مربع کامل کردن: راهنمای گام‌به‌گام

ایدهٔ پشت روش

سه‌جمله‌ای مربع کامل، بسط مربع یک دوجمله‌ای است. بسط $(x + h)^2$ می‌دهد $x^2 + 2hx + h^2$: جملهٔ ثابت، مربع نصف ضریب $x$ است. مربع کامل کردن یعنی افزودن دقیقاً همین ثابت تا عبارت به مربع کامل تبدیل شود.

برای مثال، نصف 6 برابر 3 است و $3^2 = 9$، پس $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. بسط طرف راست $x^2 + 6x + 9 - 9$ را می‌دهد که درستی آن را تأیید می‌کند. از دید هندسی، $x^2 + 6x$ یک مربع $x$ در $x$ به‌علاوهٔ دو نوار $3$ در $x$ است و گوشهٔ کم‌شده مربعی $3$ در $3$ با مساحت 9 است.

همین الگو با علامت منها هم کار می‌کند. نصف $-10$ برابر $-5$ است و $(-5)^2 = 25$، پس $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. ثابتی که می‌افزایید همیشه مثبت است، چون مربع است، در حالی که علامت درون پرانتز با علامت $b$ یکی است. جدا نگه داشتن این دو واقعیت جلوی بیشتر خطاها را در گام‌های بعدی می‌گیرد.

حل معادلهٔ درجهٔ دوم با مربع کامل کردن

1. اگر ضریب $x^2$ برابر 1 نیست، همهٔ جمله‌ها را بر آن تقسیم کنید.
2. جملهٔ ثابت را به طرف راست ببرید.
3. $(b/2)^2$ را به هر دو طرف بیفزایید.
4. طرف چپ را به صورت $(x + b/2)^2$ بنویسید و طرف راست را ساده کنید.
5. از دو طرف جذر بگیرید، $\pm$ را فراموش نکنید و $x$ را به دست آورید.

وقتی ضریب پیشرو 1 نیست

فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم هم همین را می‌دهد: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. وقتی ضریب میانی فرد است، کسرها اجتناب‌ناپذیرند اما قابل‌کنترل‌اند. برای $x^2 + 5x - 1 = 0$، نصف 5 برابر $\frac{5}{2}$ است، پس $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ و $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

جواب‌های مختلط

اگر طرف راست در نهایت منفی شود، جواب حقیقی وجود ندارد، اما روش همچنان جواب‌های مختلط را می‌دهد.

وارسی: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$، و $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

شکل رأسی سهمی

رایج‌ترین کاربرد مربع کامل کردن در رسم نمودار، تبدیل $y = ax^2 + bx + c$ به شکل رأسی $y = a(x - h)^2 + k$ است که در آن $(h, k)$ رأس سهمی است. چون مربع هرگز منفی نیست، رأس وقتی $a > 0$ نقطهٔ کمینه و وقتی $a < 0$ نقطهٔ بیشینه است.

پرتکرارترین خطا در مثال 4، فراموش کردن ضرب 9 کم‌شده در عامل بیرون‌کشیدهٔ $-2$ است. بسط دوبارهٔ شکل رأسی، وارسی سریعی است.

میان‌بر $h = -\frac{b}{2a}$ همان طول رأس را می‌دهد؛ مربع کامل کردن نشان می‌دهد این فرمول از کجا می‌آید. ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم رأس را در کنار ریشه‌ها گزارش می‌کند.

به دست آوردن فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم

مربع کامل کردن در معادلهٔ کلی $ax^2 + bx + c = 0$ با $a \neq 0$ فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم را می‌سازد و به همین دلیل این فرمول همیشه کار می‌کند.

گام میانی از افزودن $\frac{b^2}{4a^2}$ به هر دو طرف و نوشتن $-\frac{c}{a}$ به صورت $-\frac{4ac}{4a^2}$ به دست می‌آید. راهنمای چگونه معادلهٔ درجهٔ دوم را حل کنیم توضیح می‌دهد کی از فرمول، تجزیه یا این روش استفاده کنید.

دایره‌ها و کاربردهای دیگر

مربع کامل کردن هم برای $x$ و هم برای $y$، معادلهٔ کلی دایره را به شکل مرکز و شعاع تبدیل می‌کند.

در حسابان، همین گام انتگرال‌هایی مانند $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ را آماده می‌کند: نوشتن مخرج به صورت $(x + 1)^2 + 4$ نتیجهٔ $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$ را می‌دهد. ماشین‌حساب انتگرال هر جا این جانشانی کاربرد داشته باشد از آن استفاده می‌کند.

اشتباه‌های رایج

• افزودن $(b/2)^2$ فقط به یک طرف.
• مربع کامل کردن پیش از تقسیم بر ضریب پیشرویی که 1 نیست.
• فراموش کردن $\pm$ هنگام جذر گرفتن که یک جواب را از دست می‌دهد.
• استفاده از $b^2$ یا $b/2$ به جای $(b/2)^2$.
• بد خواندن علامت رأس: در $(x - 3)^2$، $h = 3$ است و در $(x + 3)^2$، $h = -3$.

مثال خودتان را در ماشین‌حساب مربع کامل کردن امتحان کنید که تک‌تک گام‌های بالا را نشان می‌دهد.

خواندن اطلاعات از مربع کامل‌شده

وقتی یک عبارت درجهٔ دوم به صورت $a(x - h)^2 + k$ نوشته شد، اطلاعات زیادی را می‌توان بدون محاسبهٔ بیشتر از آن خواند. رأس $(h, k)$ است و محور تقارن خط قائم $x = h$ است. برد هم مستقیم به دست می‌آید: اگر $a > 0$، کوچک‌ترین مقدار $k$ و برد $[k, \infty)$ است؛ اگر $a < 0$، بزرگ‌ترین مقدار $k$ و برد $(-\infty, k]$ است.

تعداد نقطه‌های برخورد با محور x هم از همین‌جا می‌آید. قرار دادن $a(x - h)^2 + k = 0$ می‌دهد $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. اگر $-\frac{k}{a}$ مثبت باشد دو نقطهٔ برخورد وجود دارد، اگر صفر باشد رأس بر محور مماس است و اگر منفی باشد سهمی هرگز محور را قطع نمی‌کند. در مثال 3، $(x - 2)^2 = -3$ جواب حقیقی ندارد که با رأس در ارتفاع 3 روی سهمی رو به بالا سازگار است. در مثال 4، $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ می‌دهد $(x - 3)^2 = 4$، پس نقطه‌های برخورد $x = 1$ و $x = 5$ هستند.

مسئله‌های بهینه‌سازی هم از همین ایده استفاده می‌کنند. اگر سود فروش با قیمت $p$ برابر $P = -2p^2 + 12p - 10$ بر حسب صد دلار باشد، مثال 4 نشان می‌دهد بیشترین سود در $p = 3$ برابر 8 صد دلار است. نیازی به حسابان نیست، چون جملهٔ مربعی فقط می‌تواند مقدار را از ارتفاع رأس پایین‌تر بیاورد.

تمرین‌ها با پاسخ

پیش از نگاه کردن به پاسخ‌ها، این‌ها را امتحان کنید. هر کدام از یکی از گام‌های مثال‌های بالا استفاده می‌کند.

1. معادلهٔ $x^2 - 10x + 21 = 0$ را حل کنید. پاسخ: $(x - 5)^2 = 4$، پس $x = 3$ یا $x = 7$.
2. معادلهٔ $x^2 + 2x - 4 = 0$ را حل کنید. پاسخ: $(x + 1)^2 = 5$، پس $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. $y = x^2 + 8x + 10$ را به شکل رأسی بنویسید. پاسخ: $y = (x + 4)^2 - 6$، رأس $(-4, -6)$.
4. $y = 3x^2 - 6x + 1$ را به شکل رأسی بنویسید. پاسخ: $y = 3(x - 1)^2 - 2$، رأس $(1, -2)$.
5. مرکز و شعاع $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ را بیابید. پاسخ: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$، مرکز $(-1, 4)$، شعاع 3.

اگر پاسخی جور درنیامد، مربع کامل‌شدهٔ خود را بسط دهید و سطر به سطر با عبارت اصلی مقایسه کنید؛ تفاوت معمولاً دقیقاً نشان می‌دهد کدام ثابت نادرست افزوده یا کم شده است.

چرا این روش ارزش یادگیری دارد

با وجود فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم، منصفانه است بپرسیم چرا هنوز مربع کامل کردن آموزش داده می‌شود. پاسخ این است که این روش یک تبدیل است، نه فقط ترفندی برای حل. عبارت را طوری بازنویسی می‌کند که متغیر فقط در یک جا، درون یک مربع، ظاهر شود. وقتی چنین شد، تحلیل عبارت آسان است: کوچک‌ترین یا بزرگ‌ترین مقدار، تقارن و ریشه‌هایش همه یک‌جا دیده می‌شوند.

این ایده در سراسر ریاضیات تکرار می‌شود. مقطع‌های مخروطی مانند دایره، بیضی و هذلولی با مربع کامل کردن در دو متغیر شناسایی می‌شوند. در آمار، چگالی توزیع نرمال در نمای خود یک مربع کامل‌شده دارد و به دست آوردن بسیاری از ویژگی‌هایش به همین جبر تکیه می‌کند. در حسابان، انتگرال‌هایی که عبارتی درجهٔ دوم زیر رادیکال یا در مخرج دارند پس از این گام به شکل‌های استاندارد درمی‌آیند. فیزیک از آن برای یافتن نقطه‌های تعادل تابع‌های انرژی استفاده می‌کند.

بنابراین تمرین آن روی عبارت‌های درجهٔ دوم ساده مهارتی می‌سازد که مباحث بعدی فرض می‌کنند آن را دارید. اگر بتوانید مثال‌های 1 تا 5 را بدون یادداشت حل کنید، برای آن کاربردها و برای سؤال‌های امتحانی که از شما می‌خواهند روش را نشان دهید، نه فقط ریشه‌ها را بگویید، به‌خوبی آماده‌اید.

پرسش‌های متداول