جبر خطی

چطور وارون یک ماتریس را پیدا کنیم

Q: آیا ماتریس غیرمربعی میتواند وارون داشته باشد؟

وارون دوطرفه نه. ماتریسهای مستطیلی میتوانند وارون یکطرفه یا شبهوارون داشته باشند که در مسئلههای کمترین مربعات به کار میروند، اما وارون معمولی فقط برای ماتریسهای مربعی تعریف میشود.

Q: چطور وارسی کنم که وارونم درست است؟

ماتریس اصلی را در جوابتان ضرب کنید. اگر حاصلضرب ماتریس همانی باشد، وارون درست است. وارسی یک سطر از حاصلضرب اغلب خطاها را بهسرعت آشکار میکند.

Q: چرا وارون AB برابر وارون B ضرب در وارون A است؟

چون AB اول B و سپس A را اعمال میکند. برای خنثی کردنش باید اول A و سپس B را خنثی کنید که B^(-1)A^(-1) را میدهد. ضرب کردن تأیید میکند که (AB)(B^(-1)A^(-1)) = I.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

وارون یک ماتریس مربعی کار آن ماتریس را خنثی می‌کند، همان‌طور که تقسیم کار ضرب را خنثی می‌کند. ماتریس دقیقاً وقتی وارون دارد که دترمینانش ناصفر باشد. این راهنما فرمول سریع 2 در 2، روش کلی گاوس-جردن و چگونگی حل دستگاه معادلات با وارون را پوشش می‌دهد.

وارون چیست

در عددها، معکوس 5 برابر $\frac{1}{5}$ است چون $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ . ماتریس‌ها تقسیم ندارند، اما همین ایده را دارند. وارون ماتریس مربعی $A$ ماتریس $A^{-1}$ است که در این رابطه صدق می‌کند:

AA^{-1} = A^{-1}A = I

در اینجا $I$ ماتریس همانی است، یعنی نسخهٔ ماتریسی عدد 1. اگر $A$ تبدیلی را توصیف کند، مثلاً چرخاندن و کشیدن صفحه، آن‌گاه $A^{-1}$ تبدیلی است که همه چیز را به جای اولش برمی‌گرداند. فقط ماتریس‌های مربعی می‌توانند وارون داشته باشند و حتی در آن صورت هم همه‌شان ندارند. ماتریسی که وارون دارد وارون‌پذیر یا نامنفرد نامیده می‌شود و ماتریسی که ندارد منفرد.

آزمون آن دترمینان است: $A$ دقیقاً وقتی وارون‌پذیر است که $\det(A) \ne 0$ . دترمینان صفر یعنی ماتریس فضا را به بعدی پایین‌تر تخت می‌کند، پس ورودی‌های متفاوت به خروجی یکسان می‌رسند و هیچ راهی برای خنثی کردن تبدیل نمی‌ماند.

فرمول 2 در 2

برای ماتریس $2 \times 2$ فرمول کوتاهی هست: جای درایه‌های قطر اصلی را عوض کنید، علامت درایه‌های خارج از قطر را تغییر دهید و بر دترمینان تقسیم کنید.

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

مثال 1: وارون کردن ماتریس 2 در 2

فرض کنید $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ . دترمینان آن $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ است که ناصفر است.
جای 4 و 6 را عوض کنید و علامت 7 و 2 را قرینه کنید: $\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ .
بر 10 تقسیم کنید: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$ .
سطر اول $AA^{-1}$ را وارسی کنید: $4(0.6) + 7(-0.2) = 1$ و $4(-0.7) + 7(0.4) = 0$ . سطر دوم به همین شکل $0$ و $1$ می‌دهد، پس حاصل‌ضرب $I$ است.

در مقابل، دترمینان $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ برابر $4 - 4 = 0$ است. سطر اول آن دو برابر سطر دوم است، پس وارون ندارد و فرمول از شما می‌خواهد بر صفر تقسیم کنید.

حذف گاوس-جردن برای هر اندازه

برای ماتریس‌های $3 \times 3$ و بزرگ‌تر، روش استاندارد حذف گاوس-جردن است. $A$ و ماتریس همانی را کنار هم به صورت ماتریس افزودهٔ $[A \mid I]$ بنویسید. با عملیات سطری نیمهٔ چپ را به $I$ تبدیل کنید. همان عملیات نیمهٔ راست را به $A^{-1}$ تبدیل می‌کنند. اگر در سمت چپ سطری تمام‌صفر ظاهر شود، ماتریس منفرد است و وارون ندارد.

مثال 2: وارون 3 در 3

فرض کنید سطرهای $A$ برابر $(1, 2, 3)$ ، $(0, 1, 4)$ و $(5, 6, 0)$ باشند و با $[A \mid I]$ شروع کنید.
سطر 3 منهای 5 برابر سطر 1: بخش چپ سطر 3 به $(0, -4, -15)$ و بخش راست به $(-5, 0, 1)$ تبدیل می‌شود.
سطر 3 به‌علاوهٔ 4 برابر سطر 2: سطر 3 به $(0, 0, 1 \mid -5, 4, 1)$ تبدیل می‌شود.
سطر 2 منهای 4 برابر سطر 3: سطر 2 به $(0, 1, 0 \mid 20, -15, -4)$ تبدیل می‌شود.
سطر 1 منهای 3 برابر سطر 3: سطر 1 به $(1, 2, 0 \mid 16, -12, -3)$ تبدیل می‌شود.
سطر 1 منهای 2 برابر سطر 2: سطر 1 به $(1, 0, 0 \mid -24, 18, 5)$ تبدیل می‌شود.
پس سطرهای $A^{-1}$ برابر $(-24, 18, 5)$ ، $(20, -15, -4)$ و $(-5, 4, 1)$ هستند.

دترمینان این ماتریس اتفاقاً 1 است و به همین دلیل وارونش فقط عددهای صحیح دارد. بیشتر وارون‌ها کسر دارند، پس هنگام کار درایه‌ها را به صورت کسر نگه دارید نه اعشار گردشده.

فرمول ماتریس الحاقی

فرمولی هم وجود دارد که قاعدهٔ $2 \times 2$ را تعمیم می‌دهد. هر درایه را با هم‌عاملش جایگزین کنید، یعنی دترمینان علامت‌دار کهادی که پس از حذف سطر و ستون آن درایه می‌ماند، سپس حاصل را ترانهاده کنید تا ماتریس الحاقی به دست آید که آن را $\operatorname{adj}(A)$ می‌نویسند:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)

فرمول الحاقی برای نظریه و برای ماتریس‌های $3 \times 3$ با درایه‌های ساده مفید است، اما برای ماتریس $3 \times 3$ به نه دترمینان $2 \times 2$ نیاز دارد و با بزرگ شدن اندازه به‌سرعت سنگین می‌شود. برای هر چیز بزرگ‌تر، حذف گاوس-جردن انتخاب عملی است.

حل دستگاه‌ها با وارون

دستگاه خطی‌ای که به صورت $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ نوشته شده با ضرب دو طرف از چپ در $A^{-1}$ حل می‌شود و نتیجه $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ است. این شبیه حل $5x = 10$ با تقسیم بر 5 است.

مثال 3: دستگاهی که با وارون حل می‌شود

$4x + 7y = 1$ و $2x + 6y = 2$ را حل کنید. ماتریس ضرایب همان $A$ در مثال 1 است.
$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ : $x = 0.6(1) - 0.7(2) = -0.8$ و $y = -0.2(1) + 0.4(2) = 0.6$ .
وارسی: $4(-0.8) + 7(0.6) = 1$ و $2(-0.8) + 6(0.6) = 2$ .

این روش به‌ویژه وقتی راحت است که باید چند دستگاه با ضرایب یکسان اما طرف‌های راست متفاوت را حل کنید، چون وارون فقط یک بار محاسبه می‌شود. برای یک دستگاه تنها، حذف معمولاً سریع‌تر است، همان‌طور که در حل دستگاه معادلات توضیح داده شده است.

ویژگی‌های وارون

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T, \qquad (A^{-1})^{-1} = A

وارون حاصل‌ضرب ترتیب را وارونه می‌کند، همان‌طور که درآوردن جوراب و کفش برعکس ترتیب پوشیدنشان است.
اگر $A$ وارون‌پذیر باشد، وارونش یکتاست.
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ .
برای عدد ناصفر $k$ ، داریم $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ .
ماتریس قطری با درایه‌های قطری ناصفر با معکوس کردن هر درایهٔ قطری وارون می‌شود.

وارون در عمل

ماتریس‌های وارون در نظریه ضروری‌اند و در گرافیک رایانه‌ای ظاهر می‌شوند، جایی که خنثی کردن تبدیل دوربین یعنی اعمال وارون آن؛ در رمزنگاری، جایی که رمز هیل پیام‌ها را با ماتریسی وارون رمزگشایی می‌کند؛ و در آمار، جایی که فرمول کمترین مربعات برای رگرسیون شامل یک وارون است.

با این حال، نرم‌افزارهای عددی به‌ندرت فقط برای حل یک دستگاه، وارون را صریحاً محاسبه می‌کنند. روش‌های مبتنی بر حذف سریع‌ترند و به خطاهای گردکردن حساسیت کمتری دارند، به‌ویژه برای ماتریس‌های تقریباً منفرد که دترمینانشان به صفر نزدیک است. ماشین‌حساب ماتریس وارون همهٔ گام‌های گاوس-جردن را با کسرهای دقیق نشان می‌دهد و ماشین‌حساب ماتریس امکان می‌دهد وارسی کنید که $AA^{-1}$ واقعاً برابر ماتریس همانی است.

چرا فرمول 2 در 2 درست است

وارسی این فرمول آسان است و دیدن دلیل درستی‌اش به‌خاطرسپاری آن را آسان‌تر می‌کند. ماتریس اصلی را در ماتریسِ جابه‌جا‌شده و قرینه‌شده ضرب کنید:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix}

حاصل، دترمینان ضرب در ماتریس همانی است. تقسیم بر دترمینان دقیقاً ماتریس همانی را باقی می‌گذارد که همان چیزی است که وارون باید بدهد. این محاسبه همچنین نشان می‌دهد چرا دترمینان صفر کار را تمام می‌کند: در آن صورت حاصل‌ضرب ماتریس صفر است و هیچ مقدار تغییر مقیاسی نمی‌تواند آن را به ماتریس همانی تبدیل کند.

اشتباه‌های رایج هنگام وارون کردن

قرینه کردن درایه‌های قطری به جای جابه‌جا کردنشان در فرمول $2 \times 2$ .
فراموش کردن تقسیم بر دترمینان در پایان.
اعمال یک عمل سطری روی نیمهٔ چپ $[A \mid I]$ و نه روی نیمهٔ راست.
ضرب $\mathbf{b}$ از سمت نادرست: جواب $A^{-1}\mathbf{b}$ است و $\mathbf{b}A^{-1}$ معمولاً حتی تعریف‌شده نیست.
گرد کردن زودهنگام کسرها به اعشار، به‌طوری که وارسی نهایی دیگر دقیقاً ماتریس همانی را نمی‌دهد.

همهٔ این خطاها با یک عادت گرفته می‌شوند: پیش از ادامه، جوابتان را در ماتریس اصلی ضرب کنید. این وارسی یک دقیقه وقت می‌گیرد و بسیار سریع‌تر از انجام دوبارهٔ کل محاسبه در آینده است.

تمرین‌ها

پیش از دیدن جواب‌ها این‌ها را امتحان کنید. نخست، ماتریسی با سطرهای $(2, 1)$ و $(5, 3)$ را وارون کنید. دترمینان آن $6 - 5 = 1$ است، پس وارونش صرفاً ماتریسِ جابه‌جا‌شده و قرینه‌شده است، با سطرهای $(3, -1)$ و $(-5, 2)$ . دوم، تعیین کنید آیا ماتریسی با سطرهای $(3, 6)$ و $(1, 2)$ وارون‌پذیر است. دترمینان آن $6 - 6 = 0$ است، پس منفرد است. سوم، ماتریس قطری با درایه‌های 2، 4 و 5 روی قطر را وارون کنید: درایه‌های قطری وارون یک‌دوم، یک‌چهارم و یک‌پنجم هستند. در پایان، از جواب نخست برای حل $2x + y = 4$ و $5x + 3y = 11$ استفاده کنید: ضرب وارون در ثابت‌ها $x = 3(4) - 11 = 1$ و $y = -5(4) + 2(11) = 2$ را می‌دهد و هر دو معادله برقرارند.

پرسش‌های متداول

چطور سریع بفهمم ماتریسی وارون دارد؟

دترمینانش را حساب کنید. اگر دترمینان ناصفر باشد، وارون وجود دارد. اگر صفر باشد، مثلاً چون یک سطر مضربی از سطر دیگر است، ماتریس منفرد است.

آیا ماتریس غیرمربعی می‌تواند وارون داشته باشد؟

وارون دوطرفه نه. ماتریس‌های مستطیلی می‌توانند وارون یک‌طرفه یا شبه‌وارون داشته باشند که در مسئله‌های کمترین مربعات به کار می‌روند، اما وارون معمولی فقط برای ماتریس‌های مربعی تعریف می‌شود.

چطور وارسی کنم که وارونم درست است؟

ماتریس اصلی را در جوابتان ضرب کنید. اگر حاصل‌ضرب ماتریس همانی باشد، وارون درست است. وارسی یک سطر از حاصل‌ضرب اغلب خطاها را به‌سرعت آشکار می‌کند.

چرا وارون AB برابر وارون B ضرب در وارون A است؟

چون $AB$ اول $B$ و سپس $A$ را اعمال می‌کند. برای خنثی کردنش باید اول $A$ و سپس $B$ را خنثی کنید که $B^{-1}A^{-1}$ را می‌دهد. ضرب کردن تأیید می‌کند که $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ .

آیا محاسبهٔ وارون بهترین راه حل دستگاه خطی است؟

برای یک دستگاه تنها، معمولاً نه. حذف جواب را با عملیات کمتر و خطای گردکردن کمتر پیدا می‌کند. وارون وقتی می‌ارزد که دستگاه‌های زیادی ماتریس ضرایب یکسانی داشته باشند.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.