ماشین‌حساب مشتق جزئی: fx، fy، مشتق آمیخته و مرتبهٔ دوم

Q: مشتقهای مرتبهٔ دوم مانند f_xx را چگونه حساب کنم؟

در کادر «مشتق نسبت به»، برای هر بار مشتقگیری متغیر را یک بار بنویسید: xx برای f_xx و yy برای f_yy. ماشینحساب پیاپی مشتق میگیرد و هر مرحله را جداگانه نشان میدهد.

Q: آیا f_xy و f_yx یکساناند؟

تقریباً برای همهٔ تابعهایی که در درسها میبینید، بله. قضیهٔ کلرو تضمین میکند که هرگاه مشتقهای آمیخته پیوسته باشند، برابرند. ماشینحساب نتیجهٔ مقایسهٔ این دو را گزارش میکند تا همخوانی آنها را ببینید.

Q: نماد ∂ چه معنایی دارد؟

این همان d خمیده است که برای مشتق جزئی به کار میرود. نشان میدهد تابع چند متغیر دارد و در مشتقگیری همهٔ متغیرها جز متغیر مخرج ثابت میمانند.

Q: آیا با تابعهای سهمتغیره کار میکند؟

بله. از تابعهایی مانند x y z یا x^2 + y z میتوان نسبت به هر یک از حرفها مشتق گرفت. برای x y z، مشتق جزئی نسبت به z برابر xy است.

Q: مشتق جزئی با مشتق معمولی چه تفاوتی دارد؟

قاعدههای هر دو یکساناند، اما مشتق معمولی فقط با یک متغیر سروکار دارد، در حالی که مشتق جزئی از میان چند متغیر یکی را برمیگزیند و بقیه را ثابت میگیرد. نتیجه همچنان تابعی از همهٔ متغیرهاست.

Q: گرادیان چیست و مشتقهای جزئی چگونه آن را میسازند؟

گرادیان برداری است که از همهٔ مشتقهای جزئی اول ساخته میشود، مانند ⟨f_x, f_y⟩. به سوی سریعترین افزایش تابع اشاره میکند و طول آن همان بیشترین آهنگ افزایش است.

Q: چرا مشتق جزئی من با پاسخ کتاب متفاوت به نظر میرسد؟

عبارتهای همارز را میتوان به شکلهای گوناگون مرتب کرد. ماشینحساب ممکن است عامل مشترک را بیرون بکشد و به جای 2xy + y cos(xy) بنویسد y(2x + cos(xy))، یا عاملها را به ترتیب دیگری بچیند. هر دو شکل را بسط دهید یا در یک نقطه مقدارشان را بگیرید تا یکسان بودنشان را تأیید کنید.

دربارهٔ ماشین‌حساب مشتق جزئی

بیشتر کمیت‌ها در علوم و اقتصاد به بیش از یک ورودی وابسته‌اند. حجم استوانه به شعاع قاعده و ارتفاع بستگی دارد، سود یک شرکت به قیمت و هزینهٔ تبلیغات، و دمای یک اتاق به هر سه مختصات. مشتق جزئی برای چنین تابع‌هایی به پرسشی روشن پاسخ می‌دهد: اگر یک ورودی تغییر کند و بقیه ثابت بمانند، خروجی با چه آهنگی تغییر می‌کند؟

این ماشین‌حساب این آهنگ‌های تغییر را به‌طور دقیق محاسبه می‌کند. تابعی مانند $x^2 y + \sin(xy)$ را وارد کنید و متغیر را برگزینید؛ ماشین‌حساب هر حرف دیگر را ثابت در نظر می‌گیرد و با قاعدهٔ جمع، قاعدهٔ ضریب ثابت، قاعدهٔ توان، قاعدهٔ ضرب و قاعدهٔ زنجیره‌ای جمله به جمله مشتق می‌گیرد. هر قاعده در گامی جداگانه نشان داده می‌شود، پس می‌بینید چرا یک $y$ پیش از $\cos(xy)$ باقی می‌ماند و چرا جمله‌ای مانند $4y$ در مشتق‌گیری نسبت به $x$ حذف می‌شود.

مشتق‌های جزئی مرتبهٔ بالاتر هم به همین شیوه به دست می‌آیند. برای مشتق دوم نسبت به $x$ بنویسید xx، یا برای مشتق آمیخته‌ای که ابتدا نسبت به $x$ و سپس نسبت به $y$ گرفته می‌شود بنویسید xy. با افزودن نقطه‌ای مانند x = 1, y = 2 مقدار نتیجه در آن نقطه را می‌گیرید. هر پاسخ پیش از نمایش با برآوردی عددی به روش تفاضل متناهی سنجیده می‌شود.

مشتق جزئی چیست؟

برای تابع $f(x, y)$ ، مشتق جزئی نسبت به $x$ که با $\frac{\partial f}{\partial x}$ یا $f_x$ نوشته می‌شود، همان مشتق معمولی است که وقتی $y$ را عددی ثابت بگیریم به دست می‌آید. به‌طور دقیق، $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . نماد خمیدهٔ $\partial$ نشان می‌دهد که متغیرهای دیگری هم هستند و ثابت نگه داشته می‌شوند.

از دید هندسی، نمودار $f(x, y)$ یک رویه است. اگر رویه را با صفحهٔ $y =$ مقدار ثابت برش بزنید، خمی به دست می‌آید و $f_x$ شیب همین خم است. به همین ترتیب $f_y$ شیب خمی است که از برش در جهت $y$ پدید می‌آید. مشتق‌های جزئی اول با هم بردار گرادیان $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ را می‌سازند که به سوی سریع‌ترین افزایش تابع اشاره می‌کند.

مشتق‌های جزئی در بهینه‌سازی به کار می‌روند (نقطه‌های بحرانی جایی‌اند که همهٔ مشتق‌های جزئی اول صفرند)، در فیزیک (معادلهٔ گرما، معادلهٔ موج و معادلهٔ لاپلاس با مشتق‌های جزئی نوشته می‌شوند)، در اقتصاد (هزینهٔ نهایی و مطلوبیت نهایی) و در یادگیری ماشین، که آموزش هر شبکهٔ عصبی با گرادیان‌ها پیش می‌رود.

روش استفاده از ماشین‌حساب مشتق جزئی

تابع را با هر حرفی به‌عنوان متغیر وارد کنید، مثلاً x^2 y + sin(x y) یا x^3 y^2 + 4y. فاصله یا * میان حرف‌ها به معنای ضرب است.
در کادر دوم متغیری را که می‌خواهید نسبت به آن مشتق بگیرید بنویسید، مثلاً x یا y.
برای مشتق‌های مرتبهٔ بالاتر، برای هر بار مشتق‌گیری یک حرف را به ترتیب بنویسید: xx برای f_xx، xy برای f_xy (ابتدا x، سپس y) و به همین ترتیب.
در صورت تمایل به هر متغیر مقداری بدهید، مثلاً x = 1, y = 2، تا مقدار مشتق در آن نقطه را بگیرید.
روی «مشتق بگیر» بزنید و گام‌ها را بخوانید؛ قاعدهٔ به‌کاررفته در هر گام مشخص شده است.

فرمول‌ها

تعریف

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

نمادگذاری مشتق جزئی آمیخته

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

قضیهٔ کلرو

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{وقتی هر دو پیوسته باشند}

گرادیان

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

قاعدهٔ زنجیره‌ای در مشتق جزئی

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

مثال حل‌شده: ∂/∂x تابع x²y + sin(xy)

مثال زیر که به‌صورت زنده محاسبه می‌شود، از $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ نسبت به $x$ مشتق می‌گیرد. وقتی $y$ ثابت بماند، جملهٔ اول عددی ثابت ضرب در $x^2$ است و به $2xy$ تبدیل می‌شود. جملهٔ دوم به قاعدهٔ زنجیره‌ای نیاز دارد: مشتق $\sin u$ برابر $\cos u$ ضرب در $\frac{\partial u}{\partial x}$ است و برای $u = xy$ این مشتق درونی برابر $y$ است.

از جمع این دو بخش $2xy + y\cos(xy)$ به دست می‌آید که ماشین‌حساب آن را به صورت $f_x = y(2x + \cos(xy))$ تجزیه می‌کند. دقت کنید که از $y$ هرگز مشتق گرفته نمی‌شود؛ اگر به جای آن عدد 5 نوشته شده بود، دقیقاً همین رفتار را داشت.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

مشتق جزئی اول f_x را برای f(x, y) پیدا کنید.

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

راه‌حل گام‌به‌گام

تابع و ترتیب مشتق‌گیری را مشخص کنید
نسبت به x مشتق بگیرید؛ هر متغیر دیگر (y) ثابت نگه داشته می‌شود.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
قاعدهٔ جمع: از هر جمله جداگانه مشتق بگیرید
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
قاعدهٔ زنجیره‌ای — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
قاعدهٔ ضریب ثابت
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
قاعدهٔ ضریب ثابت
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
قاعدهٔ توان: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
ساده کنید: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

فرمول‌های به‌کاررفته

تعریف
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
مشتق‌های جزئی آمیخته (کلرو)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{وقتی هر دو پیوسته باشند}$

مشتق جزئی اندازه می‌گیرد که f وقتی فقط یک متغیر تغییر می‌کند چگونه تغییر می‌کند: با بقیهٔ متغیرها دقیقاً مثل عدد رفتار می‌شود، پس قاعده‌های معمول مشتق‌گیری به کار می‌روند.

بررسی‌ها

با یک مشتق‌گیر نمادین مستقل در چند نقطهٔ نمونه مقایسه شد ✓

توضیح کامل

متغیرهای دیگر ثابت می‌مانند

پشت همهٔ مشتق‌های جزئی یک ایده است: متغیرهایی که نسبت به آن‌ها مشتق نمی‌گیرید منجمد می‌شوند. اگر این ایده برایتان دشوار است، ابتدا عددی مشخص را جای آن‌ها بگذارید. مشتق $x^3 y^2 + 4y$ نسبت به $y$ مانند مشتق $8y^2 + 4y$ در $x = 2$ است: پاسخ به شکل $2 \cdot 8y + 4$ است و با گذاشتن دوبارهٔ $x^3$ به جای 8 به $f_y = 2x^3 y + 4$ می‌رسیم.

همین نکته توضیح می‌دهد کدام جمله‌ها حذف می‌شوند. جمله‌ای که فقط متغیرهای منجمد را دارد ثابت است، پس مشتق جزئی آن صفر است. در $f = x^2 + 3xy$ ، مشتق جزئی نسبت به $y$ جملهٔ $x^2$ را کاملاً نادیده می‌گیرد و $f_y = 3x$ را می‌دهد.

قاعده‌های آشنا همچنان برقرارند

مشتق‌گیری جزئی دقیقاً از همان قاعده‌های حسابان تک‌متغیره استفاده می‌کند: قاعدهٔ توان، قاعدهٔ جمع، قاعدهٔ ضریب ثابت، قاعدهٔ ضرب، قاعدهٔ خارج‌قسمت و قاعدهٔ زنجیره‌ای. تنها تفاوت در حساب‌وکتاب است. حاصل‌ضربی که هر دو عاملش $x$ دارند، در مشتق‌گیری نسبت به $x$ به قاعدهٔ ضرب نیاز دارد؛ اما اگر یکی از عامل‌ها فقط $y$ داشته باشد، تنها یک ضریب ثابت است.

بیشترین خطا در قاعدهٔ زنجیره‌ای رخ می‌دهد. وقتی تابعی روی عبارتی با چند متغیر اثر می‌کند، مانند $e^{xy}$ یا $\ln(x^2 + y^2)$ ، مشتق درونی هم مشتق جزئی است. بنابراین $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ و $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

مشتق‌های جزئی مرتبهٔ دوم و آمیخته

اگر از یک مشتق جزئی دوباره مشتق جزئی بگیرید، مشتق مرتبهٔ دوم به دست می‌آید. تابع دومتغیره چهار مشتق جزئی مرتبهٔ دوم دارد: $f_{xx}$ ، $f_{yy}$ و مشتق‌های آمیختهٔ $f_{xy}$ و $f_{yx}$ . نماد زیرنویسی از چپ به راست خوانده می‌شود، پس $f_{xy}$ یعنی ابتدا نسبت به $x$ و سپس نسبت به $y$ . نماد کسری $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ از راست به چپ خوانده می‌شود و همان معنا را دارد.

برای $f = x^2 y^3$ ، مشتق نسبت به $x$ مقدار $2xy^3$ را می‌دهد و سپس مشتق نسبت به $y$ به $f_{xy} = 6xy^2$ می‌رسد که در نقطهٔ $(1, 2)$ برابر 24 است. با ترتیب دیگر ابتدا $3x^2y^2$ و سپس باز هم $6xy^2$ به دست می‌آید. این هم‌خوانی همان قضیهٔ کلرو است: برای تابع‌هایی که مشتق‌های جزئی مرتبهٔ دوم پیوسته دارند، ترتیب مشتق‌گیری آمیخته اهمیتی ندارد. ماشین‌حساب هر بار که مشتق آمیخته‌ای را حساب می‌کند، این را به‌عنوان آزمونی نشان می‌دهد.

مشتق‌های مرتبهٔ دوم کاربرد مشخصی دارند. در آزمون مشتق دوم برای نقطه‌های بحرانی $f(x, y)$ ، کمیت $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ تعیین می‌کند که نقطه بیشینه است، کمینه است یا نقطهٔ زینی.

مقدار در یک نقطه و تفسیر عدد

مشتق جزئی خود تابعی از همهٔ متغیرهاست، پس مقدارش به جایی که هستید بستگی دارد. برای $f = x^2 + 3xy$ ، مشتق $f_x = 2x + 3y$ در $(1, 2)$ برابر 8 است. یعنی نزدیک این نقطه، اگر $y = 2$ ثابت بماند و $x$ به اندازهٔ کوچک $\Delta x$ افزایش یابد، $f$ تقریباً به اندازهٔ $8\,\Delta x$ افزایش می‌یابد.

یکاها این تفسیر را ملموس می‌کنند. اگر $V(r, h) = \pi r^2 h$ حجم استوانه بر حسب سانتی‌متر مکعب باشد، یکای $V_r = 2\pi r h$ سانتی‌متر مکعب بر هر سانتی‌متر شعاع است و نشان می‌دهد وقتی ارتفاع ثابت است، حجم چقدر به تغییر شعاع حساس است.

اشتباه‌های رایج

مشتق گرفتن از متغیری که باید ثابت بماند، مثلاً نوشتن $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
گمان اینکه جمله‌ای مانند $4y$ در مشتق‌گیری نسبت به $x$ باقی می‌ماند؛ این جمله ثابت است و مشتقش 0 است.
فراموش کردن مشتق جزئی درونی در قاعدهٔ زنجیره‌ای، مثلاً نوشتن $\cos(xy)$ برای $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
وارونه خواندن ترتیب $f_{xy}$ ؛ ترتیب زیرنویس‌ها همان ترتیب مشتق‌گیری است.
یکی دانستن $\frac{\partial f}{\partial x}$ با مشتق کامل $\frac{df}{dx}$ وقتی $y$ خود به $x$ وابسته است.

نکته‌ها

اگر مطمئن نیستید چه چیزی ثابت است، در ذهن عددی مشخص را جای متغیرهای منجمد بگذارید.
پیش از مشتق‌گیری ثابت‌ها را بیرون بکشید؛ در مشتق‌گیری نسبت به $x$ ، عبارت $x^2 y^3$ همان $y^3$ ضرب در $x^2$ است.
قضیهٔ کلرو را آزمونی رایگان بدانید: $f_{xy}$ و $f_{yx}$ را جداگانه حساب کنید و با هم مقایسه کنید.
به محض داشتن هر دو مشتق جزئی اول، $\nabla f$ را بنویسید؛ بیشتر کاربردها به کل گرادیان نیاز دارند.
پیش از گرفتن مشتق دوم، مشتق‌های اول را ساده کنید تا عبارت‌ها جمع‌وجور بمانند.
علامت مشتق جزئی در یک نقطه را بررسی کنید تا بفهمید تابع در آن جهت بالا می‌رود یا پایین.

پرسش‌های متداول

تابع دومتغیره را چگونه وارد کنم؟

برای متغیرها از حرف و برای ضرب از فاصله یا * استفاده کنید، مثلاً x^2 y + sin(x y) یا x^2*y + sin(x*y). هر حرفی که بخشی از نام تابعی مانند sin یا log نباشد، متغیر در نظر گرفته می‌شود.

مشتق‌های مرتبهٔ دوم مانند f_xx را چگونه حساب کنم؟

در کادر «مشتق نسبت به»، برای هر بار مشتق‌گیری متغیر را یک بار بنویسید: xx برای f_xx و yy برای f_yy. ماشین‌حساب پیاپی مشتق می‌گیرد و هر مرحله را جداگانه نشان می‌دهد.

آیا f_xy و f_yx یکسان‌اند؟

تقریباً برای همهٔ تابع‌هایی که در درس‌ها می‌بینید، بله. قضیهٔ کلرو تضمین می‌کند که هرگاه مشتق‌های آمیخته پیوسته باشند، برابرند. ماشین‌حساب نتیجهٔ مقایسهٔ این دو را گزارش می‌کند تا هم‌خوانی آن‌ها را ببینید.

نماد ∂ چه معنایی دارد؟

این همان d خمیده است که برای مشتق جزئی به کار می‌رود. نشان می‌دهد تابع چند متغیر دارد و در مشتق‌گیری همهٔ متغیرها جز متغیر مخرج ثابت می‌مانند.

آیا می‌توانم مقدار مشتق جزئی را در یک نقطه بگیرم؟

بله. در کادر اختیاری به هر متغیر مقداری بدهید، مثلاً x = 1, y = 2. ماشین‌حساب این مقدارها را در مشتق نهایی جای‌گذاری می‌کند و عدد را می‌دهد؛ مثلاً f_x = 2x + 3y در (1, 2) برابر 8 است.

آیا با تابع‌های سه‌متغیره کار می‌کند؟

بله. از تابع‌هایی مانند x y z یا x^2 + y z می‌توان نسبت به هر یک از حرف‌ها مشتق گرفت. برای x y z، مشتق جزئی نسبت به z برابر xy است.

مشتق جزئی با مشتق معمولی چه تفاوتی دارد؟

قاعده‌های هر دو یکسان‌اند، اما مشتق معمولی فقط با یک متغیر سروکار دارد، در حالی که مشتق جزئی از میان چند متغیر یکی را برمی‌گزیند و بقیه را ثابت می‌گیرد. نتیجه همچنان تابعی از همهٔ متغیرهاست.

گرادیان چیست و مشتق‌های جزئی چگونه آن را می‌سازند؟

گرادیان برداری است که از همهٔ مشتق‌های جزئی اول ساخته می‌شود، مانند ⟨f_x, f_y⟩. به سوی سریع‌ترین افزایش تابع اشاره می‌کند و طول آن همان بیشترین آهنگ افزایش است.

چرا مشتق جزئی من با پاسخ کتاب متفاوت به نظر می‌رسد؟

عبارت‌های هم‌ارز را می‌توان به شکل‌های گوناگون مرتب کرد. ماشین‌حساب ممکن است عامل مشترک را بیرون بکشد و به جای 2xy + y cos(xy) بنویسد y(2x + cos(xy))، یا عامل‌ها را به ترتیب دیگری بچیند. هر دو شکل را بسط دهید یا در یک نقطه مقدارشان را بگیرید تا یکسان بودنشان را تأیید کنید.

از تابع چندمتغیرهٔ خود مشتق بگیرید

تابع و متغیر مشتق‌گیری را در بالا وارد کنید تا مشتق جزئی اول، دوم یا آمیخته را همراه با هر قاعدهٔ به‌کاررفته ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید