مبانی ماتریس: راهنمای مبتدیان برای ماتریس‌ها

ماتریس چیست

ماتریس آرایه‌ای مستطیلی از عددهاست که درایه نامیده می‌شوند و در سطرها و ستون‌ها چیده شده‌اند. ماتریسی با $m$ سطر و $n$ ستون اندازهٔ $m \times n$ دارد که «m در n» خوانده می‌شود و همیشه اول تعداد سطرها گفته می‌شود. درایهٔ سطر $i$ و ستون $j$ ماتریس $A$ را $a_{ij}$ می‌نویسند. برای مثال:

ماتریسی با تنها یک ستون بردار ستونی است و ماتریسی با تنها یک سطر بردار سطری. ماتریس مربعی تعداد سطرها و ستون‌های برابر دارد؛ ماتریس‌های مربعی همان‌هایی‌اند که می‌توانند دترمینان و وارون داشته باشند. دو ماتریس فقط وقتی برابرند که اندازهٔ یکسان داشته باشند و همهٔ درایه‌های متناظرشان یکی باشد.

جمع ماتریس‌ها و ضرب در عدد

ماتریس‌های هم‌اندازه درایه به درایه جمع می‌شوند: درایهٔ سطر $i$ و ستون $j$ در $A + B$ برابر $a_{ij} + b_{ij}$ است. تفریق هم به همین شکل انجام می‌شود. ماتریس‌هایی با اندازه‌های متفاوت را اصلاً نمی‌توان جمع کرد، چون راه معقولی برای جفت کردن درایه‌هایشان وجود ندارد.

ضرب ماتریس در یک اسکالر، یعنی یک عدد معمولی، همهٔ درایه‌ها را در آن عدد ضرب می‌کند. این عملیات دقیقاً مانند حساب معمولی رفتار می‌کنند: جمع جابه‌جایی و شرکت‌پذیر است و $k(A + B) = kA + kB$.

ضرب ماتریس‌ها: سطر در ستون

ضرب ماتریس‌ها درایه به درایه انجام نمی‌شود. به جای آن، هر درایهٔ حاصل‌ضرب $AB$ برابر ضرب داخلی یک سطر $A$ در یک ستون $B$ است:

این کار لازم دارد که تعداد ستون‌های $A$ با تعداد سطرهای $B$ برابر باشد. اگر $A$ از اندازهٔ $m \times n$ و $B$ از اندازهٔ $n \times p$ باشد، حاصل‌ضرب $m \times p$ است. راه سریع وارسی این است که اندازه‌ها را کنار هم بنویسید: عددهای درونی باید برابر باشند و عددهای بیرونی اندازهٔ حاصل را می‌دهند. ماتریس $2 \times 3$ ضرب در ماتریس $3 \times 4$ ماتریسی $2 \times 4$ می‌دهد، اما ماتریس $2 \times 3$ ضرب در ماتریس $2 \times 3$ دیگری تعریف‌نشده است.

ترتیب مهم است: AB معمولاً با BA برابر نیست

وارونه کردن ترتیب در مثال بالا $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$ را می‌دهد که ماتریس دیگری است. ضرب ماتریس‌ها جابه‌جایی نیست. برای ماتریس‌های غیرمربعی وضع حتی بدتر است: ممکن است یک ترتیب تعریف‌شده باشد و دیگری نه، یا دو حاصل‌ضرب اندازه‌های متفاوتی داشته باشند.

قاعده‌های آشنای دیگر پابرجا می‌مانند. ضرب شرکت‌پذیر است، $(AB)C = A(BC)$، و نسبت به جمع پخش‌پذیر است، $A(B + C) = AB + AC$. با این حال دو هشدار را به خاطر بسپارید. حاصل‌ضرب دو ماتریس ناصفر می‌تواند ماتریس صفر باشد، و از $AB = AC$ نمی‌توان $A$ را حذف کرد مگر آنکه $A$ وارون‌پذیر باشد. بنابراین جبر ماتریس‌ها کمی بیشتر از جبر عددها دقت می‌خواهد.

وقتی عبارت‌هایی مانند $(A + B)^2$ را باز می‌کنید، ترتیب را نگه دارید: حاصل $A^2 + AB + BA + B^2$ است، نه $A^2 + 2AB + B^2$.

ماتریس همانی و ترانهاده

ماتریس همانی $I$ ماتریسی مربعی است که روی قطر اصلی‌اش یک و در جاهای دیگر صفر دارد. نقش آن همان نقش عدد 1 در حساب معمولی است: برای هر ماتریس مربعی $A$ با اندازهٔ متناسب، $AI = IA = A$. ماتریس صفر، که همهٔ درایه‌هایش صفر است، نقش 0 را بازی می‌کند.

ترانهادهٔ $A^T$ جای سطرها و ستون‌ها را عوض می‌کند، پس درایهٔ سطر $i$ و ستون $j$ در $A^T$ برابر $a_{ji}$ است. ماتریس $2 \times 3$ به ماتریس $3 \times 2$ تبدیل می‌شود. قاعدهٔ مفیدی هست که می‌گوید ترانهادهٔ حاصل‌ضرب ترتیب را وارونه می‌کند:

ماتریسی که با ترانهادهٔ خودش برابر باشد متقارن نامیده می‌شود. ماتریس‌های متقارن در سراسر آمار و فیزیک ظاهر می‌شوند و مقدارهای ویژهٔ بسیار خوش‌رفتاری دارند که همیشه عددهای حقیقی‌اند.

ماتریس‌ها و دستگاه‌های معادلات

یکی از مهم‌ترین کاربردهای ماتریس‌ها نوشتن فشردهٔ دستگاه معادلات خطی است. دستگاه $2x + y = 5$ و $x - 3y = -1$ چنین می‌شود:

ضرب کردن طرف چپ دقیقاً همان دو معادله را بازتولید می‌کند و این راه خوبی برای وارسی درستی تنظیم ماتریس است. جواب آن $x = 2$، $y = 1$ است. نوشتن دستگاه به این شکل امکان می‌دهد همان روش‌ها، یعنی حذف سطری یا ماتریس وارون، دو معادله یا دو هزار معادله را حل کنند. راهنمای ما برای حل دستگاه معادلات روش‌های دستی را پوشش می‌دهد و ماشین‌حساب دستگاه معادلات آن‌ها را گام به گام حل می‌کند.

ماتریس‌ها کجا به کار می‌روند

• گرافیک رایانه‌ای: چرخش، تغییر مقیاس و تصویر کردن مدل‌های سه‌بعدی (3D) ضرب‌های ماتریسی‌اند که روی هر رأس اعمال می‌شوند.
• علم داده: هر مجموعه‌داده ماتریسی است با یک سطر برای هر مشاهده و یک ستون برای هر متغیر، و روش‌هایی مانند تحلیل مؤلفه‌های اصلی مستقیماً با آن کار می‌کنند.
• شبکه‌ها: ماتریس مجاورت ثبت می‌کند کدام گره‌ها به هم وصل‌اند و توان‌های آن تعداد مسیرهایی با طول معین را می‌شمارند.
• اقتصاد و مهندسی: مدل‌های داده-ستانده و تحلیل مدار به دستگاه‌های خطی بزرگ می‌انجامند.
• یادگیری ماشین: لایه‌های یک شبکهٔ عصبی بیشتر ضرب‌های ماتریسی‌اند.

ماشین‌حساب ماتریس ماتریس‌هایی با هر اندازهٔ سازگار را جمع، ضرب و ترانهاده می‌کند و هر محاسبهٔ سطر در ستون را نشان می‌دهد، و همین آن را برای وارسی تکلیف‌ها مفید می‌کند.

توان‌ها و ماتریس‌های قطری

ماتریس مربعی را می‌توان در خودش ضرب کرد، پس توان‌هایی مانند $A^2 = AA$ و $A^3 = AAA$ معنا دارند. ماتریس‌های غیرمربعی توان ندارند، چون اندازه‌ها جور نمی‌شوند. توان‌های ماتریس هرگاه فرایندی تکرار شود ظاهر می‌شوند: اگر ماتریسی نشان دهد جمعیت در یک سال چگونه میان منطقه‌ها جابه‌جا می‌شود، توان دهم آن جابه‌جایی در ده سال را نشان می‌دهد.

کار با ماتریس‌های قطری، که تنها درایه‌های ناصفرشان روی قطر اصلی است، بسیار آسان است. ضرب دو ماتریس قطری فقط درایه‌های قطری‌شان را در هم ضرب می‌کند، پس رساندن ماتریس قطری به یک توان، هر درایهٔ قطری را به آن توان می‌رساند. برای مثال، مربع ماتریس قطری با درایه‌های 2 و 3، ماتریس قطری با درایه‌های 4 و 9 است. بخش بزرگی از جبر خطی پیشرفته به بازنویسی ماتریس به شکل قطری می‌پردازد تا محاسبه‌هایی از این دست ساده شوند.

اشتباه‌های رایج با ماتریس‌ها

• قاطی کردن سطرها و ستون‌ها هنگام بیان اندازه. همیشه اول سطرها می‌آیند.
• ضرب درایه به درایه به جای سطر در ستون.
• فرض کردن $AB = BA$، یا جابه‌جا کردن عامل‌ها هنگام ساده کردن یک عبارت.
• تلاش برای جمع ماتریس‌هایی با اندازه‌های متفاوت یا ضرب ماتریس‌هایی که ابعاد درونی‌شان برابر نیست.
• فراموش کردن اینکه ترانهادهٔ حاصل‌ضرب ترتیب عامل‌ها را وارونه می‌کند.

یک وارسی سریع اندازه پیش از هر محاسبه بیشتر این خطاها را می‌گیرد. اندازه را زیر هر ماتریس بنویسید، مطمئن شوید عملیات تعریف‌شده است و پیش از محاسبهٔ حتی یک درایه، اندازهٔ جواب را پیش‌بینی کنید.

پرسش‌های متداول