چطور دترمینان یک ماتریس را پیدا کنیم

دترمینان چه چیزی را می‌سنجد

هر ماتریس مربعی دترمینانی دارد که آن را $\det(A)$ یا $|A|$ می‌نویسند. ماتریس‌های غیرمربعی دترمینان ندارند. دترمینان بی‌درنگ به پرسشی کلیدی پاسخ می‌دهد: ماتریس مربعی دقیقاً وقتی وارون دارد که دترمینانش صفر نباشد. دترمینان صفر یعنی ماتریس فضا را به بعدی پایین‌تر فرو می‌ریزد، پس اطلاعاتی از دست می‌رود که دیگر بازیافتنی نیست.

از دید هندسی، قدرمطلق دترمینان ضریبی است که ماتریس با آن مساحت‌ها را در دو بعد یا حجم‌ها را در سه بعد تغییر می‌دهد. علامت آن نشان می‌دهد تبدیل جهت را حفظ می‌کند یا وارونه می‌کند، تقریباً همان‌طور که آینه چپ و راست را وارونه می‌کند.

فرمول 2 در 2

برای ماتریس $2 \times 2$، درایه‌های قطر اصلی را در هم ضرب کنید و حاصل‌ضرب قطر دیگر را از آن کم کنید:

تعبیر مساحتی در اینجا به‌راحتی دیده می‌شود. ستون‌های $(3, 1)$ و $(1, 2)$ از ماتریس $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ یک متوازی‌الاضلاع می‌سازند و مساحت آن $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$ است که همان دترمینان است.

بسط هم‌عامل برای ماتریس‌های 3 در 3

برای ماتریس‌های بزرگ‌تر، بسط هم‌عامل مسئله را به دترمینان‌های کوچک‌تر تبدیل می‌کند. یک سطر را انتخاب کنید، مثلاً سطر اول. برای هر درایه، سطر و ستون آن را حذف کنید تا ماتریس کوچک‌تری به نام کهاد به دست آید، و درایه را در دترمینان کهاد ضرب کنید. سپس نتیجه‌ها را با الگوی شطرنجی علامت‌ها $+, -, +$ ترکیب کنید:

می‌توانید در امتداد هر سطر یا ستونی بسط دهید و جواب یکی است. سطر یا ستونی را انتخاب کنید که بیشترین صفر را دارد، چون هر درایهٔ صفر یک جملهٔ کامل را حذف می‌کند.

قاعدهٔ ساروس، میان‌بری فقط برای 3 در 3

برای ماتریس‌های $3 \times 3$ میان‌بری به‌یادماندنی وجود دارد. سه حاصل‌ضربی را که به سمت پایین و راست می‌روند، با دور زدن از لبه، جمع کنید و سه حاصل‌ضربی را که به سمت پایین و چپ می‌روند کم کنید. برای ماتریس مثال 2، حاصل‌ضرب‌های رو به پایین $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$، $(-3)(-1)(1) = 3$ و $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$ هستند که جمعشان 11 است. حاصل‌ضرب‌های رو به بالا $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$، $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ و $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$ هستند که جمعشان $-38$ است. دترمینان $11 - (-38) = 49$ است که با روش هم‌عامل جور است.

مراقب باشید: قاعدهٔ ساروس فقط برای ماتریس‌های $3 \times 3$ کار می‌کند. به کار بردن همین الگوی قطری برای ماتریس $4 \times 4$ جواب نادرست می‌دهد؛ اشتباهی رایج و پرهزینه در امتحان‌ها.

حذف سطری برای ماتریس‌های بزرگ‌تر

بسط هم‌عامل خیلی زود کند می‌شود: ماتریس $10 \times 10$ به میلیون‌ها حاصل‌ضرب نیاز دارد. حذف سطری بسیار کارآمدتر است. دترمینان ماتریس مثلثی صرفاً حاصل‌ضرب درایه‌های قطری آن است، پس ماتریس را به شکل مثلثی درمی‌آورید و در همان حال پیگیری می‌کنید که هر عمل سطری دترمینان را چگونه تغییر می‌دهد:

• افزودن مضربی از یک سطر به سطر دیگر دترمینان را تغییر نمی‌دهد.
• جابه‌جا کردن دو سطر دترمینان را در $-1$ ضرب می‌کند.
• ضرب یک سطر در عدد $k$ دترمینان را در $k$ ضرب می‌کند.

ویژگی‌هایی که در کار صرفه‌جویی می‌کنند

• ماتریسی که یک سطر یا ستون تمام‌صفر دارد، دترمینانش 0 است.
• ماتریسی با دو سطر برابر، یا سطری که مضربی از سطر دیگر است، دترمینانش 0 است.
• برای ماتریس $n \times n$، داریم $\det(kA) = k^n\det(A)$، نه $k\det(A)$.
• دترمینان ماتریس همانی 1 است.

این قاعده‌ها امکان می‌دهند دترمینان بسیاری از ماتریس‌ها را بدون هیچ محاسبه‌ای پیدا کنید. اگر ببینید یک سطر دو برابر سطر دیگر است، دترمینان صفر است و ماتریس وارون ندارد، که می‌توانید آن را با راهنمای وارون ماتریس تأیید کنید.

قاعدهٔ کرامر: حل دستگاه‌ها با دترمینان

دترمینان‌ها می‌توانند دستگاه‌های خطی کوچک را مستقیماً حل کنند. برای $2x + y = 5$ و $x - 3y = -1$، دترمینان ضریب‌ها $D = 2(-3) - 1(1) = -7$ است. ستون اول را با ثابت‌ها جایگزین کنید تا $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$ به دست آید، و ستون دوم را تا $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$ به دست آید. آن‌گاه $x = \frac{D_x}{D} = 2$ و $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

قاعدهٔ کرامر برای دستگاه‌های $2 \times 2$ و $3 \times 3$ زیبا و کارآمد است، اما برای دستگاه‌های بزرگ‌تر ناکارآمد است و در آنجا حذف سریع‌تر است. اگر $D = 0$، دستگاه یا جواب ندارد یا بی‌نهایت جواب دارد. ماشین‌حساب دترمینان گام‌های بسط هم‌عامل و حذف سطری را برای ماتریس‌هایی با هر اندازه نشان می‌دهد و ماشین‌حساب ماتریس حساب‌های پیرامونی را انجام می‌دهد.

مثالی 4 در 4: بگذارید صفرها کار را انجام دهند

دترمینان‌های بزرگ‌تر وقتی از صفرها بهره بگیرید قابل‌مدیریت می‌شوند. ماتریسی با سطرهای $(1, 0, 2, 0)$، $(3, 1, 0, 0)$، $(0, 0, 2, 1)$ و $(0, 0, 0, 4)$ را در نظر بگیرید. سطر آخر سه صفر دارد، پس بسط در امتداد آن فقط یک جمله باقی می‌گذارد: درایهٔ 4، در جایگاهی با علامت مثبت، ضرب در دترمینان ماتریس $3 \times 3$ که پس از حذف سطر و ستون آخر باقی می‌ماند.

این ماتریس کوچک‌تر سطرهای $(1, 0, 2)$، $(3, 1, 0)$ و $(0, 0, 2)$ را دارد. سطر آخر آن هم دو صفر دارد، پس دوباره بسط دهید: درایهٔ 2 ضرب در $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ حاصل 2 را می‌دهد. بنابراین دترمینان کامل $4 \cdot 2 = 8$ است. بدون صفرها، همین محاسبه به بیست‌وچهار حاصل‌ضرب از چهار عدد نیاز داشت.

اشتباه‌های رایجی که باید از آن‌ها پرهیز کرد

• فراموش کردن علامت‌های متناوب در بسط هم‌عامل، به‌ویژه علامت منفی جایگاه دوم سطر اول.
• به کار بردن قاعدهٔ قطری ساروس برای ماتریس $4 \times 4$ یا بزرگ‌تر.
• ضرب یک سطر در عدد هنگام حذف سطری بدون اصلاح دترمینان.
• جابه‌جا کردن سطرها و فراموش کردن تغییر علامت.
• فرض کردن $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ که در حالت کلی نادرست است؛ فقط حاصل‌ضرب‌ها به‌خوبی تفکیک می‌شوند.

عادت مفیدی است که دترمینان $3 \times 3$ را به دو روش حساب کنید، مثلاً با بسط هم‌عامل در امتداد یک سطر و سپس در امتداد ستونی که صفر دارد. اگر جواب‌ها یکی باشند می‌توانید مطمئن باشید، و اگر فرق کنند این ناهمخوانی شما را به یک خطای علامت راهنمایی می‌کند.

دترمینان در سه بعد

در سه بعد، قدرمطلق دترمینان $3 \times 3$ حجم متوازی‌السطوح، یعنی جعبه‌ای کج، است که یال‌هایش سه بردار ستونی‌اند. بنابراین ماتریس مثال 2 یک مکعب واحد را به جسمی با حجم 49 تبدیل می‌کند. همین ایده آزمونی سریع می‌دهد برای اینکه آیا سه بردار در یک صفحه قرار دارند: دقیقاً وقتی چنین است که دترمینان صفر باشد، چون جعبهٔ تخت حجم ندارد. ضرب خارجی خویشاوند نزدیک آن است، چون معمولاً به صورت یک دترمینان نمادین $3 \times 3$ محاسبه می‌شود.

پرسش‌های متداول