مشتق چیست؟ مقدمه‌ای روشن

از آهنگ متوسط تا آهنگ لحظه‌ای

اگر خودرویی در 2 ساعت 120 کیلومتر برود، سرعت متوسطش 60 کیلومتر بر ساعت است. این عدد چیزی دربارهٔ سرعتی که کیلومترشمار در لحظه‌ای خاص نشان داده نمی‌گوید؛ ممکن است پشت چراغ قرمز 0 و در آزادراه 100 بوده باشد. مشتق نسخهٔ ریاضیِ عدد روی کیلومترشمار است: آهنگ تغییر در یک لحظه، نه روی یک بازه.

برای هر تابع $f$، آهنگ متوسط تغییر میان $x$ و $x + h$ برابر شیب خطی است که از این دو نقطهٔ نمودار می‌گذرد و خط قاطع نام دارد:

برای به دست آوردن آهنگ لحظه‌ای، بازه را کوچک کنید. وقتی $h$ به 0 میل می‌کند، خط قاطع به سمت خط مماس می‌چرخد؛ خطی که منحنی را در آن نقطه فقط لمس می‌کند. حدِ شیب‌های خطوط قاطع همان مشتق است.

تعریف دقیق

مشتق $f$ در $x$ برابر است با

به شرط آنکه این حد وجود داشته باشد. در این صورت $f$ را در $x$ مشتق‌پذیر می‌نامند. نمی‌توانید در کسر به‌سادگی $h = 0$ بگذارید، چون حاصل $\frac{0}{0}$ می‌شود. به جای آن، عبارت را به روش جبری ساده کنید تا $h$ مخرج حذف شود و سپس حد بگیرید. اگر حد برایتان تازه است، راهنمای حد ابتدا همین ایده را توضیح می‌دهد.

نمادگذاری

چند نمادگذاری رایج است و همهٔ آن‌ها یک معنا دارند. نماد پریم لاگرانژ $f'(x)$ را می‌نویسد. نمادگذاری لایب‌نیتس $\frac{dy}{dx}$ یا $\frac{d}{dx}f(x)$ را می‌نویسد که یادآوری می‌کند مشتق نسبتِ تغییرهای کوچک است و قاعدهٔ زنجیره‌ای را طبیعی جلوه می‌دهد. فیزیک‌دان‌ها برای مشتق نسبت به زمان اغلب یک نقطه می‌گذارند: $\dot{x}$.

دو بار مشتق‌گیری مشتق دوم را می‌دهد که به صورت $f''(x)$ یا $\frac{d^2y}{dx^2}$ نوشته می‌شود. اگر $s(t)$ مکان باشد، $s'(t)$ سرعت و $s''(t)$ شتاب است.

مشتق دربارهٔ نمودار چه می‌گوید

• جایی که $f'(x) > 0$، تابع صعودی است.
• جایی که $f'(x) < 0$، تابع نزولی است.
• جایی که $f'(x) = 0$، مماس افقی است؛ بیشینه‌ها و کمینه‌های نسبی در چنین نقطه‌هایی رخ می‌دهند (یا جایی که $f'$ وجود ندارد).
• جایی که $f''(x) > 0$، نمودار تقعر رو به بالا دارد و مثل فنجان خم می‌شود؛ جایی که $f''(x) < 0$، تقعر رو به پایین است.

قاعده‌هایی که این کار را سریع می‌کنند، مانند قاعدهٔ توانی که اینجا به کار رفت، در قواعد مشتق‌گیری به زبان ساده توضیح داده شده‌اند.

یک مثال فیزیکی: سنگی که سقوط می‌کند

سنگی که از حال سکون رها شود، با نادیده گرفتن مقاومت هوا، پس از $t$ ثانیه مسافت $s(t) = 4.9t^2$ متر سقوط می‌کند. میان $t = 1$ و $t = 3$ از 4.9 متر به 44.1 متر می‌رسد، پس سرعت متوسطش $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ متر بر ثانیه است.

سرعت لحظه‌ای آن همان مشتق است: $s'(t) = 9.8t$ متر بر ثانیه. در $t = 2$ این مقدار 19.6 متر بر ثانیه است، دقیقاً برابر سرعت متوسط در بازهٔ 1 تا 3 ثانیه؛ در یک تابع درجهٔ دوم، آهنگ متوسط روی هر بازه همیشه با آهنگ لحظه‌ای در نقطهٔ وسط آن برابر است. مشتق دوم، $s''(t) = 9.8$ متر بر مجذور ثانیه، همان شتاب ثابت گرانش است.

یکاها راه خوبی برای وارسی هر مشتق‌اند. مشتق کمیتی که بر حسب متر اندازه‌گیری می‌شود نسبت به زمان بر حسب ثانیه، بر حسب متر بر ثانیه است. در اقتصاد، مشتق هزینهٔ کل بر حسب دلار نسبت به مقدار تولید، هزینهٔ نهایی است که بر حسب دلار بر واحد بیان می‌شود.

وقتی مشتق وجود ندارد

تابع در یک نقطه مشتق‌پذیر نیست اگر حد خارج‌قسمت تفاضلی در آنجا وجود نداشته باشد. روی نمودار این وضعیت به چهار شکل دیده می‌شود:

• نقطهٔ گوشه‌دار، مانند $|x|$ در 0، که شیب از چپ $-1$ و از راست $+1$ است.
• نقطهٔ بازگشتی (نوک‌تیز)، مانند $x^{2/3}$ در 0، که شیب‌ها در دو جهت مخالف بی‌نهایت تند می‌شوند.
• مماس قائم، مانند $\sqrt[3]{x}$ در 0، که شیب بی‌نهایت است.
• ناپیوستگی، مانند پرش یا حفره.

مشتق‌پذیری پیوستگی را نتیجه می‌دهد: اگر $f'(a)$ وجود داشته باشد، $f$ در $a$ پیوسته است. عکس این گزاره نادرست است، همان‌طور که $|x|$ نشان می‌دهد: این تابع همه‌جا پیوسته است اما در 0 گوشه دارد.

تخمین عددی مشتق

وقتی فرمولی در دست نیست، مثلاً با داده‌های اندازه‌گیری‌شده، می‌توان مشتق را با یک گام کوچک تخمین زد. خارج‌قسمت تفاضلی متقارن معمولاً از نسخهٔ یک‌طرفه دقیق‌تر است:

برای $f(x) = \sin x$ در $x = 0$ با $h = 0.01$، این فرمول $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$ را می‌دهد که بسیار نزدیک به مقدار دقیق $\cos 0 = 1$ است. ماشین‌حساب‌های نموداری و صفحه‌گسترده‌ها از همین نوع تخمین استفاده می‌کنند. در مقابل، ماشین‌حساب مشتق به صورت نمادین مشتق می‌گیرد و هر قاعده‌ای را که به کار می‌برد نشان می‌دهد، و ماشین‌حساب حد تعریف حدی را مستقیماً محاسبه می‌کند.

مشتق کجا به کار می‌رود

هر پرسشی از نوع «با چه سرعتی» یا «کدام مقدار بهترین است» پرسشی دربارهٔ مشتق است. مهندسان ابعاد ظرفی را که کمترین مصالح را مصرف کند با صفر قرار دادن مشتق مساحت رویه پیدا می‌کنند. اقتصاددانان سطح تولیدی را که سود را بیشینه می‌کند پیدا می‌کنند؛ جایی که درآمد نهایی با هزینهٔ نهایی برابر است. پزشکان تغییر غلظت یک دارو در خون را در طول زمان مدل‌سازی می‌کنند و مشتق به آن‌ها می‌گوید غلظت کی به اوج می‌رسد.

یادگیری ماشین در مقیاسی عظیم به مشتق متکی است. آموزش یک مدل یعنی تنظیم میلیون‌ها پارامتر برای کاهش یک معیار خطا، و جهت حرکت هر پارامتر را مشتق تعیین می‌کند؛ روشی که گرادیان کاهشی نام دارد. فیزیک تقریباً سراسر به زبان مشتق نوشته شده است: قانون دوم نیوتن می‌گوید نیرو برابر جرم ضرب در مشتق دوم مکان است.

تاریخچه‌ای کوتاه

آیزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس در نیمهٔ دوم قرن هفدهم، مستقل از هم، حسابان را بنا نهادند. نیوتن بر حسب کمیت‌هایی می‌اندیشید که در زمان جریان دارند، در حالی که لایب‌نیتس با تفاضل‌های بی‌نهایت کوچک کار می‌کرد، و نماد $\frac{dy}{dx}$ او همانی است که امروز بیشتر کتاب‌های درسی به کار می‌برند. روش‌های آنان عالی جواب می‌داد، اما بر ایده‌هایی مبهم دربارهٔ عددهای بی‌نهایت کوچک تکیه داشت. تعریف دقیق حدی که در این مقاله به کار رفت در قرن نوزدهم، عمدتاً به دست آگوستن‌لویی کوشی و کارل وایرشتراس، شکل گرفت و سرانجام این شاخه را بر پایه‌ای استوار قرار داد.

پرسش‌های متداول