مشتق‌گیری ضمنی، گام به گام

معادله‌های صریح و ضمنی

معادلهٔ صریح $y$ را مستقیماً به صورت فرمولی بر حسب $x$ می‌دهد، مانند $y = x^2 + 1$. اما بسیاری از منحنی‌های مهم به صورت ضمنی، با معادله‌ای که $x$ و $y$ را به هم پیوند می‌دهد، توصیف می‌شوند. دایرهٔ $x^2 + y^2 = 25$ نمونه‌ای آشناست. حل آن بر حسب $y$ دو تابع می‌دهد، $y = \sqrt{25 - x^2}$ برای نیمهٔ بالا و $y = -\sqrt{25 - x^2}$ برای نیمهٔ پایین، و مشتق‌گیری جداگانه از هر کدام دست‌وپاگیر است.

منحنی‌های دیگری را اصلاً نمی‌توان با جبر معمولی بر حسب $y$ حل کرد، مانند $x^3 + y^3 = 6xy$ یا $e^y + xy = e$. نمودار این‌ها هم تقریباً در هر نقطه خط مماس دارد و مشتق‌گیری ضمنی ابزاری است که شیب‌ها را پیدا می‌کند. این روش تماماً بر قاعدهٔ زنجیره‌ای تکیه دارد، پس اگر این قاعده برایتان لرزان است، بهتر است نخست قواعد مشتق‌گیری به زبان ساده را مرور کنید.

روش در چهار گام

1. از دو طرف معادله نسبت به $x$ مشتق بگیرید.
2. هر بار که از عبارتی شامل $y$ مشتق می‌گیرید، در $\frac{dy}{dx}$ ضرب کنید، چون $y$ تابعی از $x$ است و قاعدهٔ زنجیره‌ای برقرار است.
3. همهٔ جمله‌های شامل $\frac{dy}{dx}$ را در یک طرف و بقیه را در طرف دیگر جمع کنید.
4. از $\frac{dy}{dx}$ فاکتور بگیرید و با تقسیم آن را تنها کنید.

واقعیت کلیدی پشت گام 2 این اتحاد قاعدهٔ زنجیره‌ای است که در آن $f$ هر تابع مشتق‌پذیری است:

پس $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$، $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ و $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. حاصل‌ضرب‌هایی مانند $xy$ به قاعدهٔ ضرب هم نیاز دارند: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

مثال: دایره

توجه کنید که جواب ضمنی یک‌جا برای هر دو نیمه کار می‌کند: در $(3, -4)$ شیب $+\frac{3}{4}$ است. فرمول همچنین نشان می‌دهد مماس‌ها کجا افقی‌اند، یعنی وقتی $x = 0$، در $(0, 5)$ و $(0, -5)$، و کجا قائم‌اند، یعنی وقتی $y = 0$، در $(5, 0)$ و $(-5, 0)$. جواب علاوه بر $x$ شامل $y$ هم هست که در مشتق‌های ضمنی عادی است؛ برای رسیدن به یک عدد به نقطه‌ای روی منحنی نیاز دارید، نه فقط یک مقدار $x$.

مثال‌هایی که نمی‌توان بر حسب y حل کرد

مشتق دوم

برای یافتن $\frac{d^2y}{dx^2}$، دوباره از مشتق اول به‌طور ضمنی مشتق بگیرید و سپس مشتق اول را جای‌گذاری کنید. برای دایره، از $y' = -\frac{x}{y}$ شروع کنید و قاعدهٔ تقسیم را به کار ببرید:

گام آخر برای ساده‌سازی از معادلهٔ اصلی، $x^2 + y^2 = 25$، استفاده می‌کند؛ ترفندی که اغلب کمک می‌کند. حاصل در نیمهٔ بالا، جایی که $y > 0$، منفی است، پس منحنی آنجا تقعر رو به پایین دارد، و در نیمهٔ پایین مثبت است که با تصویر دایره جور درمی‌آید.

به دست آوردن مشتق توابع وارون

مشتق‌گیری ضمنی توضیح می‌دهد مشتق توابع وارون از کجا می‌آید. فرض کنید $y = \arctan x$. آن‌گاه $\tan y = x$. مشتق‌گیری $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$ را می‌دهد، پس $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

همین روش با $y = \ln x$، که به صورت $e^y = x$ بازنویسی می‌شود، $e^y\frac{dy}{dx} = 1$ را می‌دهد، پس $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. به‌طور کلی، شیب تابع وارون در نقطهٔ متناظر معکوس شیب تابع اصلی است، همان‌طور که در مقالهٔ ما دربارهٔ توابع وارون آمده است.

آهنگ‌های وابسته

وقتی متغیرها به زمان وابسته‌اند، همین ایده نسبت به $t$ به جای $x$ کار می‌کند. هر متغیر آهنگ تغییر خودش را دارد.

اشتباه‌های رایج

• جا انداختن ضریب $\frac{dy}{dx}$ هنگام مشتق‌گیری از جمله‌ای که $y$ دارد.
• در نظر گرفتن $xy$ به عنوان یک متغیر واحد به جای استفاده از قاعدهٔ ضرب.
• مشتق‌گیری از ثابت طرف راست انگار که متغیر است؛ مشتق ثابت‌ها 0 است.
• جای‌گذاری عددها پیش از مشتق‌گیری، که کمیت‌های در حال تغییر را منجمد می‌کند.
• استفاده از نقطه‌ای که در واقع روی منحنی نیست. همیشه نخست نقطه را وارسی کنید.

ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی همهٔ گام‌ها را انجام می‌دهد، جمله‌های مشتق را جمع می‌کند و می‌تواند شیب را در یک نقطه محاسبه کند. برای توابع صریح از ماشین‌حساب مشتق استفاده کنید.

چرا این روش معتبر است

مشتق‌گیری ضمنی فرض می‌کند که در نزدیکی نقطهٔ مورد نظر، منحنی واقعاً نمودار تابع مشتق‌پذیری مانند $y(x)$ است، حتی اگر نتوانیم آن تابع را بنویسیم. جای‌گذاری آن در معادله، معادله را به اتحادی بر حسب $x$ تبدیل می‌کند که برای هر $x$ نزدیک آن نقطه درست است. دو عبارتی که برای هر $x$ برابرند باید مشتق‌های برابر داشته باشند و به همین دلیل می‌توانیم از دو طرف مشتق بگیریم.

این فرض فقط در نقطه‌های خاص از کار می‌افتد، مانند جایی که مماس قائم است یا جایی که منحنی خودش را قطع می‌کند. برگ دکارت در مبدأ خودش را قطع می‌کند و در آنجا فرمول مشتق $\frac{0}{0}$ می‌دهد. در چنین نقطه‌هایی منحنی به‌طور موضعی نمودار یک تابع واحد نیست، پس شیب واحدی ندارد. قضیهٔ تابع ضمنی، که در حسابان چندمتغیره با آن آشنا می‌شوید، دقیقاً بیان می‌کند این فرض کی امن است.

میان‌بری با مشتق‌های جزئی

اگر منحنی به صورت $F(x, y) = 0$ نوشته شود، فرمول فشرده‌ای برای شیب وجود دارد که از همین استدلال نتیجه می‌شود:

در اینجا $F_x$ و $F_y$ مشتق‌های جزئی‌اند که با مشتق‌گیری نسبت به یک متغیر و ثابت گرفتن متغیر دیگر به دست می‌آیند. برای دایره، $F = x^2 + y^2 - 25$ نتیجه می‌دهد $F_x = 2x$ و $F_y = 2y$، پس شیب مانند قبل $-\frac{x}{y}$ است. ماشین‌حساب مشتق جزئی $F_x$ و $F_y$ را برایتان محاسبه می‌کند.

تمرین‌ها همراه با جواب

1. $x^2 - y^2 = 9$. جواب: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$، شیب در $(3, 4)$. جواب: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ که در آنجا $-\frac{4}{3}$ است.
3. $y^3 + y = x$. جواب: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$ که همیشه مثبت است، پس منحنی همواره صعودی است.
4. $\cos y = x$. جواب: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$ که به مشتق آرک‌کسینوس می‌رسد.

برای هر کدام، جوابتان را این‌طور وارسی کنید: نقطه‌ای روی منحنی انتخاب کنید، شیب را به‌طور عددی از روی نقطه‌ای نزدیک تخمین بزنید و مقایسه کنید.

منحنی‌های ضمنی کجا ظاهر می‌شوند

معادله‌های ضمنی در عمل رایج‌اند. مقطع‌های مخروطی مانند بیضی و هذلولی به‌طور طبیعی به صورت ضمنی نوشته می‌شوند. در اقتصاد، منحنی بی‌تفاوتی مقدارهای دو کالا را که رضایت یکسانی برای مصرف‌کننده دارند به هم پیوند می‌دهد، و شیب آن، که به‌طور ضمنی به دست می‌آید، نرخی است که مصرف‌کننده حاضر است یک کالا را با دیگری مبادله کند. در ترمودینامیک، معادله‌های حالت فشار، حجم و دما را به هم پیوند می‌دهند و مشتق‌گیری ضمنی نشان می‌دهد با تغییر یکی، دیگری چگونه تغییر می‌کند. هرگاه دو کمیت با یک قاعده و نه یک فرمول به هم گره خورده باشند، این روش آهنگ تغییرشان را به دست می‌دهد.

پرسش‌های متداول