ماشین‌حساب ضرب داخلی: زاویهٔ میان بردارها و تصویر

Q: ضرب داخلی را چگونه حساب کنم؟

مؤلفههای متناظر دو بردار را در هم ضرب کنید و حاصلضربها را جمع بزنید. برای ⟨1, 2, 3⟩ و ⟨4, −5, 6⟩ نتیجه 4 − 10 + 18 = 12 است.

Q: زاویهٔ میان دو بردار را چگونه پیدا کنم؟

ضرب داخلی را بر حاصلضرب دو اندازه تقسیم کنید و سپس آرککسینوس بگیرید. ماشینحساب نتیجه را بر حسب درجه نشان میدهد.

Q: ضرب داخلی صفر چه معنایی دارد؟

به شرط آنکه هیچیک از دو بردار صفر نباشد، دو بردار بر هم عمود (متعامد) هستند.

Q: آیا ماشینحساب بردارهای بیش از سهبعدی را میپذیرد؟

بله. بردارها میتوانند هر تعداد مؤلفه داشته باشند، به شرط آنکه تعداد مؤلفههای دو بردار برابر باشد.

Q: تفاوت ضرب داخلی و ضرب خارجی چیست؟

ضرب داخلی عددی میدهد که میزان همجهتی را میسنجد و در هر بعدی کار میکند. ضرب خارجی برداری عمود بر هر دو ورودی میدهد و فقط برای بردارهای سهبعدی تعریف میشود.

Q: اگر یکی از بردارها بردار صفر باشد چه میشود؟

ضرب داخلی 0 است، اما زاویه تعریفنشده است، چون بردار صفر جهتی ندارد. ماشینحساب به جای ارائهٔ زاویه این را توضیح میدهد.

دربارهٔ ماشین‌حساب ضرب داخلی

ضرب داخلی ساده‌ترین راه مقایسهٔ دو بردار است. مؤلفه‌های متناظر را در هم ضرب می‌کند و نتیجه‌ها را جمع می‌زند و عددی به دست می‌دهد که نشان می‌دهد دو بردار تا چه اندازه در یک جهت‌اند. از این عدد می‌توان زاویهٔ میان آنها را یافت، عمود بودنشان را آزمود و یک بردار را بر دیگری تصویر کرد.

این ماشین‌حساب بردارهایی با هر تعداد مؤلفه را می‌پذیرد، به شرط آنکه دو بردار هم‌طول باشند. حاصل‌ضرب‌های مؤلفه‌ای، مجموع آنها، اندازهٔ هر دو بردار، زاویهٔ میان آنها بر حسب درجه، و تصویر اسکالر و برداری بردار اول بر بردار دوم را نشان می‌دهد. اگر یکی از آنها بردار صفر باشد، توضیح می‌دهد چرا زاویه تعریف‌نشده است.

ضرب داخلی چیست؟

ضرب داخلی (که ضرب اسکالر هم نامیده می‌شود) $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ برابر $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ است. برخلاف ضرب خارجی، نتیجهٔ آن یک عدد است، نه یک بردار.

از دید هندسی، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ که در آن $\theta$ زاویهٔ میان دو بردار است. وقتی زاویه حاده است ضرب داخلی مثبت است، وقتی دو بردار عمودند صفر است و وقتی زاویه منفرجه است منفی است.

روش استفاده از ماشین‌حساب ضرب داخلی

در کادر «بردار u» مؤلفه‌های بردار اول را با ویرگول جدا کنید، مثلاً 1, 2, 3.
در کادر «بردار v» بردار دوم را با همان تعداد مؤلفه وارد کنید.
روی «محاسبه کن» بزنید.
ضرب داخلی، اندازهٔ دو بردار و زاویهٔ میان آنها را بخوانید.
اگر به مؤلفهٔ یک بردار در امتداد دیگری نیاز دارید، از گام تصویر استفاده کنید.

فرمول‌ها

ضرب داخلی

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

اندازه

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

زاویهٔ میان دو بردار

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

تصویر u بر v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

مثال حل‌شده: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

مثال از $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ استفاده می‌کند. حاصل‌ضرب‌های مؤلفه‌ای 4، $-10$ و 18 هستند که مجموعشان 12 می‌شود.

اندازه‌ها $\sqrt{14}$ و $\sqrt{77}$ هستند، پس $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ و زاویه تقریباً $68.56°$ است. ضرب داخلی مثبت تأیید می‌کند که زاویه حاده است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

u v = 12

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

ضرب داخلی دو بردار 3بعدی.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

راه‌حل گام‌به‌گام

مؤلفه‌های متناظر را در هم ضرب کنید
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
اندازهٔ بردارها را پیدا کنید
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
زاویهٔ میان دو بردار
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ رادیان})$
تصویر اسکالر و برداری u بر v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

فرمول‌های به‌کاررفته

ضرب داخلی
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

ضرب داخلی مثبت است، پس زاویهٔ میان دو بردار حاده است.

بررسی‌ها

به‌طور دقیق محاسبه شد؛ ضرب داخلی متقارن است، پس v·u همان مقدار را می‌دهد.

توضیح کامل

اندازه‌گیری زاویه و عمود بودن

با بازآرایی فرمول هندسی، زاویهٔ میان هر دو بردار ناصفر به دست می‌آید. چون فقط علامت $\cos\theta$ تعیین می‌کند که زاویه حاده است یا منفرجه، علامت ضرب داخلی به‌تنهایی و پیش از محاسبهٔ اندازه‌ها این را مشخص می‌کند.

دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد. برای $\langle 1, 0 \rangle$ و $\langle 0, 1 \rangle$ ضرب داخلی 0 و زاویه $90°$ است. این آزمون در هر بعدی کار می‌کند، و به همین دلیل در فضاهای چهاربعدی یا بالاتر، که نمی‌توان زاویه را رسم کرد، تعامد را با ضرب داخلی تعریف می‌کنند.

تصویر

تصویر اسکالر $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ طول علامت‌دار سایهٔ $\mathbf{u}$ بر خطی است که از $\mathbf{v}$ می‌گذرد. تصویر برداری همین طول را در بردار یکهٔ هم‌جهت با $\mathbf{v}$ ضرب می‌کند. اگر تصویر را از $\mathbf{u}$ کم کنید، مؤلفهٔ عمود بر $\mathbf{v}$ باقی می‌ماند، که همان ایدهٔ پشت فرایند گرام–اشمیت و برازش کمترین مربعات است.

در فیزیک، کاری که نیروی ثابت $\mathbf{F}$ هنگام جابه‌جا کردن جسم در امتداد جابه‌جایی $\mathbf{d}$ انجام می‌دهد برابر $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ است: فقط مؤلفهٔ نیرو در جهت حرکت کار انجام می‌دهد.

ویژگی‌ها

ضرب داخلی جابه‌جایی است، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ ، و نسبت به جمع پخشی است. ضرب داخلی یک بردار در خودش مجذور طول آن است و اندازه‌ها همین‌گونه محاسبه می‌شوند. اگر یک بردار را در $k$ ضرب کنید، ضرب داخلی هم در $k$ ضرب می‌شود؛ وقتی $k$ مثبت است زاویه تغییر نمی‌کند.

ضرب داخلی با قانون کسینوس‌ها هم پیوند دارد. بسط $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ عبارت $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ را می‌دهد که دقیقاً قانون کسینوس‌ها برای مثلثی است که دو بردار و تفاضلشان می‌سازند. همین اتحاد دلیل درستی فرمول زاویه است.

اشتباه‌های رایج

انتظار یک بردار به‌عنوان پاسخ؛ ضرب داخلی یک عدد است.
ضرب مؤلفه‌های نامتناظر یا گرفتن ضرب داخلی بردارهایی با طول‌های متفاوت.
فراموش کردن جذر هنگام محاسبهٔ اندازه.
ماندن ماشین‌حساب در حالت رادیان وقتی زاویه بر حسب درجه لازم است.
تصویر کردن بر بردار نادرست؛ $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ با $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ فرق دارد.

نکته‌ها

ابتدا تعامد را بیازمایید: ضرب داخلی صفر یعنی زاویهٔ قائمه.
با علامت ضرب داخلی حدس بزنید که زاویه حاده است یا منفرجه.
ابتدا بردارها را به طول 1 یکه کنید تا ضرب داخلی مستقیماً برابر $\cos\theta$ شود.
وقتی برداری عمود بر هر دو بردار لازم دارید، از ماشین‌حساب ضرب خارجی استفاده کنید.
با ماشین‌حساب ماتریس، ضرب‌های داخلی بسیاری را یک‌جا به صورت حاصل‌ضرب ماتریسی حساب کنید.
هر بردار را به صورت ستونی کنار دیگری بنویسید تا پیش از ضرب، مؤلفه‌های متناظر هم‌تراز شوند.

پرسش‌های متداول

ضرب داخلی را چگونه حساب کنم؟

مؤلفه‌های متناظر دو بردار را در هم ضرب کنید و حاصل‌ضرب‌ها را جمع بزنید. برای ⟨1, 2, 3⟩ و ⟨4, −5, 6⟩ نتیجه 4 − 10 + 18 = 12 است.

زاویهٔ میان دو بردار را چگونه پیدا کنم؟

ضرب داخلی را بر حاصل‌ضرب دو اندازه تقسیم کنید و سپس آرک‌کسینوس بگیرید. ماشین‌حساب نتیجه را بر حسب درجه نشان می‌دهد.

ضرب داخلی صفر چه معنایی دارد؟

به شرط آنکه هیچ‌یک از دو بردار صفر نباشد، دو بردار بر هم عمود (متعامد) هستند.

آیا ضرب داخلی می‌تواند منفی باشد؟

بله. ضرب داخلی منفی یعنی زاویهٔ میان دو بردار بیشتر از 90° است.

آیا ماشین‌حساب بردارهای بیش از سه‌بعدی را می‌پذیرد؟

بله. بردارها می‌توانند هر تعداد مؤلفه داشته باشند، به شرط آنکه تعداد مؤلفه‌های دو بردار برابر باشد.

تفاوت ضرب داخلی و ضرب خارجی چیست؟

ضرب داخلی عددی می‌دهد که میزان هم‌جهتی را می‌سنجد و در هر بعدی کار می‌کند. ضرب خارجی برداری عمود بر هر دو ورودی می‌دهد و فقط برای بردارهای سه‌بعدی تعریف می‌شود.

اگر یکی از بردارها بردار صفر باشد چه می‌شود؟

ضرب داخلی 0 است، اما زاویه تعریف‌نشده است، چون بردار صفر جهتی ندارد. ماشین‌حساب به جای ارائهٔ زاویه این را توضیح می‌دهد.

ضرب داخلی خود را حساب کنید

دو بردار را در بالا وارد کنید تا ضرب داخلی، زاویه و تصویر آنها را بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید