رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب ماتریس وارون

یک ماتریس مربعی وارد کنید تا وارون آن را با کسرهای دقیق بگیرید: فرمول میان‌بر برای 2×2 و در غیر این صورت حذف گاوس–ژردان روی [A | I]، همراه با بررسی اینکه حاصل‌ضرب A در وارونش ماتریس همانی است.

هر سطر ماتریس در یک خط (یا سطرها را با ; جدا کنید). درایه‌ها را با فاصله یا ویرگول جدا کنید. کسرهایی مانند 1/2 و عددهای اعشاری مجازند.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب ماتریس وارون

وارون برای ماتریس‌ها همان کاری را می‌کند که تقسیم برای عددها. اگر Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}، آنگاه x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}، پس یک وارون همهٔ دستگاه‌هایی را که ماتریس ضرایب یکسانی دارند یک‌جا حل می‌کند. وارون‌ها همچنین برای خنثی کردن تبدیل‌ها در گرافیک، رمزگشایی پیام‌ها در رمز هیل و در فرمول‌های آماری مانند رگرسیون کمترین مربعات به کار می‌روند.

این ماشین‌حساب ابتدا بررسی می‌کند که دترمینان ناصفر باشد، چون وارون فقط در این حالت وجود دارد. برای ماتریس 2×22 \times 2 از قاعدهٔ سریع جابه‌جایی و تغییر علامت استفاده می‌کند. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر، حذف گاوس–ژردان را روی ماتریس افزودهٔ [A∣I][A \mid I] اجرا می‌کند و هر عمل سطری را فهرست می‌کند. هر درایه کسری دقیق است و گام پایانی AA را در نتیجه ضرب می‌کند تا تأیید کند که ماتریس همانی به دست می‌آید.

ماتریس وارون چیست؟

وارون ماتریس مربعی AA ماتریس A−1A^{-1} است که در AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I صدق می‌کند، که در آن II ماتریس همانی است. وارون اگر وجود داشته باشد یکتاست و در این حالت ماتریس را وارون‌پذیر یا نامنفرد می‌نامند.

ماتریس مربعی وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر دترمینانش ناصفر باشد. شرط‌های هم‌ارز عبارت‌اند از: سطرهایش مستقل خطی‌اند، رتبه‌اش با اندازه‌اش برابر است و معادلهٔ Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} فقط جواب صفر دارد. ماتریس غیرمربعی هرگز وارون دوطرفه ندارد.

روش استفاده از ماشین‌حساب ماتریس وارون

  1. یک ماتریس مربعی وارد کنید، با فاصله میان درایه‌ها و نقطه‌ویرگول میان سطرها، مثلاً 4 7; 2 6.
  2. روی «وارون را پیدا کن» بزنید.
  3. گام دترمینان را بررسی کنید؛ اگر صفر باشد، ماتریس وارون ندارد.
  4. عمل‌های سطری یا قاعدهٔ 2×2 را تا رسیدن به وارون دنبال کنید.
  5. بررسی پایانی را تأیید کنید: A·A⁻¹ برابر ماتریس همانی است.

فرمول‌ها

وارون 2×2

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

حذف گاوس–ژردان

[A∣I]  ⟶  [I∣A−1][A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

وارون حاصل‌ضرب

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

حل یک دستگاه

Ax=b  ⇒  x=A−1bA\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

مثال حل‌شده: ماتریس 2×2

مثال، وارون A=(4726)A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix} را پیدا می‌کند. دترمینان آن 4⋅6−7⋅2=104 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10 است که ناصفر است، پس وارون وجود دارد.

درایه‌های قطر اصلی را جابه‌جا کنید، علامت دو درایهٔ دیگر را عوض کنید و بر 10 تقسیم کنید تا (35−710−1525)\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix} به دست آید. ضرب آن در AA ماتریس همانی را برمی‌گرداند و گام پایانی این را تأیید می‌کند.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

A−1=[35−710−1525]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

وارون یک ماتریس 2×2 را پیدا کن.

[4726]−1\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. بررسی کنید که دترمینان ناصفر باشد

    det⁡A=10≠0\det A = 10 \neq 0

  2. جای a و d را عوض کنید، علامت b و c را قرینه کنید و بر دترمینان تقسیم کنید

    A−1=110[6−7−24]=[35−710−1525]A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

  3. بررسی: A·A⁻¹ = I

    AA−1=[1001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

فرمول‌های به‌کاررفته

  • وارون 2×2

    [abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

  • گاوس–ژردان

    [A∣I]∼[I∣A−1][A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]

دترمینان 10 است، پس A وارون‌پذیر است. همهٔ درایه‌های وارون دقیق‌اند.

بررسی‌ها

  • ضرب A در نتیجه دقیقاً ماتریس همانی را می‌دهد.

توضیح کامل

حذف گاوس–ژردان

برای ماتریس 3×33 \times 3 یا بزرگ‌تر، AA و ماتریس همانی را کنار هم بنویسید و عمل‌های سطری را روی کل ماتریس افزوده انجام دهید. سطر هر محور را در عدد مناسب ضرب کنید تا محور 1 شود، سپس همهٔ درایه‌های دیگر آن ستون را حذف کنید. وقتی نیمهٔ چپ به ماتریس همانی تبدیل شد، نیمهٔ راست A−1A^{-1} است، زیرا همان دنبالهٔ عمل‌های سطری که AA را به II تبدیل می‌کند، II را به A−1A^{-1} تبدیل می‌کند.

برای ماتریسی با سطرهای (2,0,1)(2, 0, 1)، (1,1,0)(1, 1, 0) و (0,1,3)(0, 1, 3)، ماشین‌حساب سطر اول را بر 2 تقسیم می‌کند، ستون اول را پاک می‌کند، ستون دوم را پاک می‌کند، سطر سوم را بر 72\frac72 تقسیم می‌کند و سپس ستون سوم را پاک می‌کند. هر درایهٔ وارون مضربی از 17\frac17 است، چون دترمینان برابر 7 است.

ماتریس‌های منفرد

اگر دترمینان صفر باشد، حذف در سمت چپ یک سطر صفر پدید می‌آورد و هرگز به ماتریس همانی نمی‌رسد. ماشین‌حساب این را از همان ابتدا تشخیص می‌دهد. ماتریس (1224)\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix} منفرد است، چون سطر دومش دو برابر سطر اول است، پس ماشین‌حساب به جای ارائهٔ پاسخی بی‌معنا گزارش می‌دهد که وارون ندارد.

دترمینانی که فقط کوچک است برای محاسبهٔ دقیق مشکلی نیست، اما در داده‌های واقعی هشداری است: درایه‌های وارون بزرگ می‌شوند و خطاهای کوچک اندازه‌گیری در AA به‌شدت بزرگ می‌شوند.

استفاده از وارون

برای حل Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}، A−1A^{-1} را در b\mathbf{b} ضرب کنید. وقتی چند دستگاه ماتریس ضرایب یکسانی دارند، این کار کارآمد است. برای یک دستگاه تنها، تحویل سطری مستقیم ماتریس افزودهٔ [A∣b][A \mid \mathbf{b}] معمولاً از یافتن کل وارون کم‌زحمت‌تر است.

فرمول میان‌بر 2×22 \times 2 ترفندی جداگانه نیست: دقیقاً همان چیزی است که حذف گاوس–ژردان روی یک ماتریس 2×22 \times 2 کلی با نمادها به دست می‌دهد. دیدن دترمینان ad−bcad - bc در مخرج هر درایه نشان می‌دهد چرا وقتی دترمینان صفر است وارون نمی‌تواند وجود داشته باشد.

اشتباه‌های رایج

  • فراموش کردن تقسیم بر دترمینان در فرمول 2×2.
  • جابه‌جا کردن درایه‌های قطر فرعی به جای تغییر علامت آنها.
  • انجام عمل‌های سطری فقط روی نیمهٔ چپ ماتریس افزوده.
  • نوشتن (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}؛ ترتیب باید وارونه شود.
  • تلاش برای وارون کردن ماتریسی با دترمینان صفر.

نکته‌ها

  • ابتدا دترمینان را حساب کنید؛ اگر صفر است، همان‌جا متوقف شوید.
  • درایه‌ها را به‌صورت کسر نگه دارید تا خطای گرد کردن بررسی ماتریس همانی را خراب نکند.
  • پاسخ خود را با ضرب در AA بررسی کنید؛ هر درایهٔ قطری باید 1 و بقیه 0 باشند.
  • به دترمینان در مخرج درایه‌های وارون توجه کنید.
  • با ماشین‌حساب ماتریس، وارون را در بردار ثابت‌ها ضرب کنید.

پرسش‌های متداول

وارون ماتریس 2×2 را چگونه پیدا کنم؟

دو درایهٔ قطر اصلی را جابه‌جا کنید، علامت دو درایهٔ دیگر را عوض کنید و هر درایه را بر دترمینان ad − bc تقسیم کنید.

وارون ماتریس 3×3 را چگونه پیدا کنم؟

ماتریس افزودهٔ [A | I] را بنویسید و با عمل‌های سطری نیمهٔ چپ را به ماتریس همانی برسانید. آنگاه نیمهٔ راست وارون است.

ماتریس چه وقت وارون ندارد؟

وقتی دترمینانش صفر باشد. چنین ماتریسی منفرد نامیده می‌شود؛ سطرهایش وابستهٔ خطی‌اند و حذف نمی‌تواند به ماتریس همانی برسد.

وارون را چگونه بررسی کنم؟

ماتریس اصلی را در وارون ضرب کنید. اگر نتیجه ماتریس همانی باشد، وارون درست است. ماشین‌حساب این کار را خودکار انجام می‌دهد.

آیا ماتریس غیرمربعی وارون دارد؟

نه. فقط ماتریس مربعی می‌تواند وارونی داشته باشد که از هر دو طرف برقرار است.

آیا می‌توانم اعشار وارد کنم؟

بله. اعشارها به کسرهای دقیق تبدیل می‌شوند، پس 0.5 به‌صورت 1/2 در نظر گرفته می‌شود و وارون دقیق محاسبه می‌شود.

وارون ماتریس همانی چیست؟

خود ماتریس همانی، چون ضرب آن در خودش آن را تغییر نمی‌دهد.

وارون خود را پیدا کنید

یک ماتریس مربعی را در بالا وارد کنید تا وارون دقیق آن را همراه با بررسی دترمینان و هر عمل سطری بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب ماتریسجبر خطیماشین‌حساب دترمینانجبر خطیماشین‌حساب مقدار ویژهجبر خطیماشین‌حساب ضرب داخلیجبر خطیماشین‌حساب ضرب خارجیجبر خطیماشین‌حساب کسرریاضی عمومی