جبر خطی

مقدارهای ویژه و بردارهای ویژه با مثال

Q: آیا همهٔ ماتریسها مقدار ویژهٔ حقیقی دارند؟

خیر. برای نمونه ماتریسهای دوران مقدارهای ویژهٔ مختلط دارند. اما ماتریسهای متقارن حقیقی همیشه مقدارهای ویژهٔ حقیقی دارند.

Q: چندجملهای مشخصه چیست؟

همان det(A - lambda I) است، یک چندجملهای بر حسب lambda که ریشههایش مقدارهای ویژهاند. برای ماتریس 2 × 2 برابر lambda^2 - tr(A)lambda + det(A) است.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

بردار ویژهٔ یک ماتریس جهتی است که ماتریس فقط آن را می‌کشد یا وارونه می‌کند و هرگز نمی‌چرخاند، و مقدار ویژه ضریب این کشیدگی است. این دو رفتار اساسی ماتریس را آشکار می‌کنند و پایهٔ قطری‌سازی، تحلیل پایداری، زنجیره‌های مارکوف و فشرده‌سازی داده‌اند.

معادلهٔ تعریف

بیشتر بردارها وقتی در ماتریسی ضرب می‌شوند جهتشان عوض می‌شود. چند بردار ویژه این‌طور نیستند: ماتریس فقط آن‌ها را روی همان خط می‌کشد، کوتاه می‌کند یا برعکس می‌کند. این‌ها بردارهای ویژه‌اند و ضریبی که هر کدام با آن مقیاس می‌خورد مقدار ویژهٔ آن است. به زبان نمادها، بردار ناصفر $\mathbf{v}$ بردار ویژهٔ ماتریس مربعی $A$ با مقدار ویژهٔ $\lambda$ است اگر:

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \ne \mathbf{0}

بردار صفر کنار گذاشته می‌شود، چون به ازای هر $\lambda$ در معادله صدق می‌کرد. اما مقدارهای ویژه می‌توانند صفر، منفی یا حتی مختلط باشند. مقدار ویژهٔ 2 یعنی طول بردارهای آن جهت دو برابر می‌شود، $-1$ یعنی برعکس می‌شوند و 0 یعنی به هیچ فشرده می‌شوند، که دقیقاً وقتی رخ می‌دهد که ماتریس منفرد باشد.

یافتن مقدارهای ویژه با معادلهٔ مشخصه

معادلهٔ تعریف را به صورت $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ بازنویسی کنید. برای اینکه جواب ناصفری وجود داشته باشد، ماتریس $A - \lambda I$ باید منفرد باشد، پس دترمینان آن باید صفر شود. این معادلهٔ مشخصه را می‌دهد:

\det(A - \lambda I) = 0

برای ماتریس $n \times n$ این یک معادلهٔ چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ بر حسب $\lambda$ است، پس اگر مقدارهای ویژه را با تکرارشان بشماریم و مقدارهای مختلط را هم بپذیریم، $n$ مقدار ویژه وجود دارد. برای ماتریس $2 \times 2$ چندجمله‌ای درجه‌دوم است و می‌توانید آن را با روش‌های حل معادلهٔ درجه‌دوم حل کنید.

یک مثال کامل 2 در 2

مثال 1: مقدارهای ویژه و بردارهای ویژهٔ ماتریس 2 در 2

فرض کنید $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . آن‌گاه $\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$ .
تجزیه کنید: $(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0$ ، پس مقدارهای ویژه $\lambda = 5$ و $\lambda = 2$ هستند.
برای $\lambda = 5$ : $A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ . سطر اول می‌گوید $-x + y = 0$ ، پس $y = x$ و یک بردار ویژه $(1, 1)$ است.
برای $\lambda = 2$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ، پس $2x + y = 0$ و یک بردار ویژه $(1, -2)$ است.
وارسی: $A(1, -2) = (4 - 2, 2 - 6) = (2, -4) = 2(1, -2)$ .

هر مضرب ناصفر یک بردار ویژه نیز بردار ویژه است، پس $(3, 3)$ یا $(-2, 4)$ هم جواب‌های به همان اندازه درستی بودند. آنچه اهمیت دارد جهت است، نه طول. همچنین دقت کنید که هر بار دو سطر $A - \lambda I$ مضرب یکدیگر بودند. وقتی $\lambda$ واقعاً مقدار ویژه باشد این تضمین‌شده است و وارسی مفیدی برای محاسبه‌هایتان است.

دو میان‌بُر: اثر و دترمینان

مقدارهای ویژهٔ هر ماتریس مربعی به دو عدد ساده مربوط‌اند. مجموعشان برابر اثر ماتریس، یعنی مجموع درایه‌های قطر اصلی، و حاصل‌ضربشان برابر دترمینان است:

\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}(A), \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det(A)

در مثال 1، اثر $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ و دترمینان $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$ است. برای ماتریس $2 \times 2$ این یعنی معادلهٔ مشخصه همیشه $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ است که شما را از بسط دستی دترمینان بی‌نیاز می‌کند. ماتریس‌های مثلثی از این هم ساده‌ترند: مقدارهای ویژه‌شان همان درایه‌های قطری است.

مقدارهای ویژهٔ مختلط و تکراری

ماتریس دوران $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ هر بردار را 90 درجه می‌چرخاند، پس هیچ جهت حقیقی‌ای روی خط خودش نمی‌ماند. معادلهٔ مشخصهٔ آن $\lambda^2 + 1 = 0$ است که مقدارهای ویژهٔ مختلط $\lambda = \pm i$ را می‌دهد. مقدارهای ویژهٔ مختلط یک ماتریس حقیقی همیشه به صورت جفت‌های مزدوج ظاهر می‌شوند و نشانهٔ دوران‌اند.

مقدارهای ویژه ممکن است تکرار هم بشوند. ماتریس $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ مقدار ویژهٔ مضاعف 2 دارد، اما $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ایجاب می‌کند $y = 0$ ، پس تنها بردارهای ویژه مضرب‌های $(1, 0)$ هستند. ماتریسی مانند این که تعداد بردارهای ویژهٔ مستقلش از اندازه‌اش کمتر است، ناقص نامیده می‌شود. در مقابل، ماتریس همانی هم مقدار ویژهٔ تکراری 1 دارد، اما هر بردار ناصفر بردار ویژهٔ آن است.

ماتریس‌های متقارن از هر دو دردسر در امان‌اند. مقدارهای ویژه‌شان همیشه حقیقی است و بردارهای ویژهٔ مربوط به مقدارهای ویژهٔ متفاوت بر هم عمودند. برای $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ مقدارهای ویژه 3 و 1 با بردارهای ویژهٔ $(1, 1)$ و $(1, -1)$ هستند که ضرب داخلیشان صفر است.

قطری‌سازی و توان‌های ماتریس

وقتی ماتریس $n \times n$ دارای $n$ بردار ویژهٔ مستقل باشد، قطری‌پذیر است. بردارهای ویژه را در ستون‌های $P$ و مقدارهای ویژه را روی قطر $D$ بگذارید؛ آن‌گاه:

A = PDP^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^k = PD^kP^{-1}

به توان رساندن ماتریس قطری فقط یعنی به توان رساندن هر درایهٔ قطری، پس محاسبهٔ $A^{100}$ آسان می‌شود. مقدارهای ویژه رفتار بلندمدت را هم پیش‌بینی می‌کنند: وقتی قدرمطلق یک مقدار ویژه از همهٔ مقدارهای دیگر بزرگ‌تر باشد، ضرب پیاپی در $A$ تقریباً هر بردار آغازین را به سوی بردار ویژهٔ آن مقدار ویژه می‌برد.

مثال 2: وضعیت بلندمدت یک زنجیرهٔ مارکوف

هر سال 90 درصد مشتریان شرکت X می‌مانند و 10 درصد به Y می‌روند، در حالی که Y 50 درصد را نگه می‌دارد و 50 درصد را به X می‌بازد. ماتریس گذار $\begin{pmatrix} 0.9 & 0.5 \\ 0.1 & 0.5 \end{pmatrix}$ است.
اثر 1.4 و دترمینان $0.45 - 0.05 = 0.4$ است، پس مقدارهای ویژه 1 و 0.4 هستند.
برای $\lambda = 1$ : $-0.1x + 0.5y = 0$ که بردار ویژهٔ $(5, 1)$ را می‌دهد.
با مقیاس‌بندی به مجموع 1، سهم بازار بلندمدت پنج‌ششم برای X و یک‌ششم برای Y است، فارغ از سهم‌های آغازین، چون مؤلفهٔ مربوط به 0.4 هر سال کوچک‌تر می‌شود و از بین می‌رود.

مقدارهای ویژه کجا اهمیت دارند

موتورهای جست‌وجو: الگوریتم اولیهٔ پیج‌رنک صفحه‌های وب را با بردار ویژهٔ غالب یک ماتریس پیوند رتبه‌بندی می‌کرد.
مهندسی: بسامدهای ارتعاش طبیعی پل‌ها و ساختمان‌ها از مقدارهای ویژه به دست می‌آیند و طراحان آن‌ها را از بسامدهای نیروی محرک مورد انتظار دور نگه می‌دارند.
علم داده: تحلیل مؤلفه‌های اصلی از بردارهای ویژهٔ ماتریس کوواریانس برای یافتن جهت‌های بیشترین تغییرپذیری استفاده می‌کند.
معادلات دیفرانسیل: علامت مقدارهای ویژه تعیین می‌کند که نقطهٔ تعادل پایدار است یا ناپایدار.
مکانیک کوانتومی: کمیت‌های اندازه‌پذیر مانند ترازهای انرژی مقدارهای ویژهٔ عملگرها هستند.

ماشین‌حساب مقدار ویژه مقدارهای ویژه و بردارهای ویژه، از جمله مختلط‌ها، را پیدا می‌کند و چندجمله‌ای مشخصه را گام‌به‌گام نشان می‌دهد. ماشین‌حساب دترمینان برای وارسی $\det(A - \lambda I)$ در یک مقدار نامزد مفید است.

یک مثال 3 در 3

ماتریس‌های بزرگ‌تر از همین دستور پیروی می‌کنند و صفرها درست مثل دترمینان‌ها کمک می‌کنند. ماتریسی با سطرهای $(2, 0, 0)$ ، $(0, 3, 4)$ و $(0, 4, 9)$ را در نظر بگیرید. بسط $\det(A - \lambda I)$ در امتداد سطر اول، $(2 - \lambda)$ ضرب در چندجمله‌ای مشخصهٔ بلوک کوچک‌تر با سطرهای $(3, 4)$ و $(4, 9)$ را می‌دهد. اثر این بلوک 12 و دترمینانش $27 - 16 = 11$ است، پس چندجمله‌ای‌اش $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$ است.

بنابراین مقدارهای ویژه 2، 1 و 11 هستند. برای وارسی، مجموعشان 14 است که اثر کل ماتریس است و حاصل‌ضربشان 22 است که دترمینان آن است. بردارهای ویژه $(1, 0, 0)$ برای 2، $(0, -2, 1)$ برای 1 و $(0, 1, 2)$ برای 11 هستند. ماتریس متقارن است و همان‌طور که انتظار می‌رفت این سه بردار دوبه‌دو بر هم عمودند.

اشتباه‌های رایج

کم کردن $\lambda$ از همهٔ درایه‌ها به جای فقط درایه‌های قطری.
پذیرفتن بردار صفر به عنوان بردار ویژه پس از حل $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ .
فرض اینکه مقدار ویژهٔ تکراری همیشه دو بردار ویژهٔ مستقل دارد.
فراموش کردن وارسی نتیجه با محاسبهٔ $A\mathbf{v}$ و مقایسه‌اش با $\lambda\mathbf{v}$ .

وارسی پایانی ارزشمندترین عادت است. فقط یک ضرب ماتریسی لازم دارد و اگر $A\mathbf{v}$ مضربی از $\mathbf{v}$ نباشد، یا مقدار ویژه نادرست است یا بردار ویژه.

یک تصویر هندسی

تصور کنید ماتریس مثال 1 را روی همهٔ نقطه‌های یک برگ کاغذ شطرنجی اعمال می‌کنید. بیشتر پیکان‌هایی که از مبدأ رسم شده‌اند هم کشیده می‌شوند و هم می‌چرخند. اما پیکان‌های روی خطی که از $(1, 1)$ می‌گذرد فقط پنج برابر بلندتر می‌شوند و پیکان‌های روی خطی که از $(1, -2)$ می‌گذرد دو برابر بلند می‌شوند و روی خط خود می‌مانند. بردارهای ویژه اسکلت تبدیل‌اند: وقتی بدانید در امتداد این دو خط چه رخ می‌دهد، می‌دانید همه‌جا چه رخ می‌دهد، چون هر بردار را می‌توان به تکه‌هایی در امتداد آن‌ها تجزیه کرد.

پرسش‌های متداول

آیا مقدار ویژه می‌تواند صفر باشد؟

بله. مقدار ویژهٔ صفر یعنی بردار ناصفری به بردار صفر نگاشته می‌شود، پس ماتریس منفرد است و وارون ندارد. اما بردار ویژه هرگز نمی‌تواند بردار صفر باشد.

آیا بردارهای ویژه یکتا هستند؟

خیر. هر مضرب ناصفر یک بردار ویژه نیز بردار ویژهٔ همان مقدار ویژه است، پس جواب‌ها را اغلب طوری مقیاس می‌کنند که درایه‌های صحیح ساده یا طول 1 داشته باشند.

آیا همهٔ ماتریس‌ها مقدار ویژهٔ حقیقی دارند؟

خیر. برای نمونه ماتریس‌های دوران مقدارهای ویژهٔ مختلط دارند. اما ماتریس‌های متقارن حقیقی همیشه مقدارهای ویژهٔ حقیقی دارند.

چندجمله‌ای مشخصه چیست؟

همان $\det(A - \lambda I)$ است، یک چندجمله‌ای بر حسب $\lambda$ که ریشه‌هایش مقدارهای ویژه‌اند. برای ماتریس $2 \times 2$ برابر $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$ است.

واژهٔ «ویژه» در این اصطلاح از کجا آمده است؟

اصطلاح اصلی از واژهٔ آلمانی «آیگن» به معنای «خودی» یا «مشخصه» گرفته شده و در فارسی «ویژه» ترجمه شده است. بردار ویژه جهتِ خودیِ ماتریس است، جهتی که ماتریس آن را روی خودش می‌نگارد، و مقدار ویژه ضریب مقیاس مشخصهٔ آن است.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.