آمار

میانگین، میانه، مد و انحراف معیار: راهنمای کامل

Q: آیا میانگین، میانه و مد ممکن است هر سه یکی باشند؟

بله. در توزیعی کاملاً متقارن با یک قله، مانند منحنی زنگولهای آرمانی، هر سه بر هم منطبقاند. در دادههای واقعی معمولاً نزدیک به هماند اما یکسان نیستند.

Q: چرا به جای میانگین درآمد، میانهٔ درآمد گزارش میشود؟

درآمدها بهشدت چوله به راستاند: تعداد کمی افراد پردرآمد میانگین را بسیار بالاتر از درآمد یک فرد معمولی میبرند. میانه از میزان افراطی بودن درآمدهای بالا اثر نمیپذیرد، پس فرد معمولی را بهتر نمایندگی میکند.

Q: آیا انحراف معیار میتواند منفی باشد؟

خیر. انحراف معیار جذر میانگین مجذور فاصلههاست، پس همیشه صفر یا مثبت است. فقط وقتی صفر است که همهٔ مقدارها یکسان باشند.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

میانگین، میانه و مد مرکز یک مجموعه‌داده را توصیف می‌کنند و دامنه و انحراف معیار میزان پراکندگی آن را. دانستن روش محاسبهٔ هر کدام و اینکه هر یک کی خلاصه‌ای صادقانه می‌دهد، پایهٔ آمار است.

مرکز و پراکندگی: دو پرسش اصلی

فهرستی از عددها را نمی‌توان با یک نگاه خواند. آمار آن را با پاسخ به دو پرسش خلاصه می‌کند. وسط داده‌ها کجاست؟ و مقدارها معمولاً چقدر از این وسط دور می‌شوند؟ شاخص‌های گرایش مرکزی، یعنی میانگین، میانه و مد، به پرسش اول پاسخ می‌دهند. شاخص‌های پراکندگی، مانند دامنه، دامنهٔ میان‌چارکی و انحراف معیار، به پرسش دوم.

به هر دو نیاز دارید. دو کلاس ممکن است میانگین نمرهٔ امتحان یکسانی داشته باشند، اما در یکی همه نمره‌ای نزدیک میانگین گرفته باشند و در دیگری نمره‌ها از مردودی تا نمرهٔ کامل گسترده باشند. مرکز به‌تنهایی این تفاوت را پنهان می‌کند و پراکندگی به‌تنهایی چیزی دربارهٔ عملکرد کلی کلاس نمی‌گوید.

میانگین

میانگین یا میانگین حسابی، مجموع مقدارها تقسیم بر تعداد آن‌هاست. برای مجموعه‌دادهٔ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ :

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

مثال 1: میانگین هشت نمرهٔ امتحان

نمره‌ها: 72، 85، 90، 85، 68، 95، 85، 77.
مجموع: $72 + 85 + 90 + 85 + 68 + 95 + 85 + 77 = 657$ .
میانگین: $\frac{657}{8} = 82.125$ .

میانگین از همهٔ مقدارها استفاده می‌کند که آن را کارآمد اما حساس هم می‌کند. یک مقدار بسیار بزرگ یا کوچک، یعنی دادهٔ پرت، می‌تواند آن را بسیار جابه‌جا کند. میانگین وزن‌دار به برخی مقدارها اثر بیشتری از بقیه می‌دهد. اگر امتحان پایانی 60 درصد نمره و کارهای کلاسی 40 درصد آن را تشکیل دهند، نمره‌های 80 و 90 به صورت $0.6(80) + 0.4(90) = 84$ ترکیب می‌شوند، نه میانگین سادهٔ 85.

میانه

میانه مقدار وسط داده‌ها پس از مرتب کردن آن‌هاست. اگر تعداد مقدارها فرد باشد، میانه همان تک مقدار وسط است؛ اگر زوج باشد، میانگین دو مقدار وسط است.

مثال 2: میانهٔ همان نمره‌ها

نمره‌ها را مرتب کنید: 68، 72، 77، 85، 85، 85، 90، 95.
8 مقدار داریم، پس جفت وسط مقدارهای شمارهٔ 4 و 5 هستند: 85 و 85.
میانه: $\frac{85 + 85}{2} = 85$ .

میانه به اینکه مقدارهای انتهایی چقدر از وسط دورند اهمیتی نمی‌دهد و همین آن را در برابر داده‌های پرت مقاوم می‌کند. فرض کنید پنج نفر سالانه 30، 35، 40، 45 و 50 هزار دلار درآمد دارند. میانگین و میانه هر دو 40 هزار است. اگر نفر ششمی با درآمد 1,000 هزار دلار به گروه بپیوندد، میانگین به 200 هزار می‌پرد، یعنی بیشتر از درآمد همه به جز تازه‌وارد، در حالی که میانه فقط به 42.5 هزار می‌رسد. به همین دلیل قیمت خانه و درآمدها معمولاً به صورت میانه گزارش می‌شوند.

مد

مد مقداری است که بیشترین تکرار را دارد. در نمره‌های امتحان، 85 سه بار آمده است، پس مد 85 است. یک مجموعه‌داده ممکن است یک مد، دو مد (دونمایی)، چند مد یا اگر هر مقدار دقیقاً یک بار آمده باشد، هیچ مدی نداشته باشد.

مد تنها شاخص مرکزی است که برای داده‌های رسته‌ای کار می‌کند. نمی‌توانید از رنگ‌های محبوب یا برندهای کفش میانگین بگیرید، اما می‌توانید بگویید کدام محبوب‌تر است. برای داده‌های عددی، مد وقتی بیشترین فایده را دارد که مقدارها زیاد تکرار شوند، مانند شمارهٔ کفش در سوابق فروش یک مغازه، که رایج‌ترین شماره دقیقاً همان چیزی است که خریدار کالا باید بداند.

از کدام میانگین استفاده کنیم؟

برای داده‌های تقریباً متقارن بدون دادهٔ پرت شدید، مانند قد یا خطای اندازه‌گیری، از میانگین استفاده کنید.
برای داده‌های چوله یا دارای دادهٔ پرت، مانند درآمد، قیمت خانه یا زمان انتظار، از میانه استفاده کنید.
برای رسته‌ها یا مقدارهای گسسته‌ای که رایج‌ترین انتخاب در آن‌ها مهم است، از مد استفاده کنید.

مقایسهٔ میانگین و میانه چیزی دربارهٔ شکل داده‌ها هم می‌گوید. وقتی میانگین آشکارا بزرگ‌تر از میانه است، دنباله‌ای بلند از مقدارهای بزرگ آن را بالا می‌کشد و داده‌ها چوله به راست‌اند. وقتی میانگین کوچک‌تر است، داده‌ها چوله به چپ‌اند. در نمره‌های امتحان، میانگین 82.1 پایین‌تر از میانهٔ 85 است، چون چند نمرهٔ پایین میانگین را پایین می‌کشند.

سنجش پراکندگی: دامنه و انحراف معیار

ساده‌ترین شاخص پراکندگی دامنه است، یعنی بزرگ‌ترین مقدار منهای کوچک‌ترین. برای نمره‌های امتحان $95 - 68 = 27$ نمره است. محاسبهٔ دامنه آسان است، اما کاملاً به دو مقدار انتهایی وابسته است. دامنهٔ میان‌چارکی، یعنی پراکندگی نیمهٔ میانی داده‌ها، مقاوم‌تر است.

انحراف معیار پرکاربردترین شاخص پراکندگی است. تقریباً همان فاصلهٔ معمول یک مقدار از میانگین است. برای کل جامعه چنین است:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

مثال 3: انحراف معیار با دست

داده‌ها: 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9. میانگین $\frac{40}{8} = 5$ است.
انحراف‌ها از میانگین: $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
مجذور انحراف‌ها: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ که مجموعشان 32 است.
واریانس جامعه: $\frac{32}{8} = 4$ ، پس انحراف معیار جامعه $\sigma = 2$ است.
اگر داده‌ها نمونه باشند، به جای آن بر $n - 1 = 7$ تقسیم کنید: $s = \sqrt{\frac{32}{7}} \approx 2.14$ .

تفاوت تقسیم بر $n$ و بر $n - 1$ و اهمیت آن، در چطور انحراف معیار را حساب کنیم به‌تفصیل توضیح داده شده است.

کنار هم گذاشتن خلاصه‌ها

خلاصهٔ خوب یک مجموعه‌داده، مرکز و پراکندگی‌ای گزارش می‌کند که با هم جور باشند. میانگین به‌طور طبیعی با انحراف معیار جفت می‌شود، چون هر دو از همهٔ مقدارها استفاده می‌کنند و هر دو به داده‌های پرت حساس‌اند. میانه با دامنهٔ میان‌چارکی جفت می‌شود، چون هر دو مقاوم‌اند. گزارش میانه همراه با انحراف معیار دو رویکرد متفاوت را قاطی می‌کند و می‌تواند گمراه‌کننده باشد.

برای داده‌های تقریباً زنگوله‌ای، میانگین و انحراف معیار داستانی به‌طرز شگفت‌آوری کامل می‌گویند: حدود 68 درصد مقدارها در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین و حدود 95 درصد در فاصلهٔ دو انحراف معیار قرار دارند. سنجیدن فاصلهٔ یک مقدار از میانگین بر حسب انحراف معیار دقیقاً همان کاری است که نمرهٔ z انجام می‌دهد. ماشین‌حساب میانگین، میانه و مد همهٔ شاخص‌های این نوشته را از فهرستی چسبانده‌شده حساب می‌کند و ماشین‌حساب انحراف معیار هر گام محاسبهٔ پراکندگی را نشان می‌دهد.

چارک‌ها و دامنهٔ میان‌چارکی

چارک‌ها داده‌های مرتب‌شده را به چهار بخش برابر تقسیم می‌کنند. روشی ساده یافتن میانهٔ هر نیمه است. برای نمره‌های مرتب‌شده، نیمهٔ پایینی 68، 72، 77، 85 است، پس چارک اول $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$ است. نیمهٔ بالایی 85، 85، 90، 95 است، پس چارک سوم $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$ است. دامنهٔ میان‌چارکی $87.5 - 74.5 = 13$ نمره است، یعنی پهنای نیمهٔ میانی کلاس.

کتاب‌های درسی و نرم‌افزارهای مختلف قراردادهای اندکی متفاوتی برای چارک‌ها دارند، پس تفاوت‌های کوچک میان جواب‌ها عادی است و نشانهٔ خطا نیست. یک قاعدهٔ رایج هر مقداری را که بیش از 1.5 برابر دامنهٔ میان‌چارکی پایین‌تر از چارک اول یا بالاتر از چارک سوم باشد، دادهٔ پرت احتمالی می‌شمارد. اینجا مرزها 55 و 107 هستند، پس هیچ‌کدام از نمره‌ها غیرعادی نیست.

پرسش‌های متداول

آیا میانگین، میانه و مد ممکن است هر سه یکی باشند؟

بله. در توزیعی کاملاً متقارن با یک قله، مانند منحنی زنگوله‌ای آرمانی، هر سه بر هم منطبق‌اند. در داده‌های واقعی معمولاً نزدیک به هم‌اند اما یکسان نیستند.

اگر مجموعه‌داده‌ای مد نداشته باشد چه؟

اگر هر مقدار دقیقاً یک بار آمده باشد، مدی وجود ندارد. برخی کتاب‌های درسی در عوض می‌گویند هر مقدار یک مد است، اما گفتن اینکه مدی وجود ندارد قرارداد رایج‌تری است.

چرا به جای میانگین درآمد، میانهٔ درآمد گزارش می‌شود؟

درآمدها به‌شدت چوله به راست‌اند: تعداد کمی افراد پردرآمد میانگین را بسیار بالاتر از درآمد یک فرد معمولی می‌برند. میانه از میزان افراطی بودن درآمدهای بالا اثر نمی‌پذیرد، پس فرد معمولی را بهتر نمایندگی می‌کند.

آیا انحراف معیار می‌تواند منفی باشد؟

خیر. انحراف معیار جذر میانگین مجذور فاصله‌هاست، پس همیشه صفر یا مثبت است. فقط وقتی صفر است که همهٔ مقدارها یکسان باشند.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.