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}، دامنهٔ موج ترکیبی را بی‌درنگ به شما می‌گوید. برای مثال، 3sin⁡x+4cos⁡x3\sin x + 4\cos x دامنهٔ 5 دارد، پس بیشترین مقدارش 5 و کمترینش −5-5 است. بسط 5sin⁡(x+φ)5\sin(x + \varphi) با فرمول مجموع و برابر قرار دادن ضریب‌ها cos⁡φ=35\cos\varphi = \frac{3}{5} و sin⁡φ=45\sin\varphi = \frac{4}{5} را می‌دهد.

پردازش سیگنال، دوران‌ها در گرافیک رایانه‌ای و قانون‌هایی که برای حل مثلث به کار می‌روند همه بر همین مجموعهٔ کوچک فرمول‌ها استوارند، و به همین دلیل یادگیری خوب آن‌ها سال‌ها، مدت‌ها پس از پایان فصل مثلثات، ثمر می‌دهد.

پرسش‌های متداول

مهم‌ترین اتحاد مثلثاتی کدام است؟

اتحاد فیثاغورسی sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1. این اتحاد مستقیماً از دایرهٔ واحد می‌آید و بسیاری از اتحادهای دیگر، از جمله دو شکل دیگر فیثاغورسی و فرمول‌های کاهش توان، از آن به دست می‌آیند.

چطور بررسی کنم که یک اتحاد درست است؟

چند زاویهٔ غیرخاص، مانند x=0.7x = 0.7 و x=2x = 2، را در هر دو طرف جایگذاری کنید. اگر هر مقداری متفاوت بود، اتحاد نیست. اگر همه یکسان بودند، به احتمال زیاد درست است و سپس می‌توانید دنبال اثبات بگردید.

چرا نمی‌توانم روی هر دو طرف اتحاد کار کنم؟

انجام عملی یکسان روی هر دو طرف فرض می‌گیرد که دو طرف از قبل برابرند، که همان ادعای در حال اثبات است. برخی عمل‌ها، مانند به توان دو رساندن، می‌توانند گزاره‌ای نادرست را به گزاره‌ای درست تبدیل کنند. تبدیل یک طرف به طرف دیگر از هر دو مشکل پرهیز می‌کند.

کدام شکل cos 2x را به کار ببرم؟

شکلی را انتخاب کنید که فقط یک تابع مثلثاتی باقی بگذارد. اگر بقیهٔ معادله فقط سینوس دارد، 1−2sin⁡2x1 - 2\sin^2 x و اگر فقط کسینوس دارد، 2cos⁡2x−12\cos^2 x - 1 را به کار ببرید.

بیشترین مقدار 3 sin x + 4 cos x چقدر است؟

آن را به صورت 5sin⁡(x+φ)5\sin(x + \varphi) بازنویسی کنید، چون 32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5. موج سینوسی با دامنهٔ 5 بیشینه‌ای برابر 5 دارد که وقتی x+φ=π2x + \varphi = \frac{\pi}{2} به آن می‌رسد.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.