تابع‌های چندجمله‌ای: درجه، رفتار در دو انتها، صفرها و نمودار

چه چیزی یک تابع را چندجمله‌ای می‌کند

تابع چندجمله‌ای مجموعی از جمله‌هاست که هر کدام یک عدد ثابت ضرب در توانی صحیح و نامنفی از $x$ است:

بالاترین توان $n$ درجه است، ضریب $a_n$ پیش از آن ضریب پیشرو است و $a_0$ جملهٔ ثابت است که عرض از مبدأ هم هست. درجهٔ 1 خط، درجهٔ 2 سهمی، درجهٔ 3 چندجمله‌ای درجهٔ سوم و درجهٔ 4 چندجمله‌ای درجهٔ چهارم را می‌دهد. عبارت‌هایی با توان منفی یا کسری، مانند $\frac{1}{x}$ یا $\sqrt{x}$، یا با متغیر در مخرج یا در توان، چندجمله‌ای نیستند.

چندجمله‌ای‌ها برای هر عدد حقیقی تعریف شده‌اند و نمودارشان منحنی‌هایی هموار و پیوسته است، بی‌هیچ گوشهٔ تیز، شکاف یا مجانب. این بخشی از دلیل کاربرد گستردهٔ آن‌ها در مدل‌سازی و تقریب زدن تابع‌های دیگر است.

رفتار در دو انتها از روی جملهٔ پیشرو

برای $x$های بسیار بزرگ مثبت یا منفی، جملهٔ پیشرو بر همهٔ جمله‌های دیگر غلبه می‌کند، پس دو انتهای نمودار مانند $a_n x^n$ رفتار می‌کنند. فقط دو چیز مهم است: زوج یا فرد بودن درجه و مثبت یا منفی بودن ضریب پیشرو.

• درجهٔ زوج، ضریب پیشرو مثبت: هر دو انتها بالا می‌روند، مانند $x^2$.
• درجهٔ زوج، ضریب پیشرو منفی: هر دو انتها پایین می‌آیند، مانند $-x^2$.
• درجهٔ فرد، ضریب پیشرو مثبت: در سمت چپ پایین می‌آید و در سمت راست بالا می‌رود، مانند $x^3$.
• درجهٔ فرد، ضریب پیشرو منفی: در سمت چپ بالا می‌رود و در سمت راست پایین می‌آید، مانند $-x^3$.

برای نمونه، $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ درجهٔ فرد و ضریب پیشرو منفی دارد، پس در سمت چپ بالا می‌رود و در سمت راست پایین می‌آید، هر قدر هم ضریب‌های دیگر بزرگ به نظر برسند. بنابراین هر چندجمله‌ای درجهٔ فرد دست‌کم یک بار محور x را قطع می‌کند، چون دو انتهایش به دو جهت مخالف می‌روند.

صفرها، عامل‌ها و تکرار

صفر یا ریشهٔ $p$ مقداری مانند $c$ است که $p(c) = 0$. صفرها نقطه‌های برخورد نمودار با محور x هستند و هر صفر حقیقی $c$ متناظر با یک عامل $(x - c)$ است. پس تجزیه ابزار اصلی یافتن صفرهاست و از ویژگی حاصل‌ضرب صفر استفاده می‌کند: حاصل‌ضرب فقط وقتی صفر است که یکی از عامل‌هایش صفر باشد.

اگر عاملی تکرار شود، تکرار آن صفر بیش از یک است و نمودار در آنجا رفتار دیگری دارد. در صفری با تکرار فرد، نمودار محور را قطع می‌کند؛ در صفری با تکرار زوج، به محور مماس می‌شود و برمی‌گردد. هرچه تکرار بیشتر باشد، نمودار نزدیک صفر تخت‌تر است.

چندجمله‌ای درجهٔ $n$ حداکثر $n$ صفر حقیقی و حداکثر $n - 1$ نقطهٔ بازگشت، یعنی قله‌ها و دره‌های نمودار، دارد. چندجمله‌ای درجهٔ سوم می‌تواند یک یا دو نقطهٔ بازگشت داشته باشد یا هیچ نداشته باشد، همان‌طور که $x^3$ نشان می‌دهد. روش‌های یافتن عامل‌ها در راهنمای تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ها به‌تفصیل آمده است.

قضیه‌های باقی‌مانده و عامل

تقسیم چندجمله‌ای $p(x)$ بر $(x - c)$ باقی‌مانده‌ای به جا می‌گذارد که فقط یک عدد است و قضیهٔ باقی‌مانده می‌گوید آن عدد $p(c)$ است. قضیهٔ عامل بی‌درنگ نتیجه می‌شود: $(x - c)$ دقیقاً وقتی عامل است که $p(c) = 0$.

در مقابل، $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$، پس تقسیم $p(x)$ بر $(x - 2)$ باقی‌ماندهٔ $-4$ به جا می‌گذارد و $(x - 2)$ عامل نیست.

تقسیم ترکیبی

تقسیم ترکیبی روشی فشرده برای تقسیم بر $(x - c)$ است که فقط از ضریب‌ها استفاده می‌کند. برای مثال 3، $c = 1$ و ضریب‌های $1, -2, -5, 6$ را بنویسید.

1. ضریب نخست را پایین بیاورید: 1.
2. در $c$ ضرب کنید و با ضریب بعدی جمع کنید: $1 \times 1 = 1$ و $-2 + 1 = -1$.
3. تکرار کنید: $-1 \times 1 = -1$ و $-5 + (-1) = -6$.
4. تکرار کنید: $-6 \times 1 = -6$ و $6 + (-6) = 0$.
5. عدد آخر، 0، باقی‌مانده است. بقیه، $1, -1, -6$، ضریب‌های خارج‌قسمت‌اند: $x^2 - x - 6$.

هر توانی از $x$ جایی لازم دارد، پس برای هر جملهٔ غایب 0 بنویسید. تقسیم $x^3 - 8$ بر $(x - 2)$ از ضریب‌های $1, 0, 0, -8$ استفاده می‌کند و خارج‌قسمت $x^2 + 2x + 4$ با باقی‌ماندهٔ 0 را می‌دهد.

تقسیم ترکیبی فقط برای مقسوم‌علیه‌هایی به شکل $x - c$ کار می‌کند. برای تقسیم بر $2x - 1$، بر $x - \frac{1}{2}$ تقسیم کنید و سپس خارج‌قسمت را بر 2 تقسیم کنید، یا از تقسیم طولانی استفاده کنید.

چند صفر: قضیهٔ اساسی

قضیهٔ اساسی جبر تضمین می‌کند که چندجمله‌ای درجهٔ $n \ge 1$ دقیقاً $n$ صفر مختلط دارد، اگر هر صفر به تعداد تکرارش شمرده شود. بعضی ممکن است حقیقی و بعضی مختلط باشند. وقتی ضریب‌ها حقیقی‌اند، صفرهای مختلط به صورت جفت‌های مزدوج می‌آیند، پس اگر $2 + 3i$ صفر باشد، $2 - 3i$ هم صفر است.

این توضیح می‌دهد چرا چندجمله‌ای درجهٔ سوم با ضریب‌های حقیقی همیشه دست‌کم یک صفر حقیقی دارد: سه صفرش نمی‌توانند همه مختلط باشند، چون صفرهای مختلط جفت‌جفت می‌آیند. از سوی دیگر، چندجمله‌ای درجهٔ چهارم ممکن است هیچ صفر حقیقی نداشته باشد، همان‌طور که $x^4 + 1$ نشان می‌دهد.

وقتی صفری را نمی‌توان دقیق پیدا کرد، قضیهٔ مقدار میانی به یافتن جای آن کمک می‌کند. برای $p(x) = x^3 + x - 1$، $p(0) = -1$ و $p(1) = 1$. چون نمودار چندجمله‌ای‌ها شکاف ندارد، نمودار باید جایی میان 0 و 1 از صفر بگذرد؛ از نظر عددی ریشه حدود $0.6823$ است.

ساختن چندجمله‌ای از روی صفرهایش

اگر وارونه کار کنیم، صفرها چندجمله‌ای را تا یک ضریب ثابت مشخص می‌کنند. فرض کنید یک عبارت درجهٔ دوم صفرهای 2 و $-1$ دارد و از $(0, 4)$ می‌گذرد. پس باید $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$ باشد. جای‌گذاری نقطه می‌دهد $4 = a(-2)(1)$، پس $a = -2$ و $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. بسط دادن و وارسی اینکه $f(0) = 4$، $f(2) = 0$ و $f(-1) = 0$ نتیجه را تأیید می‌کند.

رسم نمودار چندجمله‌ای

1. درجه و ضریب پیشرو را پیدا کنید تا رفتار در دو انتها مشخص شود.
2. تجزیه کنید تا صفرها و تکرارشان را بیابید.
3. عرض از مبدأ، یعنی جملهٔ ثابت، را علامت بزنید.
4. از روی تکرار هر صفر تصمیم بگیرید نمودار در آن قطع می‌کند یا مماس می‌شود.
5. نقطه‌ها را با منحنی هموار به هم وصل کنید که از رفتار در دو انتها پیروی کند و حداکثر $n - 1$ نقطهٔ بازگشت داشته باشد.

این روش شکلی دقیق می‌دهد، هرچند ارتفاع دقیق نقطه‌های بازگشت را نمی‌دهد که به حسابان نیاز دارد. مقایسهٔ طرح خودتان با ماشین‌حساب نمودار راه خوبی برای تقویت اعتمادبه‌نفس است.

یک کاربرد: بزرگ‌ترین جعبهٔ درباز

از هر گوشهٔ یک ورق مقوا به ابعاد 10 در 16 سانتی‌متر مربعی به ضلع $x$ بریده می‌شود و لبه‌ها بالا تا می‌شوند تا جعبه‌ای درباز ساخته شود. حجم آن $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$ است. چون همهٔ طول‌ها باید مثبت باشند، دامنهٔ واقع‌بینانه $0 < x < 5$ است.

صفرهای 0، 5 و 8 نشان می‌دهند حجم کجا به هیچ می‌رسد. در این میان، حجم بالا می‌رود و پایین می‌آید و حسابان بیشینه را دقیق مشخص می‌کند: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$ که در $x = 2$، درون دامنه، صفر است. بزرگ‌ترین جعبه حجم $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ سانتی‌متر مکعب دارد. راهنمای قاعده‌های مشتق نشان می‌دهد چنین مشتق‌هایی چگونه به دست می‌آیند.

اشتباه‌های رایج

• خواندن رفتار در دو انتها از نخستین جملهٔ نوشته‌شده به جای جملهٔ با بالاترین درجه.
• جا انداختن ضریب‌های صفر توان‌های غایب در تقسیم ترکیبی.
• فرض اینکه هر صفر نقطهٔ قطع است و نادیده گرفتن تکرار زوج.
• ادعای بیش از $n - 1$ نقطهٔ بازگشت.
• اشتباه گرفتن صفر $c$ با علامت عامل: صفر 3 عامل $(x - 3)$ را می‌دهد.

ماشین‌حساب چندجمله‌ای صفرها را پیدا می‌کند، چندجمله‌ای‌ها را تجزیه و تقسیم می‌کند و هر گام را نشان می‌دهد، پس می‌توانید مثال‌های بالا را وارسی کنید.

پرسش‌های متداول