ماشین‌حساب مقدار ویژه: مقدارها و بردارهای ویژه با گام‌ها

Q: ماتریس را چگونه در ماشینحساب مقدار ویژه وارد کنم؟

در هر سطر یک ردیف بنویسید و درایهها را با فاصله جدا کنید، یا همهٔ ردیفها را در یک سطر و با نقطهویرگول جدا کنید، مثلاً 4 1; 2 3. کسر، اعشار و عدد منفی پذیرفته میشوند.

Q: چه اندازههایی از ماتریس پشتیبانی میشوند؟

ماتریسهای مربعی از 2×2 تا 4×4. مقدار ویژه فقط برای ماتریسهای مربعی تعریف میشود، پس ماتریسی مانند 3×2 همراه با توضیح رد میشود.

Q: آیا ماشینحساب مقدارهای ویژهٔ مختلط را پیدا میکند؟

بله. وقتی مبیّن چندجملهای مشخصه منفی است، مقدارهای ویژه به صورت جفت مختلط مزدوج نمایش داده میشوند، مانند λ = i و −i برای ماتریس دوران 90°.

Q: تکرر جبری و تکرر هندسی یعنی چه؟

تکرر جبری تعداد دفعاتی است که یک مقدار ویژه بهعنوان ریشهٔ چندجملهای مشخصه تکرار میشود. تکرر هندسی تعداد بردارهای ویژهٔ مستقل خطی آن است. ماشینحساب برای مقدارهای ویژهٔ تکراری هر دو را گزارش میدهد.

Q: آیا ماشینحساب مقدارهای ویژهٔ دقیق میدهد یا اعشاری؟

هر جا ممکن باشد دقیق: عددهای صحیح، کسرها و رادیکالهایی مانند 5/2 ± √33/2. فقط وقتی ریشههای معادلهٔ درجهٔ سوم یا چهارم را نتوان دقیق یافت، به تقریبهای اعشاری دقیق روی میآورد.

Q: مقدارهای ویژه چه ارتباطی با دترمینان و اثر دارند؟

حاصلضرب همهٔ مقدارهای ویژه برابر دترمینان و مجموعشان برابر اثر است. برای ماتریس با سطرهای (4, 1) و (2, 3)، 5 × 2 = 10 دترمینان و 5 + 2 = 7 اثر است.

Q: مقدارهای ویژه بیرون از کلاس کجا به کار میروند؟

در تحلیل ارتعاش، پایداری سامانههای کنترل، تحلیل مؤلفههای اصلی، مکانیک کوانتومی، زنجیرههای مارکوف و رتبهبندی موتورهای جستوجو؛ هر جا که لازم است اثر تکرارشوندهٔ یک تبدیل خطی را بفهمید.

دربارهٔ ماشین‌حساب مقدار ویژه

مقدارها و بردارهای ویژه جهت‌هایی را توصیف می‌کنند که ماتریس آنها را تغییر نمی‌دهد و میزان کشیده شدن آنها را. پشت الگوریتم اولیهٔ رتبه‌بندی صفحه‌های گوگل، حالت‌های ارتعاش پل‌ها و مولکول‌ها، تحلیل مؤلفه‌های اصلی در آمار، پایداری معادله‌های دیفرانسیل و ترازهای انرژی در مکانیک کوانتومی قرار دارند. در درس جبر خطی معمولاً همین موضوع است که همهٔ آموخته‌های پیشین، یعنی دترمینان، تحویل سطری و فضای پوچ، را به هم پیوند می‌دهد.

این ماشین‌حساب همان روش کتاب درسی را دنبال می‌کند. چندجمله‌ای مشخصهٔ $\det(\lambda I - A)$ را می‌سازد، ریشه‌هایش را با قضیهٔ ریشهٔ گویا، فرمول درجهٔ دوم و تقسیم چندجمله‌ای به‌طور دقیق پیدا می‌کند و سپس برای هر مقدار ویژه $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ را حل می‌کند تا هر جا ممکن است بردار ویژه‌ای با درایه‌های صحیح ساده بدهد.

مقدارهای ویژهٔ گنگ به صورت رادیکال دقیق می‌مانند، مقدارهای ویژهٔ مختلط به صورت جفت‌های مزدوج نمایش داده می‌شوند و مقدارهای ویژهٔ تکراری با هر دو تکرر جبری و هندسی می‌آیند تا بی‌درنگ ببینید ماتریس قطری‌شدنی است یا نه. ماتریس‌هایی از 2×2 تا 4×4 پشتیبانی می‌شوند که تقریباً همهٔ مسئله‌های تکلیف و امتحان را در بر می‌گیرد.

مقدار ویژه و بردار ویژه چیست؟

بردار ناصفر $\mathbf v$ بردار ویژهٔ ماتریس مربعی $A$ است اگر ضرب در $A$ فقط آن را مقیاس کند، یعنی برای عددی مانند $\lambda$ داشته باشیم $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ ، و این عدد مقدار ویژهٔ متناظر با $\mathbf v$ است. بیشتر بردارها پس از ضرب در ماتریس تغییر جهت می‌دهند؛ بردارهای ویژه همان بردارهای خاصی‌اند که روی خط گذرنده از مبدأ خود باقی می‌مانند.

بازنویسی تعریف به صورت $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ نشان می‌دهد چگونه آنها را پیدا کنیم. جواب ناصفر فقط وقتی وجود دارد که $A - \lambda I$ منفرد باشد، یعنی دترمینانش صفر شود. معادلهٔ $\det(A - \lambda I) = 0$ معادلهٔ مشخصه نام دارد؛ برای ماتریس $n \times n$ معادله‌ای چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ است، پس با احتساب تکرر دقیقاً $n$ مقدار ویژه وجود دارد که برخی از آنها ممکن است مختلط باشند.

هر مقدار ویژه بی‌شمار بردار ویژه دارد، چون هر مضرب ناصفر یک بردار ویژه نیز بردار ویژه است. به همین دلیل پاسخ‌ها یک بردار نماینده می‌دهند، یا وقتی چند جهت مستقل وجود دارد یک پایه؛ ممکن است کتاب درسی‌تان مضرب دیگری از همان بردار را نشان دهد.

روش استفاده از ماشین‌حساب مقدار ویژه

ماتریس را در هر سطر یک ردیف بنویسید و درایه‌ها را با فاصله جدا کنید، مثلاً 4 1 در سطر اول و 2 3 در سطر دوم.
می‌توانید کل ماتریس را هم در یک سطر و با نقطه‌ویرگول (;) میان ردیف‌ها بنویسید، مثلاً 4 1; 2 3.
درایه‌ها می‌توانند عدد صحیح، اعشاری، کسری یا منفی باشند. ماتریس باید مربعی و از 2×2 تا 4×4 باشد.
روی «مقدارهای ویژه را پیدا کن» بزنید تا چندجمله‌ای مشخصه، ریشه‌هایش و محاسبهٔ بردار ویژه برای هر مقدار ویژه را ببینید.
اگر لازم است بدانید ماتریس قطری‌شدنی است یا نه، تکررهای گزارش‌شده برای مقدارهای ویژهٔ تکراری را بررسی کنید.

فرمول‌ها

معادلهٔ مقدار ویژه

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

معادلهٔ مشخصه

\det(\lambda I - A) = 0

میان‌بر 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

اثر و دترمینان

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

قطری‌سازی

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

مثال حل‌شده: 2×2، درایه‌های گویا

مثال حل‌شدهٔ زیر به‌صورت زنده برای $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ محاسبه می‌شود. اثر 7 و دترمینان $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ است، پس چندجمله‌ای مشخصه $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ و مقدارهای ویژه 5 و 2 هستند.

برای $\lambda = 5$ ماتریس $A - 5I$ سطرهای $(-1, 1)$ و $(2, -2)$ دارد و فضای پوچ آن را $\langle 1, 1 \rangle$ پدید می‌آورد. برای $\lambda = 2$ ماتریس $A - 2I$ سطرهای $(2, 1)$ و $(2, 1)$ دارد که $\langle -1, 2 \rangle$ را می‌دهد. بررسی یکی از آنها سریع است: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ که دقیقاً پنج برابر بردار اصلی است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\lambda = 5,\ 2

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

مقدارهای ویژه و بردارهای ویژهٔ یک ماتریس 2×2 را پیدا کن.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

راه‌حل گام‌به‌گام

معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
برای ماتریس 2×2 این معادله λ² − (اثر)λ + دترمینان است
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
چندجمله‌ای مشخصه
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
بردارهای ویژه برای λ = 5: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
بردارهای ویژه برای λ = 2: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

فرمول‌های به‌کاررفته

معادلهٔ مشخصه
$\det(\lambda I - A) = 0$
معادلهٔ بردار ویژه
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

مقدارهای ویژه ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه‌اند. بردارهای ویژه: λ = 5: ⟨1, 1⟩؛ λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

بررسی‌ها

مجموع مقدارهای ویژه ≈ 7 با اثر 7 برابر است.
حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 10 برابر است.

توضیح کامل

گام 1: چندجمله‌ای مشخصه

برای ماتریس 2×2 می‌توان چندجمله‌ای را مستقیماً به صورت $\lambda^2 - (\text{اثر})\lambda + \det$ نوشت. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر، ماشین‌حساب $\det(\lambda I - A)$ را با بسط همسازه‌ای حساب می‌کند. ماتریس متقارن 3×3 با سطرهای $(2, 0, 0)$ ، $(0, 3, 4)$ و $(0, 4, 9)$ چندجمله‌ای $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ را می‌دهد.

دو بررسی سریع بیشتر خطاهای محاسباتی را آشکار می‌کنند. ضریب $\lambda^{n-1}$ قرینهٔ اثر است، که اینجا $-(2 + 3 + 9) = -14$ است، و جملهٔ ثابت $(-1)^n \det A$ است، که اینجا $-22$ است، چون دترمینان برابر 22 است.

گام 2: یافتن ریشه‌ها

وقتی درایه‌ها صحیح‌اند، هر مقدار ویژهٔ گویا باید جملهٔ ثابت را بشمارد، پس ماشین‌حساب مقسوم‌علیه‌های 22 را می‌آزماید، $\lambda = 1$ را پیدا می‌کند، چندجمله‌ای را بر $(\lambda - 1)$ تقسیم می‌کند و سپس عبارت درجهٔ دوم باقی‌مانده را تجزیه می‌کند. مقدارهای ویژه 11، 2 و 1 هستند و مجموعشان، 14، همان‌طور که باید با اثر برابر است.

وقتی عبارت درجهٔ دوم باقی‌مانده روی عددهای گویا تجزیه نمی‌شود، فرمول درجهٔ دوم رادیکال‌های دقیق را می‌دهد. برای $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ ، چندجمله‌ای $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ ریشه‌های $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ دارد، یعنی تقریباً 5.372 و $-0.372$ . اگر مبیّن منفی باشد، ریشه‌ها یک جفت مختلط مزدوج‌اند؛ ماتریس دوران $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ در $\lambda^2 + 1 = 0$ صدق می‌کند، پس $\lambda = \pm i$ ، که نشان می‌دهد پس از دوران 90° هیچ جهت حقیقی‌ای ثابت نمی‌ماند.

گام 3: بردارهای ویژه از فضای پوچ

برای هر مقدار ویژه، آن را در $A - \lambda I$ قرار دهید و این دستگاه همگن را با تحویل سطری حل کنید. چون این ماتریس منفرد است، دست‌کم یک سطر تماماً صفر می‌شود و یک متغیر آزاد باقی می‌ماند. با دادن مقداری مناسب به متغیر آزاد و جای‌گذاری پسرو، بردار ویژه به دست می‌آید و ماشین‌حساب آن را به عددهای صحیح کوچک تبدیل می‌کند.

در مثال 3×3، برای $\lambda = 11$ ماتریس $A - 11I$ سطرهای $(-9, 0, 0)$ ، $(0, -8, 4)$ و $(0, 4, -2)$ دارد. سطر اول $v_1 = 0$ را الزامی می‌کند و دو سطر دیگر هر دو $v_3 = 2v_2$ را می‌دهند، پس $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . ماتریس‌های متقارنی مانند این همیشه مقدارهای ویژهٔ حقیقی و بردارهای ویژهٔ دوبه‌دو عمود دارند که می‌توانید با ضرب داخلی بررسی کنید.

مقدارهای ویژهٔ تکراری و قطری‌سازی

مقدار ویژه‌ای که $k$ بار به‌عنوان ریشه ظاهر می‌شود تکرر جبری $k$ دارد. تعداد بردارهای ویژهٔ مستقل خطی آن تکرر هندسی‌اش است که ممکن است کمتر باشد. $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ و $2I$ هر دو مقدار ویژهٔ تکراری 2 دارند، اما اولی فقط یک جهت ویژه، $\langle 1, 0 \rangle$ ، دارد و دومی دو جهت: $\langle 1, 0 \rangle$ و $\langle 0, 1 \rangle$ .

ماتریس را می‌توان به صورت $PDP^{-1}$ نوشت، که در آن مقدارهای ویژه روی قطر $D$ و بردارهای ویژه ستون‌های $P$ هستند، اگر و تنها اگر تکرر هندسی هر مقدار ویژه با تکرر جبری‌اش برابر باشد. قطری‌سازی محاسبهٔ توان‌ها را آسان می‌کند، چون $A^k = PD^kP^{-1}$ ، و مقدارهای ویژه به همین شکل رفتار بلندمدت مدل‌های جمعیت و زنجیره‌های مارکوف را پیش‌بینی می‌کنند.

میان‌برهایی که ارزش دانستن دارند

مقدارهای ویژهٔ ماتریس مثلثی همان درایه‌های قطری آن‌اند، پس ماتریس با سطرهای $(1, 2, 3)$ ، $(0, 4, 5)$ و $(0, 0, 6)$ بدون هیچ محاسبه‌ای مقدارهای ویژهٔ 6، 4 و 1 را دارد. ماتریس وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر 0 مقدار ویژهٔ آن نباشد، و مقدارهای ویژهٔ $A^{-1}$ وارون‌های مقدارهای ویژهٔ $A$ با همان بردارهای ویژه‌اند.

تغییرهای ساده در ماتریس، مقدارهای ویژه را به شیوه‌ای پیش‌بینی‌پذیر جابه‌جا می‌کنند. افزودن $c$ برابر ماتریس همانی به هر مقدار ویژه $c$ می‌افزاید، ضرب ماتریس در یک عدد هر مقدار ویژه را در همان عدد ضرب می‌کند و به توان $k$ رساندن ماتریس هر مقدار ویژه را به توان $k$ می‌رساند، در حالی که بردارهای ویژه در همهٔ این حالت‌ها ثابت می‌مانند. ماتریس و ترانهاده‌اش مقدارهای ویژهٔ یکسانی دارند، هرچند بردارهای ویژه‌شان معمولاً متفاوت است. با این واقعیت‌ها می‌توانید پیش از محاسبه پاسخ را بررسی و پیش‌بینی کنید.

اشتباه‌های رایج

محاسبهٔ $\det(A) - \lambda$ به جای $\det(A - \lambda I)$ ؛ $\lambda$ باید از هر درایهٔ قطری کم شود.
پذیرفتن بردار صفر به‌عنوان بردار ویژه؛ بردار ویژه طبق تعریف ناصفر است.
خطای حسابی در چندجمله‌ای که به فضای پوچی می‌انجامد که فقط بردار صفر را دارد.
فرض اینکه هر ماتریسی مقدارهای ویژهٔ حقیقی دارد؛ ماتریس‌های دوران و بسیاری از ماتریس‌های نامتقارن مقدارهای ویژهٔ مختلط دارند.
نادرست دانستن یک بردار ویژه چون با بردار کتاب درسی یک ضریب ثابت فرق دارد.
نتیجه گرفتن قطری‌شدنی بودن ماتریس بدون بررسی تکرر هندسی مقدارهای ویژهٔ تکراری.

نکته‌ها

بررسی کنید که مجموع مقدارهای ویژه با اثر و حاصل‌ضربشان با دترمینان برابر باشد.
هر بردار ویژه را با محاسبهٔ $A\mathbf v$ و مقایسه با $\lambda\mathbf v$ بررسی کنید.
مقدارهای ویژهٔ ماتریس مثلثی را مستقیماً از قطر بخوانید.
در ماتریس 3×3 دترمینان را در امتداد سطر یا ستونی بسط دهید که بیشترین صفر را دارد.
با ماشین‌حساب دترمینان تأیید کنید که $A - \lambda I$ برای هر مقدار ویژه منفرد است.
هر وقت ماتریس متقارن است، انتظار مقدارهای ویژهٔ حقیقی و بردارهای ویژهٔ عمود بر هم را داشته باشید.
ابتدا عامل مشترک ماتریس را بیرون بکشید؛ مقدارهای ویژه فقط در همان عامل ضرب می‌شوند.

پرسش‌های متداول

ماتریس را چگونه در ماشین‌حساب مقدار ویژه وارد کنم؟

در هر سطر یک ردیف بنویسید و درایه‌ها را با فاصله جدا کنید، یا همهٔ ردیف‌ها را در یک سطر و با نقطه‌ویرگول جدا کنید، مثلاً 4 1; 2 3. کسر، اعشار و عدد منفی پذیرفته می‌شوند.

چه اندازه‌هایی از ماتریس پشتیبانی می‌شوند؟

ماتریس‌های مربعی از 2×2 تا 4×4. مقدار ویژه فقط برای ماتریس‌های مربعی تعریف می‌شود، پس ماتریسی مانند 3×2 همراه با توضیح رد می‌شود.

آیا ماشین‌حساب مقدارهای ویژهٔ مختلط را پیدا می‌کند؟

بله. وقتی مبیّن چندجمله‌ای مشخصه منفی است، مقدارهای ویژه به صورت جفت مختلط مزدوج نمایش داده می‌شوند، مانند λ = i و −i برای ماتریس دوران 90°.

چرا بردار ویژهٔ من با بردار کتاب درسی‌ام فرق دارد؟

هر مضرب ناصفر یک بردار ویژه نیز بردار ویژه است. ⟨1, 1⟩ و ⟨3, 3⟩ یک جهت را نشان می‌دهند. بررسی کنید که یکی مضربی از دیگری باشد.

تکرر جبری و تکرر هندسی یعنی چه؟

تکرر جبری تعداد دفعاتی است که یک مقدار ویژه به‌عنوان ریشهٔ چندجمله‌ای مشخصه تکرار می‌شود. تکرر هندسی تعداد بردارهای ویژهٔ مستقل خطی آن است. ماشین‌حساب برای مقدارهای ویژهٔ تکراری هر دو را گزارش می‌دهد.

آیا ماشین‌حساب مقدارهای ویژهٔ دقیق می‌دهد یا اعشاری؟

هر جا ممکن باشد دقیق: عددهای صحیح، کسرها و رادیکال‌هایی مانند 5/2 ± √33/2. فقط وقتی ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ سوم یا چهارم را نتوان دقیق یافت، به تقریب‌های اعشاری دقیق روی می‌آورد.

مقدارهای ویژه چه ارتباطی با دترمینان و اثر دارند؟

حاصل‌ضرب همهٔ مقدارهای ویژه برابر دترمینان و مجموعشان برابر اثر است. برای ماتریس با سطرهای (4, 1) و (2, 3)، 5 × 2 = 10 دترمینان و 5 + 2 = 7 اثر است.

مقدار ویژهٔ صفر چه معنایی دارد؟

ماتریس منفرد است: وارون ندارد و دترمینانش صفر است. بردارهای ویژهٔ متناظر با λ = 0 فضای پوچ ماتریس را پدید می‌آورند.

مقدارهای ویژه بیرون از کلاس کجا به کار می‌روند؟

در تحلیل ارتعاش، پایداری سامانه‌های کنترل، تحلیل مؤلفه‌های اصلی، مکانیک کوانتومی، زنجیره‌های مارکوف و رتبه‌بندی موتورهای جست‌وجو؛ هر جا که لازم است اثر تکرارشوندهٔ یک تبدیل خطی را بفهمید.

مقدارهای ویژهٔ خود را پیدا کنید

یک ماتریس مربعی را در بالا وارد کنید تا چندجمله‌ای مشخصه، مقدارهای ویژهٔ دقیق و بردار ویژهٔ هر کدام را با نمایش همهٔ گام‌ها بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب مقدار ویژه