مبانی احتمال: یک مقدمهٔ کاربردی

برآمدها، پیشامدها و مقیاس احتمال

احتمال با یک آزمایش شروع می‌شود، مانند انداختن تاس، و فضای نمونهٔ آن، یعنی مجموعهٔ همهٔ برآمدهای ممکن. برای یک بار انداختن تاس معمولی، فضای نمونه $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ است. پیشامد هر گردایه‌ای از برآمدهاست، مانند آمدن عدد زوج که مجموعهٔ $\{2, 4, 6\}$ است.

هر احتمالی میان 0 و 1 است. احتمال 0 یعنی پیشامد نمی‌تواند رخ دهد، 1 یعنی حتمی است و 0.5 یعنی رخ دادن و رخ ندادنش به یک اندازه محتمل است. احتمال را می‌توان به صورت کسر، عدد اعشاری یا درصد نوشت، پس $\frac{1}{4}$، 0.25 و 25 درصد همه یک معنا دارند. وقتی همهٔ برآمدها هم‌احتمال باشند، احتمال یک پیشامد نسبتی ساده است:

در این رابطه، صورت کسر تعداد برآمدهای پیشامد و مخرج تعداد کل برآمدهاست. پس احتمال آمدن عدد زوج $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ است. با دو تاس $6 \times 6 = 36$ برآمد مرتب هم‌احتمال وجود دارد و شش تای آن‌ها مجموع 7 می‌دهند، یعنی (1,6)، (2,5)، (3,4)، (4,3)، (5,2) و (6,1)، پس $P(\text{مجموع} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ که همان احتمال هفت شدن مجموع است. شمارش برآمدها در مسئله‌های بزرگ‌تر از روش‌های جایگشت و ترکیب استفاده می‌کند.

قاعدهٔ متمم

متمم پیشامد $A$ هر چیزی است که در $A$ نیست. چون یکی از این دو حتماً رخ می‌دهد، مجموع احتمال‌هایشان 1 است:

هر وقت پرسشی می‌گوید «دست‌کم یک»، اول متمم را امتحان کنید. تقریباً همیشه محاسبه‌ای طولانی را به محاسبه‌ای کوتاه تبدیل می‌کند.

قاعدهٔ جمع: A یا B

احتمال اینکه $A$ یا $B$ (یا هر دو) رخ دهد، با جمع احتمال‌هایشان و کم کردن بخش مشترک به دست می‌آید که در غیر این صورت دو بار شمرده می‌شد:

اگر یک کارت از دستهٔ استاندارد 52 کارتی بکشیم، احتمال دل یا شاه $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ است، چون شاه دل به هر دو گروه تعلق دارد. پیشامدهایی که نمی‌توانند با هم رخ دهند، مانند آمدن 2 و آمدن 5 در یک پرتاب، ناسازگارند. بخش مشترکشان صفر است، پس احتمال‌هایشان به‌سادگی جمع می‌شوند.

قاعدهٔ ضرب: A و B

دو پیشامد وقتی مستقل‌اند که برآمد یکی احتمال دیگری را تغییر ندهد، مانند پرتاب‌های جداگانهٔ سکه. برای پیشامدهای مستقل ضرب کنید:

بنابراین احتمال دو شیر در دو پرتاب $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ است. وقتی پیشامدها وابسته‌اند، احتمال دوم باید آنچه را رخ داده بازتاب دهد. اگر دو کارت بدون جایگذاری بکشیم، احتمال آس بودن هر دو $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$ است، چون پس از برداشتن یک آس فقط 3 آس در میان 51 کارت باقی می‌ماند.

احتمال شرطی و قضیهٔ بیز

احتمال شرطی، احتمال $A$ به شرط رخ دادن $B$ است که آن را $P(A \mid B)$ می‌نویسند. دانستن $B$ فضای نمونه را به خود $B$ محدود می‌کند:

قضیهٔ بیز یک احتمال شرطی را وارونه می‌کند و $P(B \mid A)$ را به $P(A \mid B)$ تبدیل می‌کند. مشهورترین کاربرد آن نشان می‌دهد چرا نتیجهٔ مثبت یک آزمایش پزشکی ممکن است کمتر از آنچه به نظر می‌رسد نگران‌کننده باشد.

امید ریاضی

امید ریاضی یک بازی یا کمیت تصادفی، میانگین نتیجه در بلندمدت است که با ضرب هر برآمد در احتمالش و جمع کردن حاصل‌ها به دست می‌آید:

فرض کنید بازی‌ای اگر تاس شش بیاید 10 دلار می‌پردازد و در غیر این صورت 2 دلار از شما می‌گیرد. امید ریاضی $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$ است، پس بازی منصفانه است: در بازی‌های زیاد انتظار دارید نه سود کنید نه زیان. بازی‌های کازینو طوری طراحی می‌شوند که امید ریاضی بازیکن اندکی منفی باشد و کازینوها از همین راه در میلیون‌ها شرط سود می‌برند، هرچند بازیکنان گاهی می‌برند. بیمه از سوی دیگر بر همین اصل کار می‌کند: بیمه‌گر اندکی بیشتر از آنچه انتظار دارد بابت خسارت‌ها بپردازد، حق‌بیمه جمع می‌کند.

دام‌های رایج

• مغالطهٔ قمارباز: پس از پنج بار قرمز در یک چرخ رولت منصفانه، نوبت سیاه نیست. هر چرخش مستقل است، پس احتمال تغییری نمی‌کند.
• جمع کردن احتمال پیشامدهای هم‌پوشان بدون کم کردن بخش مشترک، که می‌تواند احتمال‌هایی بزرگ‌تر از 1 بدهد.
• ضرب کردن احتمال پیشامدهایی که مستقل نیستند.
• اشتباه گرفتن $P(A \mid B)$ با $P(B \mid A)$، مانند مثال آزمایش پزشکی.
• دست‌کم گرفتن تصادف‌ها: در گروهی فقط 23 نفره، احتمال اینکه دو نفر روز تولد یکسانی داشته باشند حدود 50.7 درصد است.

قانون اعداد بزرگ توضیح می‌دهد احتمال واقعاً چه وعده‌ای می‌دهد: وقتی آزمایشی بارها تکرار شود، نسبت دفعاتی که پیشامد رخ می‌دهد به احتمال آن نزدیک می‌شود. این قانون هیچ وعده‌ای دربارهٔ رشته‌ای کوتاه از نتیجه‌ها نمی‌دهد. ماشین‌حساب احتمال پیشامدهای تکی، ترکیبی و شرطی را گام‌به‌گام حل می‌کند و ماشین‌حساب جایگشت و ترکیب برآمدهایی را که بسیاری از مسئله‌های احتمال لازم دارند می‌شمارد.

نمودار درختی برای مسئله‌های چندمرحله‌ای

وقتی آزمایشی در چند مرحله رخ می‌دهد، نمودار درختی همهٔ مسیرها را پیگیری می‌کند. روی هر شاخه احتمالش را می‌نویسید، در امتداد یک مسیر ضرب می‌کنید تا احتمال کل آن دنباله به دست آید و مسیرهایی را که پیشامد مورد نظرتان را می‌سازند جمع می‌کنید.

نمودار درختی قاعدهٔ ضرب را دیداری می‌کند و به‌روشنی نشان می‌دهد احتمال‌ها کجا میان مرحله‌ها تغییر می‌کنند. همچنین مطمئن‌ترین راه برای صورت‌بندی مسئله‌های قضیهٔ بیز است، چون هر شاخهٔ مرحلهٔ دوم یک احتمال شرطی است.

پرسش‌های متداول